近世代數--整環上的唯一分解問題--相伴是整環上的等價關系，最大公因子建立在相伴所劃分的等價類上

• 相伴是整環上的等價關系
• 最大公因子建立在相伴所劃分的等價類上
• • 整除
  • 最大公因子

博主是初學近世代數（群環域），本意是想整理一些較難理解的定理、算法，加深記憶也方便日后查找；如果有錯，歡迎指正。
我整理成一個系列：近世代數，方便檢索。

相伴是整環上的等價關系

相伴：$D$為整環，$a,b\in D,a\mid b,b\mid a,$則稱$a$與$b$相伴，記作$a～b$。

• 相伴是整環上的一種等價關系，對元素的劃分。

  $i$是不可約元$?i=ab\to i～a,b\in U$或$i～b,a\in U$

  因為乘以單位，并不會改變相伴關系，即在相伴的意義下仍然等價。

• 以下三種表達式等價：

  • (1) $a～b$
  • (2) $<a>=<b>$
  • (3) $?u\in U,u\in D,$使$a=bu$

  證明：

  • (1)$\to$(2)：$$\begin{gathered} a～b \\ \to a\mid b \\ \to ?c\in D,b=ac \\ \to b\in <a> \end{gathered}$$，同理，$$\begin{gathered} a\in <b> \\ \to <a>=<b> \end{gathered}$$
  • (2)$\to$(3)：
    如果$$\begin{gathered} a=b=0 \\ \to ?u\in U,u\in D, \end{gathered}$$有$a=bu$；$$\begin{gathered} a=0,a\in <b>, \\ \to ?u\in D, \end{gathered}$$使$a=bu$；又$$\begin{gathered} b\in <a> \\ \to ?v\in D, \end{gathered}$$使$$\begin{gathered} b=av \\ \to b=buv \\ \to uv=1 \\ \to u\in U,v\in U \end{gathered}$$
  • (3)$\to$(1)：$?u\in U,u\in D,$使$$\begin{gathered} a=bu,b\mid a \\ \to ?u^{?1}\in U,u^{?1}\in D, \end{gathered}$$使$$\begin{gathered} b=a{u}^{?1} \\ \to a\mid b \\ \to a～b \end{gathered}$$

最大公因子建立在相伴所劃分的等價類上

整環上的整除、最大公因子概念。下方的等價類都是通過相伴關系劃分的等價類。

整除

設$D$是整環，$a,b\in D$。

• 如果$?c\in D,$使$a=bc$，則稱$b$是$a$的一個因子，$a$能被$b$整除，或$b$整除$a$，記作$b\mid a$

推論：

• $b\mid a\to$$(b$的等價類)$\mid a$：若$b\mid a\to ?c\in D,$使$a=b?c\to ?u\in D,u\in U,a=(bu)?(u^{?1})?(c)\to bu\mid a$
• 同理 $b\mid a\to b\mid (a$的等價類)：若$b\mid a\to ?c\in D,$使$a=b?c\to ?u\in D,u\in U,au?u^{?1}=b?c\to au=b?(cu)\to b\mid au$

最大公因子

$d=gcd(a,b)$,若

• $d\mid a,d\mid b\to d$是$a,b$的公因子
• $?c\mid a,c\mid b,$必有$c\mid d$，則$d$是$a,b$的最大公因子

推論：

• 如果$d=gcd(a,b)$，那么$du$也是$a,b$的最大公因子：

  $d\mid a\to ?u\in D,u\in U,$使得$du\mid a$
  $c\mid d\to ?u\in D,u\in U,$使得$cu\mid d$

• 如果$d_1,d_2$是$a,b$的最大公因子，那么$d_1～d_2$

  $d_1=gcd(a,b),d_2=gcd(a,b),\to ?u\in D,u\in U,$使得$d_{1}u=d_2\to d_1～d_2$

$d=gcd(a,b)$只是表示$d$是$a,b$的一個最大公因子

其實$gcd(a,b)$是$d$的等價類，而不是一個元素

• 例子：如果$c=gcd(a,b),f=gcd(d,e),$有$c=f$，那么$gcd(a,b)～gcd(d,e)$

總結

以上是生活随笔為你收集整理的近世代数--整环上的唯一分解问题--相伴是整环上的等价关系，最大公因子建立在相伴所划分的等价类上的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。