要證明n個數：

0 mod m,? n mod m,? 2n mod m,? ...,? (m - 1)n mod m

精確地由某種順序的m/d個數字的d份拷貝組成：

0,? d,? 2d,? ...,? m - d

d = gcd(m, n)

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第一步先要證明這m個數字是由m/d個數字的d份拷貝組成的，作者說這個證明是小菜一碟，通過

jn ≡ kn (mod m)? <--> j(n/d) ≡ k(n/d) (mod m/d)

就可以得到。

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實在看不出這里的邏輯關系，所以按如下方式理解更容易一些。

由于d = gcd(m, n)，所以jn ≡ jn + mn/d (mod m)

有jn ≡ (j + m/d)n (mod m)

這意味著，第0個數和第m/d個數是一樣的，第一個數和第1 + m/d個數一樣，一直到第m/d - 1個數。

也就是說，以這m/d個數為一組，后續是在不斷重復這一組數。由于一共有m個數，所以一共重復了d次。

這里選擇n/d是因為它是上下文中已知的最小整數，說jn ≡ jn + m (mod m)也是對的，但

jn ≡ (j + m/n)n (mod m)中，不能保證m/n是整數。

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接下來，要證明這m/d個數是按某種順序排列的：

0,? d,? 2d,? ...,? m - d

令n = n'd, ?m = m'd，原命題變為，證明

0 mod m',? n' mod m',? 2n' mod m',? ...,? (m‘ - 1)n' mod m'是按某種順序排列的

0,? 1,? 2,? ...,? m' - 1

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對于k(0 ≤ k < m')，kn' mod m'的取值肯定是小于m'的，只要證明這m'個數互相不重復，那么它們就肯定是從0到m' - 1。

假設有k1, k2，滿足 k1n'?≡ k2n' (mod m')

由于m', n'互素，所以 k1 ≡ k2 (mod m')

又由于k1, k2都小于m'，所以只能是 k1 = k2。

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所以，原命題得證了。

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轉載于:https://www.cnblogs.com/dongxuenan/archive/2011/06/19/2213995.html

總結

以上是生活随笔為你收集整理的关于4.8节第一个例子的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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