2.9 算法的時間復雜度

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2.9.1?算法時間復雜度定義

??????? 在進行算法分析時，語句總的執行次數T(n)是關于問題規模n的函數，進而分析T(n)隨n的變化情況并確定T(n)的數量級。算法的時間復雜度，也就是算法的時間量度，記作：T(n) = O(f(n))。它表示隨問題規模n的增大，算法執行時間的增長率和f(n)的增長率相同，稱作算法的漸近時間復雜度，簡稱為時間復雜度。其中f(n)是問題規模n的某個函數。

??????? 這樣用大寫O()來體現算法時間復雜度的記法，我們稱之為大O記法。
??????? 一般情況下，隨著n的增大，T(n)增長最慢的算法為最優算法。
??????? 顯然，由此算法時間復雜度的定義可知，我們的三個求和算法的時間復雜度分別為O(n)，O(1)，O(n²)。我們分別給它們取了非官方的名稱，O(1)叫常數階，O(n)叫線性階，O(n²)叫平方階，當然，還有其他的一些階，我們之后會介紹。

2.9.2?推導大O階方法

??????? 那么如何分析一個算法的時間復雜度呢？即如何推導大O階呢？我們給出了下面的推導方法，基本上，這也就是總結前面我們舉的例子

推導大O階1.用常數1取代運行時間中的所有加法常數。
2.在修改后的運行次數函數中，只保留最高階項。
3.如果最高階項存在且不是1，則去除與這個項相乘的常數。
得到的結果就是大O階。

??????? 哈，仿佛是得到了游戲攻略一樣，我們好像已經得到了一個推導算法時間復雜度的萬能公式。可事實上，分析一個算法的時間復雜度，沒有這么簡單，我們還需要多看幾個例子。

2.9.3?常數階
??????? 首先順序結構的時間復雜度。下面這個算法，也就是剛才的第二種算法，為什么時間復雜度不是O(3)，而是O(1)。

?

int?sum?=?0,n?=?100;??/*執行一次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行一次*/
printf("%d",?sum);??/*執行一次*/

??????? 這個算法的運行次數函數是f(n)=3。根據我們推導大O階的方法，第一步就是把常數項3改為1。在保留最高階項時發現，它根本沒有最高階項，所以這個算法的時間復雜度為O(1)。
??????? 另外，我們試想一下，如果這個算法當中的語句sum=(1+n)*n/2有10句，即：

?

int?sum?=?0,?n?=?100;?/*執行一次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第1次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第2次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第3次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第4次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第5次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第6次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第7次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第8次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第9次*/
sum?=?(1+n)*n/2;???/*執行第10次*/
printf("%d",sum);??/*執行一次*/?

??????? 事實上無論n為多少，上面的兩段代碼就是3次和12次執行的差異，這種與問題的大小無關（n的多少），執行時間恒定的算法，我們稱之為具有O(1)的時間復雜度，又叫常數階。
??????? 注意，不管這個常數是多少，我們都記作O(1)，而不能是O(3)、O(12)等其他任何數字。這是初學者常常犯的錯誤。
??????? 對于分支結構而言，無論是真，還是假，執行的次數都是恒定的，不會隨著n的變大而發生變化，所以單純的分支結構（不包含在循環結構中），其時間復雜度也是O(1)。

2.9.4?線性階
??????? 循環結構就會復雜很多。要確定某個算法的階次，我們常常需要確定某個特定語句或某個語句集運行的次數。因此，我們要分析算法的復雜度，關鍵就是要分析循環結構的運行情況。
??????? 下面這段代碼，它的循環的時間復雜度為O(n)。因為循環體中的代碼須要執行n次。

int?i;
for(i?=?0;?i?<?n;?i++)
{
???/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/
}

2.9.5?對數階
??????? 那么下面的這段代碼，時間復雜度又是多少呢？

int?count?=?1;
while?(count?<?n)
{
???count?=?count?*?2;
???/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/
}

??????? 由于每次count乘以2之后，就距離n更近了一分。也就是說，有多少個2相乘后大于n，則會退出循環。由2^x=n得到x=log₂n。所以這個循環的時間復雜度為O(logn)。

2.9.6?平方階
??????? 下面的例子是一個循環嵌套，它的內循環剛才我們已經分析過，時間復雜度為O(n)。

?

int?i,j;
for(i?=?0;?i?<?n;?i++)
{
???for?(j?=?0;?j?<?n;j++)???????????????????????
???{??????????????????????????????????????
???????/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/
???}??????????????????????????????????????
}

??????? 而對于外層的循環，不過是內部這個時間復雜度為O(n)的語句，再循環n次。所以這段代碼的時間復雜度為O(n²)。
??????? 如果外循環的循環次數改為了m，時間復雜度就變為O(m×n)。

int?i,j;
for(i?=?0;?i?<?m;?i++)
{
???for?(j?=?0;?j?<?n;?j++)????????????????
???{??????????????????????????????????????
???????/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/
???}??????????????????????????????????????
}

??????? 所以我們可以總結得出，循環的時間復雜度等于循環體的復雜度乘以該循環運行的次數。
??????? 那么下面這個循環嵌套，它的時間復雜度是多少呢？

int?i,j;
for(i?=?0;?i?<?n;?i++)
{
????for?(j?=?i;?j?<?n;?j++)??/*注意int?j?=?i而不是0*/
????{??????????????????????????????????????
??????????/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/
????}??????????????????????????????????????
}

??????????????由于當i = 0時，內循環執行了n次，當i = 1時，執行了n－1次，……當i = n－1時，內循環執行了1次。所以總的執行次數為

?

??????? 用我們推導大O階的方法，第一條，沒有加法常數不予考慮；第二條，只保留最高階項，因此保留n²/2；第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除1/2，最終這段代碼的時間復雜度為O(n²)。
??????? 從這個例子，我們也可以得到一個經驗，其實理解大O推導不算難，難的是對數列的一些相關運算，這更多的是考察你的數學知識和能力，所以想考研的朋友，要想在求算法時間復雜度這里不失分，可能需要強化你的數學，特別是數列方面的知識和解題能力。
??????? 我們繼續看例子，對于方法調用的時間復雜度又如何分析。

?

int?i,j;
for(i?=?0;?i?<?n;?i++)
{
???function(i);
}
?

????????????? 上面這段代碼調用一個函數function。

void?function(int?count)
{
???print(count);
}

???????函數體是打印這個參數。其實這很好理解，function函數的時間復雜度是O(1)。所以整體的時間復雜度為O(n)。
?????? 假如function是下面這樣的：

void?function(int?count)
{
???int?j;
???for?(j?=?count;?j?<?n;j++)???????????????????????
???{??????????????????????????????????????
??????/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/
???}????
}?

??????? 事實上，這和剛才舉的例子是一樣的，只不過把嵌套內循環放到了函數中，所以最終的時間復雜度為O(n²)。
??????? 下面這段相對復雜的語句：

n++;???????/*執行次數為1*/
function(n);?????/*執行次數為n*/
int?i,j;?????
for(i?=?0;?i?<?n;?i++)??/*執行次數為n2*/
{
???function?(i);
}
for(i?=?0;?i?<?n;?i++)??/*執行次數為n(n?+?1)/2*/
{
???for?(j?=?i;j?<?n;?j++)???????????????????????
???{??????????????????????????????????????
????????/*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/
???}??????????????????????????????????????
}
?

???????? 它的執行次數 ，根據推導大O階的方法，最終這段代碼的時間復雜度也是O(n²)。

出處：http://www.cnblogs.com/cj723/archive/2011/03/05/1971640.html

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的《大话数据结构》第2章 算法基础 2.9 算法的时间复杂度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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