2.8 函數(shù)的漸近增長(zhǎng)

????????我們現(xiàn)在來判斷一下，兩個(gè)算法A和B哪個(gè)更好。假設(shè)兩個(gè)算法的輸入規(guī)模都是n，算法A要做2n + 3次操作，你可以理解為先有一個(gè)n次的循環(huán)，執(zhí)行完成后，再有一個(gè)n次循環(huán)，最后有三次賦值或運(yùn)算，共2n + 3次操作。算法B要做3n + 1次操作。你覺得它們誰更快呢？
??????? 準(zhǔn)確說來，答案是不一定的（如表2-8-1所示）。

??????? 當(dāng)n = 1時(shí)，算法A效率不如算法B（次數(shù)比算法B要多一次）。而當(dāng)n = 2時(shí)，兩者效率相同；當(dāng)n > 2時(shí)，算法A就開始優(yōu)于算法B了，隨著n的增加，算法A要越來越好過算法B了（執(zhí)行的次數(shù)比Ｂ要少）。于是我們可以得出結(jié)論，算法A總體上要好過算法B。
??????? 此時(shí)我們給出這樣的定義，輸入規(guī)模n在沒有限制的情況下，只要超過一個(gè)數(shù)值N，這個(gè)函數(shù)就總是大于另一個(gè)函數(shù)。我們稱函數(shù)是漸近增長(zhǎng)的。

??????? 函數(shù)的漸近增長(zhǎng)：給定兩個(gè)函數(shù)f(n)和g(n)，如果存在一個(gè)整數(shù)N，使得對(duì)于所有的n > N，f(n)總是比g(n)大，那么，我們說f(n)的增長(zhǎng)漸近快于g(n)。

??????? 從中我們發(fā)現(xiàn)，隨著n的增大，后面的 +3還是 +1其實(shí)是不影響最終的算法變化的，例如算法A’與算法B’。所以，我們可以忽略這些加法常數(shù)。后面的例子，這樣的常數(shù)被忽略的意義可能會(huì)更加明顯。
??????? 我們來看第二個(gè)例子。算法C是4n + 8，算法D是2n² + 1（如表2-8-2所示）。

??????? 當(dāng)n < = 3的時(shí)候，算法C要差于算法D（因?yàn)樗惴–次數(shù)比較多），但當(dāng)n > 3后，算法C的優(yōu)勢(shì)就越來越優(yōu)于算法D了，到后來更是遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過。而當(dāng)后面的常數(shù)去掉后，我們發(fā)現(xiàn)其實(shí)結(jié)果沒有發(fā)生改變。甚至我們?cè)儆^察發(fā)現(xiàn)，哪怕去掉與n相乘的常數(shù)，這樣的結(jié)果也沒發(fā)生改變，算法C’ 的次數(shù)隨著n的增長(zhǎng)，還是遠(yuǎn)小于算法D’。也就是說，與最高次項(xiàng)相乘的常數(shù)并不重要。
??????? 我們?cè)賮砜吹谌齻€(gè)例子。算法E是2n² + 3n + 1，算法F是2n³ + 3n + 1（如表2-8-3所示）。

??????? 當(dāng)n = 1的時(shí)候，算法E與算法F結(jié)果相同，但當(dāng)n > 1后，算法E的優(yōu)勢(shì)就要開始優(yōu)于算法F，隨著n的增大，差異非常明顯。通過觀察發(fā)現(xiàn)，最高次項(xiàng)的指數(shù)大的，函數(shù)隨著n的增長(zhǎng)，結(jié)果也會(huì)變得增長(zhǎng)特別快。
??????? 我們來看最后一個(gè)例子。算法G是2n²，算法H是3n + 1，算法I是2n² + 3n + 1（如表2-8-4所示）。

??????? 這組數(shù)據(jù)應(yīng)該就看得很清楚。當(dāng)n的值越來越大時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，3n+1已經(jīng)沒法和2n²的結(jié)果相比較，最終幾乎可以忽略不計(jì)。也就是說，隨著n值變得非常大以后，算法G其實(shí)已經(jīng)很趨近于算法I。于是我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論，判斷一個(gè)算法的效率時(shí)，函數(shù)中的常數(shù)和其他次要項(xiàng)常常可以忽略，而更應(yīng)該關(guān)注主項(xiàng)（最高階項(xiàng)）的階數(shù)。
??????? 判斷一個(gè)算法好不好，我們只通過少量的數(shù)據(jù)是不能做出準(zhǔn)確判斷的。根據(jù)剛才的幾個(gè)樣例，我們發(fā)現(xiàn)，如果我們可以對(duì)比這幾個(gè)算法的關(guān)鍵執(zhí)行次數(shù)函數(shù)的漸近增長(zhǎng)性，基本就可以分析出，某個(gè)算法，隨著n的增大，它會(huì)越來越優(yōu)于另一算法，或者越來越差于另一算法。這其實(shí)就是事前估算方法的理論依據(jù)，通過算法時(shí)間復(fù)雜度來估算算法時(shí)間效率。

出處：http://www.cnblogs.com/cj723/archive/2011/03/05/1964884.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《大话数据结构》第2章 算法基础 2.8 函数的渐近增长的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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