近世代数--子环--怎么判断是不是子环？
生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
近世代数--子环--怎么判断是不是子环？
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
近世代數--子環--怎么判斷是不是子環？
博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。
-
環ring：(R,+,?),?a,b,c∈R(R,+,·),\forall a,b,c\in R(R,+,?),?a,b,c∈R
- R1R1R1：“+”“+”“+”滿足交換律，a+b=b+aa+b=b+aa+b=b+a
- R2R2R2：“?”“·”“?”滿足結合律，a?(b?c)=(a?b)?ca·(b·c)=(a·b)·ca?(b?c)=(a?b)?c
- R3R3R3：“+”“?”“+”“·”“+”“?”滿足分配律，a?(b+c)=a?b+a?c,(b+c)?a=b?a+c?aa·(b+c)=a·b+a·c,(b+c)·a=b·a+c·aa?(b+c)=a?b+a?c,(b+c)?a=b?a+c?a
-
子環subring：設(R,+,?)(R,+,·)(R,+,?)是一個環，SSS是RRR的一個非空子集，S?R,S\subset R,S?R,如果SSS關于RRR的運算構成環(滿足R1、R2、R3R1、R2、R3R1、R2、R3)，則稱SSS為RRR的子環，記作S<RS<RS<R。
-
子環的充分必要條件：(R,+,?)(R,+,·)(R,+,?)是一個環，S?RS\subset RS?R，SSS是RRR的子環的充分必要條件：
- (1) (S,+)(S,+)(S,+)是(R,+)(R,+)(R,+)的加法子群；?S\leftrightarrow S?S關于RRR的減法封閉，即?a,b∈S,a?b∈S\forall a,b\in S,a-b\in S?a,b∈S,a?b∈S；
- (2) SSS關于RRR的乘法封閉，即?a,b∈S,ab∈S\forall a,b\in S,ab\in S?a,b∈S,ab∈S。
證明：- SSS是RRR的子環→(1)(2)\rightarrow (1)(2)→(1)(2)：
(S,+,?)(S,+,·)(S,+,?)是環→(S,+)\rightarrow (S,+)→(S,+)是群，SSS關于乘法?·?封閉。
又因為S<RS<RS<R，所以易得(1)(2)(1)(2)(1)(2) - (1)(2)→S(1)(2)\rightarrow S(1)(2)→S是RRR的子環：
因為R1R1R1：環上的加法具有交換律，所以對于環上的子群的元素做加法運算，也滿足交換律；即環上的加法子群(S,+)(S,+)(S,+)關于加法構成交換群，滿足R1R1R1；
RRR滿足R2R2R2結合律、R3R3R3分配律，S?RS\subset RS?R，SSS的運算就是RRR的運算，所以SSS也滿足R2、R3R2、R3R2、R3。
- SSS是RRR的子環→(1)(2)\rightarrow (1)(2)→(1)(2)：
-
子環例子：III為ZZZ的子環，證明：存在唯一非負整數ddd，使I=dZ={dz∣z∈Z}I=dZ=\{dz|z\in Z\}I=dZ={dz∣z∈Z}。
- 存在性：
- 如果I={0}，I=\{0\}，I={0}，那么d=0,I=dZd=0,I=dZd=0,I=dZ；
- i≠{0},i\neq \{0\},i?={0},有z>0,z>0,z>0,使z∈I,z\in I,z∈I,取d=min{z∈I,z>0}d=min\{z\in I,z>0\}d=min{z∈I,z>0}，那么有d∈I,d>0d\in I,d>0d∈I,d>0。
既然d∈I,d\in I,d∈I,由環滿足加法封閉性可知，dZ?IdZ\subseteq IdZ?I。現在只要證明dZ=IdZ=IdZ=I，即?z∈I,\forall z\in I,?z∈I,都可以寫成z=dq,q∈Zz=dq,q\in Zz=dq,q∈Z的形式。
假設?z∈I,z=dq+r,d>r\forall z\in I,z=dq+r,d>r?z∈I,z=dq+r,d>r，那么r=z?dq∈I,r=z-dq\in I,r=z?dq∈I,又因為d=min{z∈I,z>0}d=min\{z\in I,z>0\}d=min{z∈I,z>0}，所以r=0→z=dq→dZ=I.r=0\rightarrow z=dq\rightarrow dZ=I.r=0→z=dq→dZ=I.
- 唯一性： 假設I=d1Z=d2Z,d1≥0,d2≥0I=d_1Z=d_2Z,d_1\ge 0,d_2\ge 0I=d1?Z=d2?Z,d1?≥0,d2?≥0
- 如果d1=0d_1=0d1?=0，那么I={0}I=\{0\}I={0}，所以d2=0→d1=d2d_2=0\rightarrow d_1=d_2d2?=0→d1?=d2?；
- 如果d1>0d_1>0d1?>0，那么d2>0d_2>0d2?>0。因為d1∈I→d1∈d2Z→d2∣d1d_1\in I\rightarrow d_1\in d_2Z\rightarrow d_2\mid d_1d1?∈I→d1?∈d2?Z→d2?∣d1?，同理d1∣d2→d1=±d2d_1\mid d_2\rightarrow d_1=\pm d_2d1?∣d2?→d1?=±d2?，又d1>0,d2>0，d_1>0,d_2>0，d1?>0,d2?>0，所以d1=d2d_1=d_2d1?=d2?。
- 存在性：
總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--子环--怎么判断是不是子环？的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
- 上一篇： 近世代数--内外直积--本质是一样的
- 下一篇： 近世代数--整环--高斯整环