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近世代数--整环--高斯整环

發布時間：2025/3/21 38 豆豆

生活随笔收集整理的這篇文章主要介紹了近世代数--整环--高斯整环小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.

近世代數--整環--高斯整環

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

高斯整環是一類重要的整環，高斯(Gauss)最先對這個環進行研究，從而開創了代數數論的研究領域。

這里有簡單描述整環的基本概念：含幺環、交換環、無零因子。

無零因子：在一個無零因子的環中 $?\leftrightarrow$ 左右消去律成立： $?a,b,c∈\forall a,b,c\in$ 環 $R,c≠0,R,c\neq 0,$ 如果 $a c = b c ，$ 或 $c a = c b$ ，則 $a = b$ 。
證明： $ac=bc→(a?b)c=0ac=bc\rightarrow (a-b)c=0$ ，因為 $c≠0,c\neq 0,$ 環 $R$ 無零因子， $a ? b = 0$ ，同理，左消去律也成立。

高斯整環： $Z[i]={a+bi∣a,b∈Z}Z[i]=\{a+bi|a,b\in Z\}$
證明是整環：先證明 $Z [i]$ 是 $C$ 子環(復數域，也是復數整環)

$Z [i]$ 是 $C$ 子環：
- 減法封閉： $?α,β∈Z[i],α?β∈Z[i]\forall \alpha,\beta\in Z[i],\alpha-\beta\in Z[i]$
  對 $?α=a+bi,β=c+di∈Z[i],a、b、c、d∈Z,α?β=(a?c)+(b?d)i,a、b、c、d∈Z→a?c∈Z,b?d∈Z→α?β∈Z[i]\forall \alpha=a+bi,\beta=c+di\in Z[i],a、b、c、d\in Z,\\\alpha-\beta=(a-c)+(b-d)i,\\a、b、c、d\in Z\rightarrow a-c\in Z,b-d\in Z\rightarrow \alpha-\beta\in Z[i]$
- 乘法封閉： $?α,β∈Z[i],α?β∈Z[i]\forall \alpha,\beta\in Z[i],\alpha·\beta\in Z[i]$
  對 $?α=a+bi,β=c+di∈Z[i],a、b、c、d∈Z,α?β=ac+adi+bci?bd=(ac?bd)+(ad+bc)i,a、b、c、d∈Z→ac?bd∈Z,ad+bc∈Z→α?β∈Z[i]\forall \alpha=a+bi,\beta=c+di\in Z[i],a、b、c、d\in Z,\\\alpha·\beta=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i,\\a、b、c、d\in Z\rightarrow ac-bd\in Z,ad+bc\in Z\rightarrow \alpha·\beta\in Z[i]$
交換環： $C$ 是交換環， $→Z[i]\rightarrow Z[i]$ 是交換環；
無零因子： $C$ 是無零因子環， $→Z[i]\rightarrow Z[i]$ 無零因子；
含幺環： $1=1+0i∈Z[i]1=1+0i\in Z[i]$ 是 $Z [i]$ 的單位元。
求 $Z [i]$ 單位/可逆元：
設 $α=a+bi\alpha=a+bi$ 是 $Z [i]$ 的任一單位，則 $?β=x+yi∈Z[i]，{\exists}\beta=x+yi\in Z[i]，$ 使得 $α?β=1αβαβ￣=1ααˉββˉ=1(a2+b2)(x2+y2)=1\alpha·\beta=1\\\alpha\beta\overline{\alpha\beta}=1\\\alpha\bar{\alpha}\beta\bar{\beta}=1\\(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1$ ，因為 $a、b、x、y∈Za、b、x、y\in Z$ ，所以 $a2+b2=1a=±1,b=0\\a^2+b^2=1\\a=\pm 1,b=0$ 或 $a=0,b=±1α=1,?1,i,?ia=0,b=\pm 1\\ \alpha=1,-1,i,-i$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环--高斯整环的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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