近世代數--唯一分解整環上的多項式環--唯一分解整環上的多項式環還是唯一分解整環

• 唯一分解整環UFD的多項式環還是唯一分解整環

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

有一些概念。

• 多項式環：這里是多項式環的概念。
  $R[x]:$環$R$上的以$x$為未定元的一元多項式環

  $R[x]=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots \dots +a_n{x}^n|n\ge 0,a_0,a_1,\dots a_n\in R\}$

• 本原多項式：

  • $f(x)=a_0{x}^n+a_1{x}^{n?1}+\dots +a_n$(次冪相加為n)為$D$上的多項式，
  • 如果$gcd(a_0,a_1,\dots a_n)=1,$

  則$f(x)$是$D$上的一個本原多項式primitive polynomial

唯一分解整環UFD的多項式環還是唯一分解整環

證明：

由唯一分解整環的充分條件，可知：

• 每個非零非單位的元素都可分解為不可約元的乘積

  設$?f(x)\in D[x],f(x)$非零非單位，由本原多項式是多項式的分解因子$f(x)=rg(x)$知，$?a=0,a\in D,g(x)\in D[x],$使$f(x)=ag(x)$

  • $a=d_1{d}_2\dots d_t,(d_i$是$D$的不可約元)
  • $g(x)=p_1(x)p_2(x)\dots p_s(x),(p_i(x)$是$F$上的不可約多項式)
    • $?r_i=0,r_i\in D,q_i(x)\in D[x],$使得$p_i(x)=r_i{q}_i(x)(q_i(x)$是本原不可約多項式)
    • $$\begin{gathered} g(x)=r_1{q}_1(x)r_2{q}_2(x)\dots r_s{q}_s(x) \\ =(r_1{r}_2\dots r_s)(q_1(x)q_2(x)\dots q_s(x)) \end{gathered}$$
      • 由$rg(x)=r_1{g}_1(x),g(x),g_1(x)$是本原多項式$\to r^{?1}{r}_1$是$D$的單位得，$r_1{r}_2\dots r_s=u\in U$，是$D$的單位
  • $$\begin{gathered} f(x)=d_1{d}_2\dots d_t{p}_1(x)p_2(x)\dots p_s(x) \\ =(d_1{d}_2\dots d_t)(r_1{r}_2\dots r_s)(q_1(x)q_2(x)\dots q_s(x)) \\ =(d_1{d}_2\dots d_t)u(q_1(x)q_2(x)\dots q_s(x)) \end{gathered}$$

• 每個不可約元都是素元

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--唯一分解整环上的多项式环--唯一分解整环上的多项式环还是唯一分解整环的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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