近世代数--素理想--I是R的素理想↔R/I是整环
近世代數--素理想--I是R的素理想?R/I是整環
博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。
商環類似商群，通過對環、理想限制某些條件，可以構造出不同特點的環。現在我們通過素理想，構造整環；通過極大理想，構造域。
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商環quotient ring：R/IR/IR/I
RRR是一個環，III為RRR的理想，則(I,+)(I,+)(I,+)是(R,+)(R,+)(R,+)的加法子群,(I,+)(I,+)(I,+)是(R,+)(R,+)(R,+)的正規子群，即(I,+)?(R,+)(I,+)\triangleleft(R,+)(I,+)?(R,+)；
- 商群R/I={xˉ=x+I∣x∈R}R/I=\{\bar{x}=x+I|x\in R\}R/I={xˉ=x+I∣x∈R}，
- 加法"+""+""+"定義為xˉ+yˉ=x+y￣,x,y∈R\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y},x,y\in Rxˉ+yˉ?=x+y?,x,y∈R，
- 乘法"?""·""?"定義為xˉ?yˉ=xy￣,x,y∈R\bar{x}·\bar{y}=\overline{xy},x,y\in Rxˉ?yˉ?=xy?,x,y∈R，
則(R/I,+,?)(R/I,+,·)(R/I,+,?)是環RRR關于理想III的商環。
證明：
- 乘法定義：x1,x2,y1,y2∈R,x_1,x_2,y_1,y_2\in R,x1?,x2?,y1?,y2?∈R,且x1￣=x2￣,y1￣=y2￣,x1y1?x2y2=x1y1?x1y2+x1y2?x2y2=x1(y1?y2)+y2(x1?x2),\overline{x_1}=\overline{x_2},\overline{y_1}=\overline{y_2},\\x_1y_1-x_2y_2\\=x_1y_1-x_1y_2+x_1y_2-x_2y_2\\=x_1(y_1-y_2)+y_2(x_1-x_2),x1??=x2??,y1??=y2??,x1?y1??x2?y2?=x1?y1??x1?y2?+x1?y2??x2?y2?=x1?(y1??y2?)+y2?(x1??x2?),
因為x1￣=x2￣→x1+I=x2+I→x1?x2=I?I∈I,\overline{x_1}=\overline{x_2}\\\rightarrow x_1+I=x_2+I\\\rightarrow x_1-x_2=I-I\in I,x1??=x2??→x1?+I=x2?+I→x1??x2?=I?I∈I,同理,y1?y2∈I,y_1-y_2\in I,y1??y2?∈I,所以
x1y1?x2y2∈I→x1y1￣=x2y2￣x_1y_1-x_2y_2\in I\rightarrow \overline{x_1y_1}=\overline{x_2y_2}x1?y1??x2?y2?∈I→x1?y1??=x2?y2??，由此定義了乘法運算。
其實跟商群類似，a?1b∈H→aH=bH,a,b∈Ga^{-1}b\in H\rightarrow aH=bH,a,b\in Ga?1b∈H→aH=bH,a,b∈G,
商環：a?b∈I→a+I=b+I,a,b∈Ra-b\in I\rightarrow a+I=b+I,a,b\in Ra?b∈I→a+I=b+I,a,b∈R - 加法交換：易得，?x1,x2∈R,x1￣+x2￣=x1+x2￣=x2+x1￣=x2￣+x1￣\forall x_1,x_2\in R,\overline{x_1}+\overline{x_2}=\overline{x_1+x_2}=\overline{x_2+x_1}=\overline{x_2}+\overline{x_1}?x1?,x2?∈R,x1??+x2??=x1?+x2??=x2?+x1??=x2??+x1??
- 結合律：易得，?x,y,z∈R,(x￣?y￣)?z￣=xy￣?z￣=xyz￣；x￣?(y￣?z￣)=x￣?yz￣=xyz￣\forall x,y,z\in R,(\overline{x}·\overline{y})·\overline{z}=\overline{xy}·\overline{z}=\overline{xyz}； \\\overline{x}·(\overline{y}·\overline{z})=\overline{x}·\overline{yz}=\overline{xyz}?x,y,z∈R,(x?y?)?z=xy??z=xyz?；x?(y??z)=x?yz?=xyz?
- 分配律：易得，?x,y,z∈R,x￣?(y￣+z￣)=(x￣?y￣)+(x￣?z￣)；(y￣+z￣)?x￣=(y￣?x￣)+(z￣?x￣)\forall x,y,z\in R,\overline{x}·(\overline{y}+\overline{z})=(\overline{x}·\overline{y})+(\overline{x}·\overline{z})；\\(\overline{y}+\overline{z})·\overline{x}=(\overline{y}·\overline{x})+(\overline{z}·\overline{x})?x,y,z∈R,x?(y?+z)=(x?y?)+(x?z)；(y?+z)?x=(y??x)+(z?x)
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商環的性質：
- 零元：0￣=0+I\overline{0}=0+I0=0+I
- 單位元/幺元：e￣=e+I\overline{e}=e+Ie=e+I
- 交換性： RRR是交換環→R/I\rightarrow R/I→R/I是交換環
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商環例子：Z/<m>=ZmZ/<m>=Z_mZ/<m>=Zm?
Z/<m>={aˉ=a+<m>∣a=0,1,……m?1}Z/<m>=\{\bar{a}=a+<m>|a=0,1,……m-1\}Z/<m>={aˉ=a+<m>∣a=0,1,……m?1}
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素理想prime ideal：PPP
RRR為環，PPP是RRR的真理想，(這里是真理想的定義)，如果對于?a,b∈R,ab∈P,\forall a,b\in R,ab\in P,?a,b∈R,ab∈P,可得到a∈P,a\in P,a∈P,或b∈P,b\in P,b∈P,則PPP是RRR的素理想。
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素理想例子：
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求Z18Z_{18}Z18?的所有素理想。
由ZmZ_mZm?的理想是dZm,d∈ZdZ_m,d\in ZdZm?,d∈Z，得Z18Z_{18}Z18?有6個理想：<0>,<1>,<2>,<3>,<6>,<9><0>,<1>,<2>,<3>,<6>,<9><0>,<1>,<2>,<3>,<6>,<9>
- <1><1><1>不是真子集；
- 222x3=6∈<6>,2?<6>,3?<6>,<6>3=6\in <6>,2\notin <6>,3\notin <6>,<6>3=6∈<6>,2∈/?<6>,3∈/?<6>,<6>不是素理想
- 333x3=9∈<9>,3?<9>,<9>3=9\in <9>,3\notin <9>,<9>3=9∈<9>,3∈/?<9>,<9>不是素理想
- 333x6=0∈<0>,3?<0>,6?<0>,<0>6=0\in <0>,3\notin <0>,6\notin <0>,<0>6=0∈<0>,3∈/?<0>,6∈/?<0>,<0>不是素理想
- <3><3><3>是真子集，因為a、b∈Z18,ab∈<3>,→ab≡3r(mod18)→18∣ab?3r→ab?3r=18k,k∈Z→3r=ab?18k,k∈Z→3∣ab→3∣a,a、b\in Z_{18},ab\in <3>,\rightarrow ab\equiv 3r(mod 18)\rightarrow 18\mid ab-3r\rightarrow ab-3r=18k,k\in Z\rightarrow 3r=ab-18k,k\in Z\rightarrow 3\mid ab\rightarrow 3\mid a ,a、b∈Z18?,ab∈<3>,→ab≡3r(mod18)→18∣ab?3r→ab?3r=18k,k∈Z→3r=ab?18k,k∈Z→3∣ab→3∣a,或者3∣b3\mid b3∣b
- <2><2><2>是真子集，同理<3><3><3>
所以Z18Z_{18}Z18?的所有素理想是<2>、<3><2>、<3><2>、<3>。
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<n><n><n>為ZZZ的所有素理想?n\leftrightarrow n?n為素數
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<n><n><n>為ZZZ的所有素理想→n\rightarrow n→n為素數或n=0n=0n=0
反證法：nnn為合數→<n>\rightarrow <n>→<n>不是ZZZ素理想
- n=0n=0n=0，<n><n><n>是ZZZ素理想；
- n=1n=1n=1，與真子集矛盾；
- nnn為合數，ab=n∈<n>,a?<n>,b?<n>,ab=n\in <n>,a\notin <n>,b\notin <n>,ab=n∈<n>,a∈/?<n>,b∈/?<n>,矛盾；
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nnn為素數→<n>\rightarrow <n>→<n>為ZZZ的所有素理想
ab∈<n>→n∣ab→n∣a,ab\in <n>\rightarrow n\mid ab\rightarrow n\mid a,ab∈<n>→n∣ab→n∣a, 或者 n∣b→a∈<n>,n\mid b\rightarrow a\in <n>,n∣b→a∈<n>, 或者b∈<n>b\in <n>b∈<n>
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素理想?\leftrightarrow?整環：如果RRR是一個交換環，有單位元e≠0e\neq 0e?=0，III是RRR的理想，則III是RRR的素理想的充分必要條件是R/IR/IR/I是整環。
證明：
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III是RRR的素理想→R/I\rightarrow R/I→R/I是整環
- R/IR/IR/I不只有一個元素：III是RRR的素理想→I\\\rightarrow I→I是RRR的真理想→R/I={xˉ=x+I∣x∈R},\\\rightarrow R/I=\{\bar{x}=x+I|x\in R\},→R/I={xˉ=x+I∣x∈R},如果I=R,R/I={xˉ=x+I∣x∈I}={I}={0+I}={0ˉ}I=R,R/I=\{\bar{x}=x+I|x\in I\}=\{I\}=\{0+I\}=\{\bar{0}\}I=R,R/I={xˉ=x+I∣x∈I}={I}={0+I}={0ˉ},因為I≠R,→R/I≠{0ˉ}I\neq R,\\\rightarrow R/I\neq \{\bar{0}\}I?=R,→R/I?={0ˉ}
- RRR是有單位元的交換環→R/I\rightarrow R/I→R/I是有單位元的交換環
- aˉ、bˉ∈R/I,\bar{a}、\bar{b}\in R/I,aˉ、bˉ∈R/I,使aˉ?bˉ=0ˉ,→ab￣=0ˉ=I,ab￣=ab+I,ab∈I,→a∈I\bar{a}·\bar{b}=\bar{0},\\\rightarrow \overline{ab}=\bar{0}=I, \overline{ab}=ab+I,ab\in I,\\\rightarrow a\in Iaˉ?bˉ=0ˉ,→ab=0ˉ=I,ab=ab+I,ab∈I,→a∈I或b∈I→aˉ=0ˉb\in I\\\rightarrow \bar{a}=\bar{0}b∈I→aˉ=0ˉ或bˉ=0ˉ→R/I\bar{b}=\bar{0}\\\rightarrow R/Ibˉ=0ˉ→R/I無零因子
- R/IR/IR/I是整環
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R/IR/IR/I是整環→I\rightarrow I→I是RRR的素理想
- R/IR/IR/I是整環→R/I\\\rightarrow R/I→R/I是有單位元{eˉ}\{\bar{e}\}{eˉ}的交換環→R/I≠{0ˉ}→I\\\rightarrow R/I\neq \{\bar{0}\}\\\rightarrow I→R/I?={0ˉ}→I是RRR的真理想
- R/IR/IR/I是整環→R/I\\\rightarrow R/I→R/I無零因子→a,b∈R,\\\rightarrow a,b\in R,→a,b∈R,且ab∈I,ab\in I,ab∈I,則aˉ?bˉ=0ˉ∈R/I,→aˉ=0ˉ\bar{a}·\bar{b}=\bar{0}\in R/I,\\\rightarrow \bar{a}=\bar{0}aˉ?bˉ=0ˉ∈R/I,→aˉ=0ˉ或bˉ=0ˉ→a∈I\bar{b}=\bar{0}\\\rightarrow a\in Ibˉ=0ˉ→a∈I或b∈I→Ib\in I\\\rightarrow Ib∈I→I是RRR的素理想
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--素理想--I是R的素理想↔R/I是整环的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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