近世代數--外直積--外直積是什么？關于階的性質？

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

通過直積，我們可以把若干個小群組合成一個大群，也可以把一個大群分解成一些子群的乘積。

外直積：(external direct product)

• $G_1,G_2$是群，
• 構造集合$G_1、G_2$的卡氏積，$G=\{(a_1,a_2)|a_1\in G_1,a_2\in G_2\}$，
• 在$G$中定義乘法運算，$(a_1,a_2)?(b_1,b_2)=(a_1{b}_1,a_2{b}_2),(a_1,a_2)\in G$，
• 則$G$關于乘法構成群，稱為群$G_1$和$G_2$的外直積，記作$G=G_1$ x $G_2$。

外直積性質：
性質1：$G=G_1$ x $G_2$是群$G_1、G_2$的外直積。
（1）：$G$是有限群$?G_1、G_2$都是有限群，且$|G|=|G_1|?|G_2|$
證明：這個由定義可知，無需證明。

（2）：$G$是Abel群$?G_1、G_2$都是Abel群
證明：

• $G_1、G_2$都是Abel群$\to G$是Abel群：
  $G_1、G_2$都是Abel群$\to ?a_1,b_1\in G_1,?a_2,b_2\in G_2,$有$a_1{b}_1=b_1{a}_1,a_2{b}_2=b_2{a}_2$$\to ?(a_1,a_2),(b_1,b_2)\in G,$有$$\begin{gathered} (a_1,a_2)?(b_1,b_2)=(a_1{b}_1,a_2{b}_2)=(b_1{a}_1,b_2{a}_2)=(b_1,b_2)?(a_1,a_2) \\ \to G \end{gathered}$$是Abel群

• $G$是Abel群$\to G_1、G_2$都是Abel群：
  $G$是Abel群$\to ?(a_1,a_2),(b_1,b_2)\in G,$有$(a_1,a_2)(b_1,b_2)=(b_1,b_2)(a_1,a_2),$又$$\begin{gathered} (a_1,a_2)(b_1,b_2)=(a_1{b}_1,a_2{b}_2),(b_1,b_2)(a_1,a_2)=(b_1{a}_1,b_2{a}_2), \\ \to a_1{b}_1=b_1{a}_1,a_2{b}_2=b_2{a}_2 \\ \to G_1、G_2 \end{gathered}$$都是Abel群

（3）：$G_1$ x $G_2?G_2$ x $G_1$
證明：

• 構造映射：$\phi ：G_1$ x $G_2\to G_2$ x $G_1$，即$(a_1,a_2)\to (a_2,a_1),?(a_1,a_2)\in G_1$ x $G_2$
• 同態：要證$\phi ((a_1,a_2)(b_1,b_2))=\phi (a_1,a_2)?\phi (b_1,b_2)$
  $$\begin{gathered} \phi ((a_1,a_2)(b_1,b_2)) \\ =\phi ((a_1{b}_1,a_2{b}_2)) \\ =(a_2{b}_2,a_1{b}_1) \\ =(a_2,a_1)(b_2,b_1) \\ =\phi (a_1,a_2)?\phi (b_1,b_2) \end{gathered}$$
• 一一對應（單射+滿射）：通過定義可以得出一一對應

性質2：$G_1,G_2$是群，$a,b$分別是$G_1、G_2$中的有限階元素，則對于$(a,b)\in G_1$ x $G_2$，有$ord(a,b)=[orda,ordb]$
證明：
設$orda=m,ordb=n,[m,n]=s,$則$(a,b{)}^s=(a^s,b^s)=(e_1,e_2)$
現在假設$ord(a,b)=t,$則$t\mid s$
$(e_1,e_2)=(a,b{)}^t=(a^t,b^t)\to m\mid t,n\mid t\to t$是$m、n$的公倍數$\to [m,n]\mid t,$即$s\mid t$
故$t=s$

性質3：$G_1、G_2$分別是$m$階、$n$階的循環群，$G_1$ x $G_2$是循環群$?(m,n)=1$
證明：

• $G_1、G_2$分別是$m$階、$n$階的循環群，$G_1$ x $G_2$是循環群$\to (m,n)=1$
  設$G_1=<a>,G_2=<b>，$假設$G=G_1$ x $G_2$是循環群，且$(m,n)=t=1$，有$$\begin{gathered} orda=m,ordb=n, \\ \to a^m=e_1,b^n=e_2 \\ \to (a^{m/t}{)}^t=e_1,(b^{n/t}{)}^t=e_2 \\ \to \end{gathered}$$ 所以$<(a^{m/t},e_2)>,<(e_1,b^{n/t})>$是$G=G_1$ x $G_2$兩個不同的$t$階子群；又因為對于循環群$G$，子群都是循環群，循環群的兩個同階子群，一定是相同的，所以產生矛盾，故$\to (m,n)=1$
  證明：

  • $G=<a>,|G|=n,$
  • $?H\le G,H=<a^d>,d\mid n,|H|=D,$因為$or{d}_m(a^k)=\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}$，所以$D=\frac{n}{(n,d)}=\frac{n}{d}$
  • $?K\le G,K=<a^k>,|K|=D=\frac{n}{d}$,同理因為$or{d}_m(a^k)=\frac{or{d}_m(a)}{(or{d}_m(a),k)}$，所以$D=\frac{n}{(n,k)}\to (n,k)=d\to d\mid k\to <a^k>\le <a^d>,$又因為$|<a^d>|=|<a^k>|,$即兩個子群元素個數相同，所以兩個子群相同。

• $G_1、G_2$分別是$m$階、$n$階的循環群，$(m,n)=1\to G_1$ x $G_2$是循環群
  $$\begin{gathered} (m,n)=1, \\ \to ord(a,b)=[m,n]=mn=|G_1|?|G_2|=|G_1 \end{gathered}$$ x $G_2|$
  所以$(a,b)$是$G_1$ x $G_2$的生成元$\to G_1$ x $G_2$是循環群

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--外直积--外直积是什么？关于阶的性质？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。