著色問題

問題分析

假設(shè)地圖共有7個(gè)區(qū)域，分別是A/B/C/D/E/F/G，對(duì)上面順序進(jìn)行編號(hào)，每個(gè)區(qū)域用一個(gè)結(jié)點(diǎn)表示，相鄰的區(qū)域有連線，那么地圖就轉(zhuǎn)化成一個(gè)無向連接圖。

算法設(shè)計(jì)

定義問題的解空間。圖的m著色問題解空間形式為n元組{x₁,x₂,...,x_i,...,x_n}，每個(gè)分量取值為1,2,3,...,m，即問題的解是一個(gè)n元向量。由此可得，問題的解空間為{x₁,x₂,...,x_i,...,x_n}，其中顯約束為x_i=1,2,...,m。

確定解空間的組織結(jié)構(gòu)：一顆滿m叉樹，樹的深度為n。

搜索解空間

• 約束條件：假設(shè)當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)位于解空間樹的第t層，那么從第1到第t-1層的結(jié)點(diǎn)情況都已經(jīng)確定，接下來是按照擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的第一個(gè)分支進(jìn)行擴(kuò)展，此時(shí)需要判斷是否將第t個(gè)結(jié)點(diǎn)著色情況。第t個(gè)結(jié)點(diǎn)的色號(hào)要與前t-1個(gè)結(jié)點(diǎn)中與其有邊相連的結(jié)點(diǎn)顏色不同，如果有顏色相同的，則第t個(gè)結(jié)點(diǎn)不能用這個(gè)色號(hào)，換下一個(gè)色號(hào)嘗試。
• 限界條件：無。
• 搜索過程：擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)沿著第一個(gè)分支擴(kuò)展，判斷約束條件，滿足則進(jìn)入深一層繼續(xù)搜索；如果不滿足，則擴(kuò)展生成的結(jié)點(diǎn)被剪掉，換下一個(gè)色號(hào)嘗試。如果所有色號(hào)都嘗試完畢，該結(jié)點(diǎn)變成死結(jié)點(diǎn)，向上回溯到距離其最近的活結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)搜索。搜索到葉子結(jié)點(diǎn)時(shí)，找到一種著色方案，搜索過程直到全部活結(jié)點(diǎn)變成死結(jié)點(diǎn)為止。

解題過程

地圖7個(gè)區(qū)域，3種顏色。

開始搜索第1層（t=1）。擴(kuò)展A結(jié)點(diǎn)第一個(gè)分支，首先判斷是否滿足約束條件，因?yàn)橹斑€未著色任何結(jié)點(diǎn)，所以滿足約束條件，擴(kuò)展該分支，令1號(hào)結(jié)點(diǎn)著1號(hào)色，即x[1]=1，生成B。

拓展B結(jié)點(diǎn)（t=2）。擴(kuò)展第一個(gè)分支x[2]=1，首先判斷2號(hào)結(jié)點(diǎn)是否和前面已經(jīng)確定色號(hào)的結(jié)點(diǎn)（1號(hào)）有邊相連且色號(hào)相同，不滿足約束條件，剪掉該分支，然后沿著x[2]=2擴(kuò)展，2號(hào)結(jié)點(diǎn)和前面已經(jīng)確定色號(hào)的結(jié)點(diǎn)（1號(hào)）有邊相連，但色號(hào)不同，滿足約束條件，擴(kuò)展該分支，令x[2]=2。

擴(kuò)展C結(jié)點(diǎn)（t=3）。擴(kuò)展第一個(gè)分支x[3]=1，首先判斷3號(hào)結(jié)點(diǎn)是否和前面已經(jīng)確定色號(hào)的結(jié)點(diǎn)（1、2號(hào)）有邊相連且色號(hào)相同，不滿足約束條件，剪掉該分支；同理剪掉x[3]=2分支。然后沿著x[3]=3擴(kuò)展，3號(hào)結(jié)點(diǎn)和前面已經(jīng)確定色號(hào)的結(jié)點(diǎn)（1、2號(hào)）有邊相連，但色號(hào)不同，滿足約束條件，擴(kuò)展該分支，令x[3]=3。生成D。

擴(kuò)展D結(jié)點(diǎn)（t=4）。擴(kuò)展第一個(gè)分支x[4]=1，首先判斷4號(hào)結(jié)點(diǎn)是否和前面已經(jīng)確定色號(hào)的結(jié)點(diǎn)（1、2、3號(hào)）有邊相連且色號(hào)相同，不滿足約束條件（4余1相連），剪掉該分支；然后令x[4]=2，符合條件，生成E。

擴(kuò)展E結(jié)點(diǎn)（t=5）。擴(kuò)展第一個(gè)分支x[5]=1，首先判斷4號(hào)結(jié)點(diǎn)是否和前面已經(jīng)確定色號(hào)的結(jié)點(diǎn)（1、2、3號(hào)）有邊相連且色號(hào)相同，確定5與2、3、4相連但色號(hào)不同，滿足約束條件，擴(kuò)展該分支，生成F。

擴(kuò)展F結(jié)點(diǎn)（t=6）。擴(kuò)展第一個(gè)分支x[6]=1，同理不滿足，剪掉分支；然后沿著x[6]=2擴(kuò)展，6與5號(hào)有邊相連但色號(hào)不同，故滿足約束條件，擴(kuò)展該分支，令x[6]=2，生成G。

擴(kuò)展G結(jié)點(diǎn)（t=7）。擴(kuò)展第一個(gè)分支x[7]=1，剪掉x[7]=1和x[7]=2的分支，然后令x[7]=3，符合要求，生成H。

擴(kuò)展H結(jié)點(diǎn)（t=8）。t>n，找到一個(gè)可行解，輸出該可行解{1,2,3,2,1,2,3}，回溯到最近的活結(jié)點(diǎn)G。

重新擴(kuò)展G結(jié)點(diǎn)（t=7）。G已經(jīng)考察完畢，成為死結(jié)點(diǎn)，回溯到最近的活結(jié)點(diǎn)F。

繼續(xù)搜索，又找到第二種著色方案，輸出可行解{1,3,2,3,1,3,2}。

繼續(xù)搜索，又找到4個(gè)可行解。

代碼實(shí)現(xiàn)

//約束條件 bool isRight(int t) {for (int j = 1; j < t; j++){if (map[t][j]){if (x[j] == x[t])return false;}}return true; }//回溯方法函數(shù) void Backtrack(int t) {if (t > n){sum++;cout << "第" << sum << "種方案：";for (int i = 1; i <= n; i++)//輸出該著色方案{cout << x[i] << " ";}cout << endl;}else {for (int i = 1; i <= m; i++){x[t] = i;if (isRight(t))Backtrack(t + 1);}} }

算法復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度：O(nmⁿ)。

空間復(fù)雜度：O(n)。

n皇后問題

問題介紹

在n×n的棋盤上放置彼此不受攻擊的n個(gè)皇后。按照國(guó)際象棋規(guī)則，皇后可以攻擊與之在同一行、同一列、同一斜線上的棋子。現(xiàn)在在n*n的棋盤上放置n個(gè)皇后，使其不受攻擊。

問題分析

求解策略：
以行為主導(dǎo)：

• 在第1行第1列放置第一個(gè)皇后。
• 在第2行放置第2個(gè)皇后。第2個(gè)皇后的位置不能和前面的皇后同列、同斜線，不用再判斷同行了，因?yàn)槊啃形覀儽緛砭椭环乓粋€(gè)。
• 在第3行放置第3個(gè)皇后。第3個(gè)皇后的位置不能和前面的皇后同列、同斜線。
• ……
• 在第t行放置第t個(gè)皇后。第t個(gè)皇后的位置不能和前面的皇后同列、同斜線。
• ……
• 在第n行放置第n個(gè)皇后。第n個(gè)皇后的位置不能和前面的皇后同列、同斜線。

算法設(shè)計(jì)

（1）定義問題的解空間。n皇后問題解的形式為n元組：{x₁,x₂,...,x_i,...,x_n}，分量x_i表示第i個(gè)皇后放置在第i行第x_i列，x_i取值為1,2,3,...,n。顯約束為不同行。

（2）解空間的組織結(jié)構(gòu)：一顆m(m=n)叉樹，樹深度為n。

（3）搜索解空間。
約束條件：在第t行放置第t個(gè)皇后時(shí)，第t個(gè)皇后的位置不能和前t-1個(gè)皇后同列、同斜線。第i個(gè)皇后和第j個(gè)皇后不同列，即x_i!=x_j。

限界條件：不需要設(shè)置。

搜索過程：

從根開始，以DFS的方式進(jìn)行搜索。根節(jié)點(diǎn)是活結(jié)點(diǎn)，并且是當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)。在搜索過程中，當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)沿縱深方向移向一個(gè)新結(jié)點(diǎn)，判斷該新結(jié)點(diǎn)是否滿足隱約束。如果滿足，則該新結(jié)點(diǎn)成為活結(jié)點(diǎn)，并且成為當(dāng)前的擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，繼續(xù)深一層的搜索；如果不滿足，則換到該新結(jié)點(diǎn)的兄弟結(jié)點(diǎn)繼續(xù)搜索；如果新結(jié)點(diǎn)沒有兄弟結(jié)點(diǎn)，或其兄弟結(jié)點(diǎn)已全部搜索完畢，則擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)成為死結(jié)點(diǎn)，搜索回溯到其父結(jié)點(diǎn)處繼續(xù)進(jìn)行。搜索過程直到找到問題的根結(jié)點(diǎn)變成死結(jié)點(diǎn)為止。

代碼實(shí)現(xiàn)

bool isPlace(int t) {bool place = true;for (int j = 1; j < t; j++){if (x[t] == x[j] || t - j == fabs(x[t] - x[j]))//判斷列、對(duì)角線是否沖突{place = false;break;}}return place; }void backtrack(int t) {if (t > n){countn++;for (int i = 1; i <= n; i++){cout << x[i] << " ";}cout << endl;cout << "---------" << endl;}else{//分別判斷n個(gè)分支，特別注意i不要定義為全局變量，否則遞歸調(diào)用有問題for (int i = 1; i <= n; i++){x[t] = i;if (isPlace(t))backtrack(t + 1);//上面說的是不沖突就進(jìn)行下一行搜索}} }

算法復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度：O(nⁿ⁺¹）。

空間復(fù)雜度：O(n)。

最優(yōu)加工順序

問題描述

現(xiàn)在有3個(gè)機(jī)器零件{J₁,J₂,J₃}，在第一臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間分別為2、5、4，在第二臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間分別為3、1、6.如何安排零件加工順序，使第一個(gè)零件從機(jī)器1上加工開始到最后一個(gè)零件在機(jī)器2上加工完成，所需的總加工時(shí)間最短？

問題分析

我們通過分析可以發(fā)現(xiàn)，第一臺(tái)機(jī)器可以連續(xù)加工，而第二臺(tái)機(jī)器開始加工的時(shí)間是當(dāng)前第一臺(tái)機(jī)器的下線時(shí)間和第二臺(tái)機(jī)器下線時(shí)間的最大值。
實(shí)際上就是找到n個(gè)機(jī)器零件的一個(gè)排列，使總的加工時(shí)間最短。

算法設(shè)計(jì)

定義問題的解空間。解的形式為n元組：{x₁,x₂,...,x_i,...,x_n}，分量x_i表示第i個(gè)加工的零件號(hào)，n個(gè)零件組成的集合為S={1,2,...,n}，x_i取值為S-{x₁,x₂,...,x_i-1}。

解空間的組織形式為一顆排列數(shù)，深度為n。

搜索解空間。

• 約束條件：無約束條件。
• 限界條件：用f₂表示當(dāng)前已完成的零件在第二臺(tái)機(jī)器加工結(jié)束所用的時(shí)間，用bestf表示當(dāng)前找到的最優(yōu)加工方案的完成時(shí)間。顯然，繼續(xù)向深處搜索時(shí)，f₂不會(huì)減少，只會(huì)增加。因此，當(dāng)f₂≥bestf時(shí)，沒有繼續(xù)向深處搜索的必要。限界條件可以描述為：f₂。f₂初值為0，bestf的初值為無窮大。

搜索過程。擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)沿著某個(gè)分支擴(kuò)展時(shí)需要判斷限界條件，如果滿足，則進(jìn)入深一層繼續(xù)搜索；如果不滿足，則剪掉該分支。搜索到葉子結(jié)點(diǎn)的時(shí)候，即找到當(dāng)前最優(yōu)解。搜索直到全部活結(jié)變成死結(jié)點(diǎn)為止。

代碼實(shí)現(xiàn)

1.數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

struct node {//機(jī)器零件在第一臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間x和第二胎機(jī)器上的加工時(shí)間yint x,y; }T[MAX];

2.按限界條件進(jìn)行搜索求解：t表示當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)在第t層，f₁表示當(dāng)前第一臺(tái)機(jī)器上加工的完成時(shí)間，f₂表示當(dāng)前第二臺(tái)機(jī)器上加工的完成時(shí)間。如果t>n表示已經(jīng)到達(dá)葉子結(jié)點(diǎn)，記錄最優(yōu)值和最優(yōu)解，返回。否則，分別判斷每個(gè)分支是否滿足約束條件，若滿足則進(jìn)入下一層backtrack(t+1)；如果不滿足則反操作復(fù)位，考察下一個(gè)分支（兄弟結(jié)點(diǎn)）。

void Backtrack(int t) {if(t>n){for(int i=1;i<=n;i++)bestx[i]=x[i];//記錄最優(yōu)隊(duì)列bestf=f2;//更新最優(yōu)值return ;}for(int i=t;i<=n;i++){f1+=T[x[i].x;int temp=f2;f2=max(f1,f2)+T[x[i]].y;if(f2<bestf)//滿足限界條件{swap(x[t],x[i]);//交換Backtrack(t+1);//繼續(xù)搜索swap(x[t],x[i]);//復(fù)位，反操作}f1-=T[x[i]].x;//復(fù)位，反操作f2=temp;//復(fù)位，反操作} }

算法復(fù)雜度分析

時(shí)間復(fù)雜度為O(nn!)≈O((n+1)!)，空間復(fù)雜度為O(n)。

算法優(yōu)化改進(jìn)

新的算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(nlogn)，空間復(fù)雜度為O(n)。利用貝爾曼規(guī)則，代碼如下：

#include<iostream> #include<algorithm> using namespace std ; const int MX=10000+5 ; int n; struct node {int id;int x,y; }T[MX] ; bool cmp(node a,node b) {return min(b.x,a.y)>=min(b.y,a.x);//按照貝爾曼規(guī)則排序 } int main() {cout<<"請(qǐng)輸入機(jī)器零件的個(gè)數(shù) n:";cin>>n;cout<<"請(qǐng)依次輸入每個(gè)機(jī)器零件在第一臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間x和第二臺(tái)機(jī)器上的加工時(shí)間y:";for(int i=0;i<n;i++){cin>>T[i].x>>T[i].y;T[i].id=i+1;}sort(T,T+n,cmp); //排序int f1=0,f2=0;for(int i=0;i<n;i++) //計(jì)算總時(shí)間{f1+=T[i].x;f2=max(f1,f2)+T[i].y;}cout<<"最優(yōu)的機(jī)器零件加工順序?yàn)?";for(int i=0;i<n;i++) //輸出最優(yōu)加工順序cout<<T[i].id<<" ";cout<<endl;cout<<"最優(yōu)的機(jī)器零件加工的時(shí)間為:";cout<<f2<<endl;return 0 ; }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的算法笔记之回溯法（2）的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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