近世代數--環同態--環的擴張定理

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

域的擴張定理用來將一已知的環擴大為某一具有特定性質的環。

$\bar{S}、R$是環，$\bar{S}\cap R=?,\bar{\phi }:\bar{S}\to R$是單同態，
則

• $?S,S$是環，$S?R,\phi :S\to R$是同構，
• $S^{\prime }\le S,$
• 且$\phi |\bar{s}=\bar{\phi }$

證明：把已知環$S^{\prime }$擴大為環$S$

• 構造環$S$：

  • $S=(R?\bar{\phi }(\bar{S}))\cup \bar{S}$
    

  • 構造映射$\phi :S\to R$ $$\phi (x)=\{\begin{array}{r}\bar{\phi }(x),x\in \bar{S}\\ x,x\in /\bar{S}\end{array}$$
    $$\begin{gathered} R\cap \bar{S}=? \\ \to R?\bar{\phi }(\bar{S})\cap \bar{S}=? \\ \to |R?\bar{\phi }(\bar{S})\cap \bar{S}|=|R?\bar{\phi }(\bar{S})|+|\bar{S}| \end{gathered}$$

    $x\in /\bar{S}\to \phi (x)=x=R?\bar{\phi }(\bar{S})$
    $x\in \bar{S}\to \phi (x)=\bar{\phi }(x)=\bar{\phi }(\bar{S})$
    $\to ?x\in S,\phi (x)=(R?\bar{\phi }(\bar{S}))+\bar{\phi }(\bar{S})=R$

    $\phi :S\to R,\phi (x)=R,\to \phi$是滿映射；
    $\bar{\phi }:\bar{S}\to R$是單同態,恒等映射$f(x)=x$是單同態，$\to \phi$是單映射；
    $\to \phi$是雙射，且$\phi |\bar{S}=\bar{\phi }$

  • 加法運算、乘法運算：

    $$\begin{gathered} ?x,y\in S, \\ x+y={\phi }^{?1}(\phi (x)+\phi (y)) \\ x?y={\phi }^{?1}(\phi (x)?\phi (y)) \end{gathered}$$

  通過定義集合$S,$以及集合上的代數運算，易得集合$S$滿足減法封閉、乘法封閉，所以$S$是環。

• $\phi$是同態

  $$\begin{gathered} \phi (x+y)=\phi (x)+\phi (y) \\ \phi (x?y)=\phi (x)?\phi (y) \end{gathered}$$

• $\bar{S}\le S$

  $$\begin{gathered} ?x,y\in \bar{S}, \\ x{+}_{S}y \\ ={\phi }^{?1}(\phi (x){+}_R\phi (y)) \\ ={\phi }^{?1}(\bar{\phi }(x)+\bar{\phi }(y)) \\ ={\phi }^{?1}(\bar{\phi }(x{+}_{\bar{S}}(y)) \\ ={\phi }^{?1}(\phi (x{+}_{\bar{S}}y)) \\ =x{+}_{\bar{S}}y \end{gathered}$$

  同理，$x{?}_{S}y=x{?}_{\bar{S}}y$

  所以，$S$的代數運算在$\bar{S}$上的限制就是$\bar{S}$的代數運算，$\bar{S}\le S$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--环同态--环的扩张定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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