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善道：線性系統控制入門(六)用能控標準型設計控制器?zhuanlan.zhihu.com

在利用狀態方程設計MIMO的能控標準型時，閉環系統的動態是完全不考慮輸出變量

而直接預給的，MIMO系統的輸出動態可能會因為狀態變量之間的耦合導致變換到能控標準型時無法保證期望的系統動態。這就是輸入輸出變量解耦的必要性，這樣輸入和輸出就不會耦合在一起，期望的動態會被直接加在輸出上。

接下來假設，輸入控制量

輸出變量 具有相同的維度，即 。這種控制器的設計方法其實最開始源自Falb和Wolovich，還有更多的方法論都是基于輸入輸出線性化的非線性系統的理論。

7.1 相對微分度

要實現輸入輸出的解耦，需要用到相對微分度(relativer Grad)的概念。考察一個MIMO的系統

(7.1)

定義7.1 向量形式的相對微分度
式(7.1)表示的線性系統會能用有向量表示的 個相對微分度 ，如果滿足
①
②一個 的矩陣
(7.2)
是滿秩可逆的，即

指數

的意義是很清楚的，當輸出 關于時間連續求導后有

(7.3)

我們知道滿足這樣所有假設①②后，就能得到獨立的

個相對微分度 ，它表示從 個輸入 開始，各有 個解耦后的相對的微分度為 的階數逐步遞增的微分方程。而且輸出變量 必須經歷 次微分以后才會第一次到達輸入端，也就是每個控制輸入變量 的直接作用只出現在第 階的輸出變量上，之后的影響都是間接積分得到。輸入量只在入口處出現，跟后面中間過渡量無關，所以輸入輸出是解耦的。

當所有相對微分度之和的總微分度不超過系統階數時

(7.4)

那么最高階的輸出變量的

就決定了系統的輸入輸出解耦形式，把(7.3)最后一行表示的寫得緊湊一點

(7.5)

顯然SISO系統的微分度只是MIMO系統的相對微分度的一維簡化，即

時。定義7.1的簡化為

(7.6)

7.2 輸入輸出標準型

相對微分度向量

能用來確定正則的狀態變量變換矩陣

(7.7)

, ,

第一個

行的狀態變量 表示了所有輸出變量 的導數 。如果想使得狀態變量的變換矩陣 存在且可逆，必須使剩下的變換矩陣 ，所以

(7.8)

所以能導出輸入輸出標準型的變換定理

定理 7.1 線性輸入輸出標準型
一個式(7.1)決定的線性系統的輸出 有相對微分度向量 ，且總的相對微分數 。那么總可以選出一個變換矩陣來保證總的變換矩陣 是可逆的，并且系統能夠變成輸入輸出標準型
(7.9)輸入輸出動態：
(7.10)內動態：
其中變換后的輸出變量為 , ，其他矩陣向量分別為
(7.11)

這合計

條對解耦狀態變量 的積分鏈，產生了系統輸入輸出解耦的動態，而剩下的子系統的狀態變量 就描述了所謂的系統的內動態(interne Dynamik)。在許多情況下，子系統的狀態變量 也都可以分配給變換前系統唯一對應的狀態變量 ，其經由 得到。

7.3 狀態解耦和特征值預給

取式(7.5)，它其實就是每個相對微分度下解耦的最后一行

(7.12)

因為基本假設，即耦合矩陣

滿秩可逆，且存在微分度向量 那么原本的輸入控制變量 就還可以用新的輸入控制量 表示

(7.13)

于是導出了輸入輸出解耦的形式

(7.14)

其中有(7.15)

對于每一條積分鏈的輸出端，

可以借助新的輸入端 實現既定目標的控制。根據式(7.14)可知，新輸入量會對系統的內動態產生影響，而新輸入量也可以像之前能控標準型一樣，任意配置系統期望的內動態，依據

(7.16)

圖7.1 解耦后的輸入輸出標準型

依然是目標特征多項式的系數

(7.17)

然而，與原來單單只用特征值預給可以保證系統的穩定性不同的是，采用輸入輸出解耦形式時，內動態的穩定性是對整個系統穩定性有決定性的作用。其次，因為實際的輸入變量

因為式(7.13)而讓內動態狀態變量 實實在在地出現。當內動態是不穩定的時候，也會導致 過高的調控幅值。

如果想要獲取內動態的實際穩定性，我們不應該讓輸入狀態以及其他非內動態的狀態變量影響它，也就是讓內動態變為自治系統，于是我們就需要考察所謂的零動態(Nulldynamik)，先讓其他狀態變量以及輸入量全部置零

于是由解耦形態直接獲得零動態

(7.18)

零動態是一種特殊的內動態，當所有輸出量都保持零時，它表達了系統最后剩下的動態。只有當零動態是漸進穩定的，整個系統才能保持漸近穩定。

整個經過解耦的輸入輸出標準型，依然可以利用反饋律進行特征值的配置，利用Ackermann公式和式(7.14)，類似得到

定理7.2 輸入輸出解耦的狀態反饋設計
式(7.1)所示的MIMO線性系統有相對微分度向量 ，經過輸入輸出解耦后，得到形如式(7.9)的表達，并且零動態是漸進穩定的。那么會有反饋控制律以及Kalman增益矩陣
(7.19)
使系統能夠漸近穩定。其中耦合矩陣 來自(7.2)，而系數 來自特征多項式(7.17)。

解耦的輸入輸出標準型的Ackermann公式和原本普通的MIMO的標準型不一樣，原本Ackermann公式使用變換向量

以及耦合矩陣 ,而輸入輸出標準型則直接使用輸出向量 和新的耦合矩陣 ，有相對微分度向量 ，且總的相對微分數 時，會留出 階的系統內動態，只有當系統內動態，或者零動態穩定時，系統才完全穩定。

反饋控制矩陣可以使得輸入輸出解耦的子系統穩定，整個經由反饋調整后的解耦子系統可如下表示

(7.20)

因充分解耦，可把每個矩陣塊

組成總的解耦子系統矩陣是對角矩陣 。并且考慮內動態系統，會有

(7.21)

且有(7.22)

，它的每一個向量 都對應了所屬特征多項式的系數。因而可求最終合成閉環系統的動態矩陣 的特征值

(7.23)

閉環系統的特征值正好分別是預給特征多項式和零動態多項式的乘積！也就是說，系統總的特征值是獨立分開的，解耦部分用預給特征多項式保證穩定性，內動態用

的特征值保證穩定性。

7.4 系統零動態的含義

借助SISO系統的傳遞函數，我們會更容易看出系統的零動態行為。

(7.24)

顯然，上面這個分子分母互質的傳遞函數的微分度是

，它的能控標準型為

(7.25)

這個形式也是對傳遞函數的最小實現。現在把它變成解耦的輸入輸出標準型，需要借助

(7.26)

其中有

,

所以解耦的輸入輸出標準型為

(7.27)

它的內動態的細節有

(7.28)

因此內動態的狀態方程為

(7.29)

令

，于是有零動態 ，求其特征值

(7.30)

所以零動態的特征值對應了的傳遞函數零點！所以只要零動態穩定，其所對應的傳遞函數的零點就會落在左半平面。當系統是非最小相位的時候，會有一個或者多個傳遞函數的零點在右半平面，也就是說內動態是不穩定的。所以一個狀態反饋控制器在解耦的輸入輸出標準型下設計的時候，必須要求系統是最小相位的，這樣才可以穩定。

這一章我們深入探討了考慮了系統輸出之后應當使輸入輸出解耦的狀態反饋控制器的設計方案，還引入了解耦后出現的系統內動態的概念。下一章要初步討論最優控制。

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參考文獻：

[1]Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) (WS 2019), Prof. Dr.-Ing. Knut Graichen

Lehrstuhl für Regelungstechnik, Friedrich-Alexander-Universit?t Erlangen-Nürnberg

總結

以上是生活随笔為你收集整理的c++矩阵作为函数输入变量_现代控制理论线性系统入门(七)输入输出解耦的控制器设计...的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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