學過數值積分的應該知道，有限元中的積分點指高斯積分點，因為這些點的收斂性好，精度高。

1. 節點
??? 在單元內，采用形函數來表述單元內變量的分布規律。而節點值是在節點處的對應物理量。
以簡單矩形單元的溫度為例：四個節點i,j,m,n的溫度分別為Ti,Tj,Tm,Tn.
則以單元內自然坐標(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分別為四個節點，單元內溫度分布為：

T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn}
其中，Si=1/4(1-x)(1-y)，Sj=1/4(1+x)(1-y)] ，Sm=1/4(1+x)(1+y)，Sn=1/4(1-x)(1+y)

(單元的形函數我們可以從手冊中查到)
從而我們知道了溫度在單元內的分布。
2. 積分點
??? 我們需要對溫度在單元內的面積上進行積分時，因為節點的溫度顯然與x,y無關，我們只需要考慮對形函數積分。采用Gauss_Legendre多項式計算積分時，我們只需要計算根據特定積分點的值（在自然坐標系下是固定的，可以查手冊，這些點也叫高斯點、積分點）并加以權重就可以。這就把復雜的積分問題變成了簡單的代數問題。因為形函數只與單元有關，所以積分點也只與單元形狀有關。
??? 應力一般采用多個積分點的相互插值或外延來計算節點應力。這只是為了減少誤差。因為在積分點應力比節點具有更高階的誤差。
??? 從理論上說，形函數已知后，用Maple或者Mathematic等軟件進行符號積分的話，是可以精確計算出剛度矩陣和質量矩陣，但是這樣做的話，對于工程實際應用來說并不合適。
原因：1，費時；2，Mindlin中厚板有剪力鎖死問題，有時候需要采用縮聚積分），所以有些書上會把2節點梁單元的剛度陣直接寫出來，但是再復雜點的單元，就使用數值積分（Newton-Cotes積分和高斯積分）
牛頓-科斯的積分點就是節點，這樣得到的質量矩陣是集中質量陣形式

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個人理解：

1.節點作用：構造形函數，節點的多少描述規則形狀單元內的應力的近似分布情況，并獲取節點上的位移值

2.積分點作用：構造規則形狀單元與曲邊（曲面）單元的轉化的變換函數，積分點的選取多少和選取的位置直接關系到這種“映射”的精確程度，剛度矩陣、邊界條件的轉化都用到了坐標變換的積分關系，一般取高斯積分點能使被積函數計算精度盡量高。對于newton-cote積分點的選取，這種“映射”看起來，節點和積分點是同一個位置或說是同一點，而對于高斯積分點位置與節點是不同的。

故有如下結果：

?1.由于高斯積分點的這種變換比較高，在方程求解結束，返回積分點上的應力解比較準確。
?2.至于Mindlin中厚板有剪力鎖死問題，采用縮聚積分，也是應為這種坐標的變換關系（可見《有限單元法基本原理和數值方法p345頁10.4.11式可知），力的邊界條件只有剪切，采用縮聚積分可以較大降低剪切力的影響，但是也可能引起剛度矩陣的奇異，所以對于中厚板的積分點選取不同一般的方案。

1.ANSYS手冊(Chapter 13)上列出各種單元的積分點位置。
2.王瑁成的《有限單元法》第五章，有解釋為什么積分點應力更加精確。

3.因為積分點應力更精確，所以我們一般采用積分點的應力內插或外延確定節點應力。特殊情況除外。

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單元節點和積分點是不同的兩個概念！
積分點是在進行函數積分的時候，為了增加精度，選取的積分點，也就是高斯積分
單元節點是你選取單元的時候就已經定下的點。

一定有單元節點，但不一定有積分點

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??? 在網格劃分完了所有的節點就都給定了，就是你網格中的每個點，他是有限元模型中“真實存在”的點。但是高斯點純粹是因為高斯積分這種積分方式引入的。數值分析告訴我們，數值積分有很多方法，比如辛普森積分，高斯積分等，比如說，如果你采用辛普森積分就不存在高斯點這個概念，只有當你采用高斯積分才會有高斯點，不過有限元大多都采用高斯積分。;看過高斯積分就知道高斯點是怎么一回事了。
有限元求解的結果是每個節點的位移，然后通過形函數插值得到單元任何一個點的位移，當然可以計算出高斯積分點的位移。至于應力，一般是先求解出高斯點出的應力，然后通過平均化的技術平均到每個節點上，高斯點處的應力精度最高，節點最差。

??? 沙漏現象由于積分點過少造成單元變形過大，剪力自鎖由于沒有中節點，單元邊界無法彎曲，造成單元變形過小。二者是相對立的兩個現象，都屬于有限元方法自身上的缺陷。 剪切閉鎖現象一般發生在出現彎曲變形的線性完全積分單元中（例如CPS4、CPE4、C3D8）。線性單元的直邊不能承受彎曲載荷作用，分析過程中可能出現本來不存在的虛假剪應變，使單元的彎曲剛度過大，計算的位移值偏小，即單元的位移場不能模擬由于彎曲而引起的剪切變形和彎曲變形，這就是所謂的“剪切閉鎖”現象。當單元長度與厚度的數量級相同或長度大于厚度時，此現象會更嚴重。如果懷疑模型中出現了剪切閉鎖現象，可以考慮采用非協調單元或者縮減積分單元。如果模型中網格扭曲非常厲害，僅僅改變單元類型往往不會使計算結果得到很大的改進，劃分網格時盡可能保證單元形狀是規則的。

總結

以上是生活随笔為你收集整理的有限元中单元节点和积分点的区别的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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