現代密碼學2.4--香農定理/Shannon Theorem：完美安全的充分必要條件

• 香農定理/Shannon Theorem

博主正在學習INTRODUCTION TO MODERN CRYPTOGRAPHY (Second Edition) --Jonathan Katz, Yehuda Lindell，做一些筆記供自己回憶，如有錯誤請指正。整理成一個系列現代密碼學，方便檢索。

《現代密碼學》第一章所介紹的古典密碼全都已經被破解了，而2.1節介紹了完美安全的定義，在2.2、2.3節向我們介紹了一次一密以及具有完美安全的密碼方案的共同缺點，第2.4節將介紹具有完美安全的密碼方案的充分必要條件，也就是香農定理/Shannon Theorem。

香農定理/Shannon Theorem

• 因為在一次一密以及具有完美安全的密碼方案的共同缺點中已經證明過：滿足完美安全的密碼方案必有密鑰空間$|\mathcal{K}|\ge |\mathcal{M}|$；
• 因為從明文空間$\mathcal{M}$映射到密文空間$\mathcal{C}$的加密算法一定是一種單射函數，也就是不能有兩個明文$m,m^{\prime }$映射到同一個密文$c$的情況出現（如果出現這種情況，那密文$c$可能會解密得到明文$m$或$m^{\prime }$，不滿足解密的確定性），那么密文空間$|\mathcal{C}|\ge$明文空間$|\mathcal{M}|$；

綜合以上，我們認為滿足完美安全的密碼方案總是有$|\mathcal{K}|\ge |\mathcal{M}|$，$|\mathcal{C}|\le |\mathcal{M}|$。現在假設$|\mathcal{K}|=|\mathcal{M}|=|\mathcal{C}|$，某種意義上這是一種最優解的情況，在這種情況下滿足完美安全的密碼方案的充分必要條件。

有兩個條件：

• (1) 密鑰空間$\mathcal{K}$中的每個密鑰$k$是靠生成密鑰算法$Gen$等概率選擇的，每一個密鑰$k$被選擇的概率都是$1/|\mathcal{K}|$；
• (2) 對于每個$m\in \mathcal{M}$，$c\in \mathcal{C}$，存在唯一的密鑰$k\in \mathcal{K}$使得$En{c}_k(m)=c$。

證明：

• 充分性：即證以上兩個條件可推出完美安全$Pr[M=m|C=c]=Pr[M=m]$。
  • 由條件(2)得$Pr[C=c|M=m]=Pr[K=k]$，由條件(1)得$Pr[K=k]=1/|\mathcal{K}|$，故$Pr[C=c|M=m]=Pr[K=k]=1/|\mathcal{K}|$
  • $\to Pr[C=c]={\sum }_{m\in \mathcal{M}}Pr[En{c}_K(m)=c]?Pr[M=m]=1/|\mathcal{K}?{\sum }_{m\in \mathcal{M}}Pr[M=m]=1/|\mathcal{K}|$
  • $\to Pr[M=m|C=c]=\frac{Pr[C=c|M=m]?Pr[M=m]}{Pr[C=c]}=\frac{Pr[En{c}_K(m)=c]?Pr[M=m]}{Pr[C=c]}=\frac{1/|\mathcal{K}|?Pr[M=m]}{1/|\mathcal{K}|}=Pr[M=m]$
• 必要性：即證完美安全可推出兩個條件。
  • 首先證明條件(2)一定滿足：根據完美安全要求$Pr[En{c}_K(m)=c]=Pr[En{c}_K(m^{\prime })=c],?m,m^{\prime }\in \mathcal{M}$，也就是任何明文都有可能加密得到密文$c$，那么$Pr[En{c}_K(m)=c]>0,?m\in \mathcal{M}$。
    • 那我們可以假設對于明文$m_i\in \mathcal{M}$加密得到密文$c$的密鑰空間是${\mathcal{K}}_i\in \mathcal{K}$，也就是$En{c}_k(m_i)=c,?k\in {\mathcal{K}}_i$；
    • 現在證明${\mathcal{K}}_i$與${\mathcal{K}}_j$不相交。假設相交，則有$k\in {\mathcal{K}}_i$，$k\in {\mathcal{K}}_i$，那么$En{c}_k(m_i)=c$，$En{c}_k(m_j)=c$，這不滿足解密的確定性，產生矛盾，故${\mathcal{K}}_i\cap {\mathcal{K}}_j=?$；
    • 現在證明每個${\mathcal{K}}_i$中只有一個密鑰$k$。因為我們證明充分必要條件之前已經假設，$|\mathcal{K}|=|\mathcal{M}|$，又因為對于每個$m_i\in \mathcal{M}$，都有一個對應的密鑰空間${\mathcal{K}}_i$，而這些密鑰空間${\mathcal{K}}_i$都不相交，則總密鑰空間$\mathcal{K}=\cup {\mathcal{K}}_i=\sum {\mathcal{K}}_i$。所以只有每個$|{\mathcal{K}}_i|=1$，才有$|\mathcal{K}|=|\mathcal{M}|$，那么推出條件(2)：存在唯一的密鑰$k\in \mathcal{K}$使得$En{c}_k(m)=c$。
  • 現在證明條件(1)一定滿足：
    • 由條件(2)得：$Pr[K=k_i]=Pr[En{c}_K(m_i)=c]$
    • 由完美安全定義得：$Pr[En{c}_K(m_i)=c]=Pr[En{c}_K(m_j)=c]$
    • 那么有$Pr[K=k_i]=Pr[En{c}_K(m_i)=c]=Pr[En{c}_K(m_j)=c]=Pr[K=k_j]$，即所有密鑰$k_i\in \mathcal{K}$是等概率生成的。

總結

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