近世代數--整環的商域--整環D擴充為域Q

• 整環可以擴充成域
• 整環如何擴充成域/商域quotient field
• • 第一步：構造集合$S$
  • 第二步：在$S$上定義一個等價關系
  • 第三步：由等價關系(劃分)得到商集$F$
  • 第四步：定義商集$F$的運算，使$F$構成域
  • 第五步：域$F$構造一個包含整環$D$的域$Q$
  • 第六步：域$Q$的元素的表達式
• 對比整數環、整環的商域

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

整環可以擴充成域

我們知道

• $Z=\{\dots ?3,?2,?1,0,1,2,3\dots \}$，$Z$是整數環
• $Q=\{\frac{n}{m}|m,n\in Z,m=0\}$，$Q$是有理數域
• $Z$是$Q$的子環

整數環$Z$擴充為一個更大的域$Q$，那么是不是所有的環都能擴充成域？如果不是，在什么限制條件下，環可以擴充成域？

• 無零因子：有零因子的環，即$?a,b=0,a?b=0$，那么非零元全體(包括$a,b$)在乘法運算下不滿足封閉性（非零元相乘得到零元），不構成群；
• 有單位元：域$\to$除環，非零元全體構成群，群的定義：有單位元
• 交換環：存在無零因子的非交換環不一定能被一個除環包含，可交換性在定義商域的代數運算時有用到

綜上，整環滿足所有條件，即整環可以擴充成一個域。

整環如何擴充成域/商域quotient field

整環擴充成域的構造過程：設$D$為整環，單位元為$e$

第一步：構造集合$S$

$S=\{(a,b)|a,b\in D,b=0\}$

第二步：在$S$上定義一個等價關系

$?(a,b),(c,d)\in S,(a,b)～(c,d)?ad=bc$

• 證明等價：

  • 自反性：證$(a,b)～(b,a)$

    $ab=ba\to (a,b)～(a,b)$

  • 對稱性：證$(a,b)～(c,d)\to (c,d)～(a,b)$

    $$\begin{gathered} (a,b)～(c,d) \\ \to ad=bc \\ \to da=cb \\ \to cb=da \\ \to (c,d)～(a,b) \end{gathered}$$

  • 傳遞性：證$(a,b)～(c,d),(c,d)～(e,f)\to (a,b)～(e,f)$

    $$\begin{gathered} (a,b)～(c,d) \\ \to ad=bc \end{gathered}$$ (1)
    $$\begin{gathered} (c,d)～(e,f) \\ \to cf=de \end{gathered}$$ (2)
    (1)(2) 相乘：$a(dc)f=b(cd)e,d=0$

    • $c=0$，

      由（1）得：$a=0$
      由（2）得：$e=0$
      所以，$af=be=0\to (a,b)～(e,f)$

    • $c=0$

      $c=0,d=0\to cd=0,dc=0$
      又無零因子的環$\to$左右消去律成立得，$$\begin{gathered} a(dc)f=b(cd)e \\ \to a(cd)f=b(cd)e \\ \to af=be \\ \to (a,b)～(e,f) \end{gathered}$$

第三步：由等價關系(劃分)得到商集$F$

• 劃分：$[\frac{a}{b}]=\{(c,d)\in S|(c,d)～(a,b)\}$
• 商集：$F=S/～=\{[\frac{a}{b}]|a,b\in D,b=0\}$

第四步：定義商集$F$的運算，使$F$構成域

• 域：乘法交換+除環；
• 除環：非零元全體構成乘法群+環；
• 環：加法交換群+乘法結合+乘法對加法分配
• 加法交換群：加法封閉+加法結合+加法單位元+加法逆元+加法交換
• 非零元全體構成乘法群：乘法封閉+乘法結合+乘法單位元+乘法逆元

綜上，我們要證的有：

• 加法、乘法交換
• 加法、乘法結合
• 乘法對加法分配
• 加法、乘法單位元
• 加法、乘法逆元

首先，我們定義商集$F$上的加法、乘法運算

$$\begin{gathered} ?[\frac{a}{b}],[\frac{c}{d}]\in S, \\ [\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{ad+bc}{bd}] \\ [\frac{a}{b}]?[\frac{c}{d}]=[\frac{ac}{bd}] \end{gathered}$$

證明：

• "+","·"是$F$上的代數運算

  要證$[\frac{a}{b}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}],[\frac{c}{d}]=[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]\to [\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]+[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}],[\frac{a}{b}]?[\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]?[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]$

  $$\begin{gathered} [\frac{a}{b}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}],[\frac{c}{d}]=[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}] \\ \to a^{\prime }b=a{b}^{\prime },c^{\prime }d=c{d}^{\prime } \end{gathered}$$

  • 證"+"

  $$\begin{gathered} (ad+bc)b^{\prime }{d}^{\prime } \\ =ad{b}^{\prime }{d}^{\prime }+bc{b}^{\prime }{d}^{\prime } \\ =(a{b}^{\prime })d{d}^{\prime }+b{b}^{\prime }(c{d}^{\prime }) \\ =(a^{\prime }b)d{d}^{\prime }+b{b}^{\prime }(c^{\prime }d) \\ =(a^{\prime }{d}^{\prime })bd+(b^{\prime }{c}^{\prime })bd \\ =(a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime })bd \end{gathered}$$

  $(ad+bc)b^{\prime }{d}^{\prime }=(a^{\prime }{d}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime })bd\to [\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]+[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]$

  • 證"·"
    $ac{b}^{\prime }{d}^{\prime }=(a{b}^{\prime })(c{d}^{\prime })=(a^{\prime }b)(c^{\prime }d)=a^{\prime }{c}^{\prime }cd$
    $ac{b}^{\prime }{d}^{\prime }=a^{\prime }{c}^{\prime }cd\to [\frac{a}{b}]?[\frac{c}{d}]=[\frac{a^{\prime }}{b^{\prime }}]?[\frac{c^{\prime }}{d^{\prime }}]$

• 加法、乘法交換

  $?[\frac{a}{b}],[\frac{c}{d}]\in F,$
  $[\frac{a}{b}]+[\frac{c}{d}]=[\frac{ad+bc}{bd}]=[\frac{c}{d}]+[\frac{a}{b}]$
  $[\frac{a}{b}]?[\frac{c}{d}]=[\frac{ac}{bd}]=[\frac{c}{d}]?[\frac{a}{b}]$

• 加法、乘法結合

  類似交換，易證。

• 乘法對加法分配

  類似交換，易證。

• 加法、乘法單位元

  $?[\frac{a}{b}]\in F,[\frac{0}{1}]+[\frac{a}{b}]=[\frac{a}{b}]$
  $?[\frac{a}{b}]\in F,[\frac{1}{1}]?[\frac{a}{b}]=[\frac{a}{b}]$

• 加法、乘法逆元

  $?[\frac{a}{b}]\in F,[\frac{?a}{b}]+[\frac{a}{b}]=[\frac{ab?ab}{b^2}]=[\frac{0}{1}]$
  $?[\frac{a}{b}]\in F,[\frac{b}{a}]?[\frac{a}{b}]=[\frac{ab}{ab}]=[\frac{1}{1}]$

第五步：域$F$構造一個包含整環$D$的域$Q$

由環的擴張定理知：$\phi :D\to F$，只要證

• $D,F$是環
• $D\cap F=?$
• $\phi$是單同態

就可以得到$?Q,D\le Q,{\phi }^{\prime }:Q\to F,{\phi }^{\prime }$是同構

前兩者易得，證明$\phi$是單同態：

• 構造映射：$\phi :D\to F,\phi (x)=[\frac{x}{1}],x\in D$

• 證明同態：

  $\phi (x+y)=[\frac{x+y}{1}]=[\frac{x}{1}]+[\frac{y}{1}]=\phi (x)+\phi (y)$
  $\phi (x?y)=[\frac{x?y}{1}]=[\frac{x}{1}]?[\frac{y}{1}]=\phi (x)?\phi (y)$

• 證明單射：$?x,y\in D,[\frac{x}{1}]=[\frac{y}{1}]\to x?1=y?1\to x=y$

第六步：域$Q$的元素的表達式

$D\le Q\to Q$包含$D$的每個非零元，以及非零元的逆元，
故$Q=\{a{b}^{?1}|a,b\in D,b=0\}$

驗證：從${\phi }^{\prime }:Q\to F$反推：${\phi }^{\prime ?1}:F\to Q$

$$\begin{gathered} {\phi }^{\prime ?1}([\frac{a}{b}]) \\ ={\phi }^{\prime ?1}([\frac{a}{1}]?[\frac{1}{b}]) \\ ={\phi }^{\prime ?1}([\frac{a}{1}])?{\phi }^{\prime ?1}([\frac{1}{b}]) \\ ={\phi }^{\prime ?1}([\frac{a}{1}])?{\phi }^{\prime ?1}([\frac{b}{1}{]}^{?1}) \\ =a?({\phi }^{\prime ?1}([\frac{b}{1}]){)}^{?1} \\ =a?b^{?1} \end{gathered}$$

我們稱域$Q$是整環$D$的商域

對比整數環、整環的商域

整數環$Z\to Q:n\to \frac{n}{m}|n\in Z,m=0$
整環$D\to Q:a\to \frac{a}{b}|a,b\in D,b=0$

可以看出，整環的商域與有理數域是類似的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环的商域--整环D扩充为域Q的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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