近世代数--环同态--环的第二同构定理
近世代數(shù)--環(huán)同態(tài)--環(huán)的第二同構(gòu)定理
博主是初學(xué)近世代數(shù)（群環(huán)域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯(cuò)，歡迎指正。
我整理成一個(gè)系列：近世代數(shù)，方便檢索。
RRR是環(huán)，S≤R,I?R,S\le R,I\triangleleft R,S≤R,I?R,要證
- S∩I?S,S\cap I\triangleleft S,S∩I?S,
- S/(S∩I)?(S+I)/IS/(S\cap I)\cong (S+I)/IS/(S∩I)?(S+I)/I
證明：根據(jù)環(huán)同態(tài)基本定理：φ:R→R′\varphi:R\rightarrow R'φ:R→R′是滿同態(tài)，則R/Kerφ?R′R/Ker\varphi\cong R'R/Kerφ?R′，我們應(yīng)該構(gòu)造如下：
- φ:S→(S+I)/I\varphi:S\rightarrow (S+I)/Iφ:S→(S+I)/I是滿同態(tài)
- S∩I=KerφS\cap I=Ker\varphiS∩I=Kerφ
但是φ\(chéng)varphiφ直接構(gòu)造比較難，我們應(yīng)該先借助自然同態(tài)σ:S+I→(S+I)/I\sigma:S+I\rightarrow (S+I)/Iσ:S+I→(S+I)/I
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構(gòu)造同態(tài)φ\(chéng)varphiφ：
我們有I?S+I,→(σ:S+I→(S+I)/I)I\triangleleft S+I,\rightarrow (\sigma:S+I\rightarrow (S+I)/I)I?S+I,→(σ:S+I→(S+I)/I)是自然同態(tài)（環(huán)到其商環(huán)的映射，是滿同態(tài)，稱為自然同態(tài)）
σ(s+x)=s+x￣,s∈S,x∈I\sigma(s+x)=\overline{s+x},s\in S,x\in Iσ(s+x)=s+x?,s∈S,x∈I借助σ\sigmaσ，構(gòu)造同態(tài)φ:S→(S+I)/I,φ(s)=σ(s),s∈S\varphi:S\rightarrow (S+I)/I,\varphi(s)=\sigma(s),s\in Sφ:S→(S+I)/I,φ(s)=σ(s),s∈S
-
φ\(chéng)varphiφ是滿同態(tài)：
?s+x￣∈S+I,s∈S,x∈I,?s∈S,\forall \overline{s+x}\in S+I,s\in S,x\in I,\\\exists s\in S,?s+x?∈S+I,s∈S,x∈I,?s∈S,使得φ(s)=σ(s)=sˉ=s+x￣\varphi(s)=\sigma(s)=\bar{s}=\overline{s+x}φ(s)=σ(s)=sˉ=s+x?
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S∩I=KerφS\cap I=Ker\varphiS∩I=Kerφ
Kerφ={s∈S∣φ(s)=0ˉ}={s∈S∣σ(s)=I}={s∈S∣s∈I}=S∩IKer\varphi\\=\{s\in S|\varphi(s)=\bar{0}\}\\=\{s\in S|\sigma(s)=I\}\\=\{s\in S|s\in I\}\\=S\cap IKerφ={s∈S∣φ(s)=0ˉ}={s∈S∣σ(s)=I}={s∈S∣s∈I}=S∩I
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--环同态--环的第二同构定理的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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