現(xiàn)代密碼學(xué)2.4--香農(nóng)定理/Shannon Theorem：完美安全的充分必要條件

• 香農(nóng)定理/Shannon Theorem

博主正在學(xué)習(xí)INTRODUCTION TO MODERN CRYPTOGRAPHY (Second Edition) --Jonathan Katz, Yehuda Lindell，做一些筆記供自己回憶，如有錯(cuò)誤請(qǐng)指正。整理成一個(gè)系列現(xiàn)代密碼學(xué)，方便檢索。

《現(xiàn)代密碼學(xué)》第一章所介紹的古典密碼全都已經(jīng)被破解了，而2.1節(jié)介紹了完美安全的定義，在2.2、2.3節(jié)向我們介紹了一次一密以及具有完美安全的密碼方案的共同缺點(diǎn)，第2.4節(jié)將介紹具有完美安全的密碼方案的充分必要條件，也就是香農(nóng)定理/Shannon Theorem。

香農(nóng)定理/Shannon Theorem

• 因?yàn)樵谝淮我幻芤约熬哂型昝腊踩拿艽a方案的共同缺點(diǎn)中已經(jīng)證明過：滿足完美安全的密碼方案必有密鑰空間$|\mathcal{K}|\ge |\mathcal{M}|$；
• 因?yàn)閺拿魑目臻g$\mathcal{M}$映射到密文空間$\mathcal{C}$的加密算法一定是一種單射函數(shù)，也就是不能有兩個(gè)明文$m,m^{\prime }$映射到同一個(gè)密文$c$的情況出現(xiàn)（如果出現(xiàn)這種情況，那密文$c$可能會(huì)解密得到明文$m$或$m^{\prime }$，不滿足解密的確定性），那么密文空間$|\mathcal{C}|\ge$明文空間$|\mathcal{M}|$；

綜合以上，我們認(rèn)為滿足完美安全的密碼方案總是有$|\mathcal{K}|\ge |\mathcal{M}|$，$|\mathcal{C}|\le |\mathcal{M}|$。現(xiàn)在假設(shè)$|\mathcal{K}|=|\mathcal{M}|=|\mathcal{C}|$，某種意義上這是一種最優(yōu)解的情況，在這種情況下滿足完美安全的密碼方案的充分必要條件。

有兩個(gè)條件：

• (1) 密鑰空間$\mathcal{K}$中的每個(gè)密鑰$k$是靠生成密鑰算法$Gen$等概率選擇的，每一個(gè)密鑰$k$被選擇的概率都是$1/|\mathcal{K}|$；
• (2) 對(duì)于每個(gè)$m\in \mathcal{M}$，$c\in \mathcal{C}$，存在唯一的密鑰$k\in \mathcal{K}$使得$En{c}_k(m)=c$。

證明：

• 充分性：即證以上兩個(gè)條件可推出完美安全$Pr[M=m|C=c]=Pr[M=m]$。
  • 由條件(2)得$Pr[C=c|M=m]=Pr[K=k]$，由條件(1)得$Pr[K=k]=1/|\mathcal{K}|$，故$Pr[C=c|M=m]=Pr[K=k]=1/|\mathcal{K}|$
  • $\to Pr[C=c]={\sum }_{m\in \mathcal{M}}Pr[En{c}_K(m)=c]?Pr[M=m]=1/|\mathcal{K}?{\sum }_{m\in \mathcal{M}}Pr[M=m]=1/|\mathcal{K}|$
  • $\to Pr[M=m|C=c]=\frac{Pr[C=c|M=m]?Pr[M=m]}{Pr[C=c]}=\frac{Pr[En{c}_K(m)=c]?Pr[M=m]}{Pr[C=c]}=\frac{1/|\mathcal{K}|?Pr[M=m]}{1/|\mathcal{K}|}=Pr[M=m]$
• 必要性：即證完美安全可推出兩個(gè)條件。
  • 首先證明條件(2)一定滿足：根據(jù)完美安全要求$Pr[En{c}_K(m)=c]=Pr[En{c}_K(m^{\prime })=c],?m,m^{\prime }\in \mathcal{M}$，也就是任何明文都有可能加密得到密文$c$，那么$Pr[En{c}_K(m)=c]>0,?m\in \mathcal{M}$。
    • 那我們可以假設(shè)對(duì)于明文$m_i\in \mathcal{M}$加密得到密文$c$的密鑰空間是${\mathcal{K}}_i\in \mathcal{K}$，也就是$En{c}_k(m_i)=c,?k\in {\mathcal{K}}_i$；
    • 現(xiàn)在證明${\mathcal{K}}_i$與${\mathcal{K}}_j$不相交。假設(shè)相交，則有$k\in {\mathcal{K}}_i$，$k\in {\mathcal{K}}_i$，那么$En{c}_k(m_i)=c$，$En{c}_k(m_j)=c$，這不滿足解密的確定性，產(chǎn)生矛盾，故${\mathcal{K}}_i\cap {\mathcal{K}}_j=?$；
    • 現(xiàn)在證明每個(gè)${\mathcal{K}}_i$中只有一個(gè)密鑰$k$。因?yàn)槲覀冏C明充分必要條件之前已經(jīng)假設(shè)，$|\mathcal{K}|=|\mathcal{M}|$，又因?yàn)閷?duì)于每個(gè)$m_i\in \mathcal{M}$，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的密鑰空間${\mathcal{K}}_i$，而這些密鑰空間${\mathcal{K}}_i$都不相交，則總密鑰空間$\mathcal{K}=\cup {\mathcal{K}}_i=\sum {\mathcal{K}}_i$。所以只有每個(gè)$|{\mathcal{K}}_i|=1$，才有$|\mathcal{K}|=|\mathcal{M}|$，那么推出條件(2)：存在唯一的密鑰$k\in \mathcal{K}$使得$En{c}_k(m)=c$。
  • 現(xiàn)在證明條件(1)一定滿足：
    • 由條件(2)得：$Pr[K=k_i]=Pr[En{c}_K(m_i)=c]$
    • 由完美安全定義得：$Pr[En{c}_K(m_i)=c]=Pr[En{c}_K(m_j)=c]$
    • 那么有$Pr[K=k_i]=Pr[En{c}_K(m_i)=c]=Pr[En{c}_K(m_j)=c]=Pr[K=k_j]$，即所有密鑰$k_i\in \mathcal{K}$是等概率生成的。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的现代密码学2.4--香农定理/Shannon Theorem：完美安全的充分必要条件的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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