近世代數--內外直積--本質是一樣的

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

• 如果群$G$是$H、K$的內直積，那么$G?H$ x $K$；（$G$是內直積，則$G$于外直積同構）

  • 構造映射：$\phi :H$ x $K\to G，(h,k)\to hk,h\in H,k\in K,?(h,k)\in H$ x $K$
  • 同態：要證$\phi ((h_1,k_1)?(h_2,k_2))=\phi (h_1,k_1)?\phi (h_2,k_2)$
    $$\begin{gathered} \phi ((h_1,k_1)?(h_2,k_2)) \\ =\phi (h_1{h}_2,k_1{k}_2) \\ =(h_1{h}_2)(k_1{k}_2) \\ =h_1(h_2{k}_1)k_2 \\ =h_1(k_1{h}_2)k_2 \\ =(h_1{k}_1)(h_2{k}_2) \\ =\phi (h_1,k_1)?\phi (h_2,k_2) \end{gathered}$$
  • 單射：因為定義$G$是$H、K$的內直積，$G=HK$，所以$G$中所有元素都可以惟一表示成$hk,h\in H,k\in K$的形式。
  • 滿射：由于定義$G=HK$，所以$?g\in G,$都可以表示成$g=hk,h\in H,k\in K$

• 如果群$G=G_1$ x $G_2$，那么存在$G_1^{\prime }?G,G_2^{\prime }?G,$且$G_1^{\prime }?G_1,G_2^{\prime }?G_2,$使得群$G$是$G_1^{\prime }、G_2^{\prime }$的內直積；（$G$是外直積，則$G$是同構的內直積）

  • 構造映射：$G_1^{\prime }=\{(a_1,e_2)|a_1\in G_1\},G_2^{\prime }=\{(e_1,a_2)|a_2\in G_2\}$，易得$G_1^{\prime }?G,G_2^{\prime }?G$
  • 證明：$G$是$G_1^{\prime }、G_2^{\prime }$的內直積；$G_1^{\prime }?G_1,G_2^{\prime }?G_2$
    • 證$G$是$G_1^{\prime }、G_2^{\prime }$的內直積
      • 證$G$中每個元可惟一表示為$hk$的形式，$h\in G_1^{\prime },k\in G_2^{\prime }$；
        $G=\{(a_1,a_2)|a_1\in G_1,a_2\in G_2\}$,
        $(a_1,a_2)=(a_1,e_2)(e_1,a_2)\in G_1^{\prime }{G}_2^{\prime }$是惟一表示的
      • $?h\in G_1^{\prime },?k\in G_2{,}^{\prime }$有$hk=kh$
        $?(a_1,e_2)\in G_1^{\prime },?(e_1,a_2)\in G_2^{\prime },$有$(a_1,e_2)(e_1,a_2)=(a_1,a_2)=(e_1,a_2)(a_1,e_2)$
    • 證$G_1^{\prime }?G_1,G_2^{\prime }?G_2$
      映射${\phi }_1:a_1\to (a_1,e_2)$，${\phi }_2:a_2\to (e_1,a_2)$，易得是同構的

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--内外直积--本质是一样的的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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