什么是概率？
繼《線性代數》和《單變量微積分》后，“馬同學圖解”系列又迎來新的成員 ---- 《概率論與數理統計》，覆蓋浙江大學《概率與數理統計》前八章（考研范圍），下面是本課程的第二篇文章，歡迎大家試讀和購買。
1 爭論
概率論需要回答的第一個問題就是，什么是概率？
剛接觸這門學科的同學可能覺得難以置信，這個問題仍然存在著廣泛的爭論：
而且這個問題更像是一個哲學問題，而不是數學問題，確實也有不少哲學家參與討論。
對于概率的定義有幾個主流的派別：
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頻率派
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古典派
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主觀派
了解這些派別對于理解概率論很有幫助，下面來簡單介紹一下。
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2 頻率派
首先來了解下頻率派，頻率派的理論基礎是對過去事實的歸納總結。
2.1 什么是頻率？
學概率從拋硬幣開始才是正確姿勢。我們知道硬幣是有正反兩面：
硬幣拋出之后：
得到的結果是隨機的，那么得到正面的概率是多少呢？這里的“概率”又指的是什么？
我們扔100次硬幣試試：
可以看到，得到48次正面，52次反面，用正面次數除以總的次數：
“”稱為扔100次硬幣時，正面出現的?頻率?。
2.2 頻率與概率
2.2.1 頻率穩定性
同樣的，扔??次硬幣時如果出現了??次正面，那么：
“”為此時正面出現的頻率。歷史上很多數學家都做過扔??次硬幣的實驗：
從試驗結果可見，隨著??的增大，頻率越來越趨近于0.5?？梢?#xff0c;雖然單次扔硬幣的結果是隨機的，但多次重復后頻率趨于穩定，這種穩定性也稱為?頻率穩定性?，反應了扔硬幣存在某種必然性。
2.2.2 定義
頻率派認為如果頻率存在穩定性，即當??時下面極限存在，就得到了?概率（用Probability的首字母P來表示）：
可以自己嘗試扔一下，點一下按鈕就會模擬扔100次硬幣，看看是不是扔的次數越多，越趨于0.5（計算機模擬的，內部使用的是偽隨機，難免會有一些偏差）：
此處有互動內容，點擊這里可以前去操作
3 頻率派的缺點
通過頻率來定義概率的方法比較符合直覺，但缺陷也很明顯：
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首先，需要??足夠大，但是“足夠大”這個詞很含糊
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其次，需要在相同條件下反復扔硬幣，但是“相同條件”這個詞也很含糊，也很難保證，比如扔了10000次后，硬幣上沾滿汗水，那又怎么辦？
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再次，永遠也不可能扔無限次硬幣，所以得到的概率始終是一個近似值
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最后，有些時候根本不具備反復實驗的條件，比如火山噴發的概率應該怎么計算？
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4 古典派
接下來介紹古典派，古典派的理論基礎是不充分理由原則。
4.1 不充分理由原則
在概率論草創階段，雅各布·伯努利（1654－1705）：
就提出，如果因為無知，使得我們沒有辦法判斷哪一個結果會比另外一個結果更容易出現，那么應該給予它們相同的概率。比如：
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硬幣：由于不清楚硬幣哪一面更容易出現，那么應該給予正面、反面相同的概率，即為?
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骰子：我們不清楚骰子哪一面更容易出現，那么應該給予每一面相同的概率，即為?
此稱為?不充分理由原則（Insufficient Reason Principle）。
4.2 古典概率
以不充分理由原則為基礎，經由拉普拉斯（皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵，1749－1827）：
之手，確立了?古典概率?的定義，即：
在這之后，古典概率在整個19世紀也被人們廣泛接受，我們高中學習的概率，基本都是古典概率。
比如，有一家原木加工廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在1 ～?3尺之間隨機浮動：
那么根據古典概率，正方形邊長在1?～?2尺之間的概率為多少？
根據古典概率的不充分理由原則，我們沒有辦法判斷哪一種邊長更容易出現，那么就應該給予它們相同的概率，也就是說1?～?3之間每一種長度都是等可能的。
1?～?2包含了一半的可能長度：
所以，正方形邊長在1?～?2尺之間的概率為?1/2。
5 古典派的缺點
古典派的缺陷也是非常明顯的：
（1），古典派的概率定義，“未知的概率都是等概率”，有循環定義的嫌疑。
（2），不充分理由原則沒辦法處理非等概率的情況，假如被告知硬幣兩面是非等概率的，但是不知道是哪一面，那么應該怎么辦？（拉普拉斯提出還是應該按照等概率來處理）
（3），還容易產生矛盾，比如剛才練習題中提到的原木加工廠，它會把木頭切成不同的木方，木方的截面都是正方形，邊長會在1?～?3尺之間隨機浮動：
那么根據不充分理由原則，正方形邊長在1 ～?2尺之間的概率為?。
剛才的問題還可以轉為面積來解答，1 ～?3尺邊長的正方形面積為1 ～?9平方尺，1 ～?2尺邊長的正方形面積為1 ～?4平方尺：
同樣，根據不充分理由原則，1?～?9平方尺之間的正方面面積是等可能的，那么正方形面積在1?～?4平方尺之間的概率為?3/8?：
選擇對“長度”還是對“面積”運用不充分理由原則，同一個問題會得到了不同的概率：
上述問題是?伯特蘭悖論（Bertrand's paradox）簡化版，由伯特蘭在1899年出版的《概率論》中提出：
伯特蘭悖論先說在這里，之后會有專門介紹古典派概率的章節，到時再來解決這個悖論。
6 主觀派
最后介紹下主觀派，主觀派認為概率是?信念強度（degree of belief）。
比如說，我個人相信20年后人類從網絡時代進入人工智能時代的概率為70%：
上面說的概率也就是主觀概率，是個人對這個命題的信念強度，換句話說我覺得還是很有可能實現的。
雖說是主觀概率，其實也有客觀的部分，比如剛才對人工智能的判斷，就是基于AI的基礎設置發展、計算速度的提高等事實。
主觀概率更貼近人的思考方式，比如我們在作科學研究時，會先給出一個猜想，這就是給出了一個主觀概率。
所以在人工智能時代，因為要模仿人的行為，主觀概率越來越受到重視：
當然主觀派缺陷也很明顯，這也是被大家接受困難的原因：
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說到科學，大家都認為應該是客觀的，但是偏偏主觀概率不客觀，充滿了個人偏見
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因為主觀，大家很難對某個主觀概率達成共識
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7 小結
三個流派大概有以下的區別：
這三個流派并非涇渭分明、互不相容，反而在發展中犬牙交錯。比如要判斷火山的噴發概率，就需要總結過往數據（頻率派），再加入主觀知識（主觀派）。
為什么概率的定義不明確？可能因為概率本身研究的就是“不明確”。
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總結
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