近世代數--整環與域--有限的整環是域

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

這里是整環和域的概念

• 整環：乘法半群可交換+含幺+無零因子
• 除環：乘法群
• 域：乘法群可交換
• 有限的整環是域：

第一種證明方法：要證乘法半群是群
整環$\to$無零因子，無零因子的環中$?$兩個消去律成立$\to$左右消去律成立+乘法半群+有限，滿足左、右消去律的有限半群是群$\to$乘法半群是群

第二種證明方法：證明雙射
$R$是有限整環，

• 構造映射：$\phi :R\to R,?a,c\in R,c=0,\phi (a)=ac$
• 單射：$R$是有限整環$\to R$無零因子$\to$ 左右消去律成立$$\begin{gathered} \to ?x,y,c\in R,c=0,\phi (x)=\phi (y)\to xc=yc\to (x?y)c=0\to x?y=0\to x=y \\ \to \end{gathered}$$ 函數滿足單射
• 滿射：有限的集合映射到自身是單射的，那么這個映射是滿射的；無限的集合映射到自身是單射的，這個映射不一定是滿射。（這個具體證明我現在還不會，學學集合論再回來補充）
• 根據上面我們知道，這是一個雙射映射$\phi :R\to R,R$是有限整環，又因為$?r\in R,R?r\in R$，那么$?r\in R,r=0,?c\in R,$使得$r?c=1$，即有$?r\in R,r$是可逆元。 所以，有限整環是域。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环与域--有限的整环是域的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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