数字图像处理：第十一章基于特征向量的变换
第十一章基于特征向量的變換
目錄
1.??? 主分量分析（PCA）、K-L變換（Hotelling變換）
2.??? 奇異值分解（SVD）
3.??? DCT與K-L變換的關系
1. 主分量分析（PCA）、K-L變換（Hotelling變換）
?? 一般而言，這一方法的目的是尋找任意統計分布的數據集合之主要分量的子集。相應的基向量組滿足正交性且由它定義的子空間最優地考慮了數據的相關性。將原始數據集合變換到主分量空間使單一數據樣本的互相關性(cross-correlation)降低到最低點。
??? 設是N維向量的數據集合，m是其均值向量：
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???
??? 有了特征向量集合，任何數據x可以投影到特征空間（以特征向量為基向量）中的表示：
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相反地，任何數據x可以表示成如下的線性組合形式：
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??? 如果用A代表以特征向量為列向量構成的矩陣，則AT定義了一個線性變換：
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上述去相關的主分量分析方法可以用于降低數據的維數。通過略去對應于若干較小特征值的特征向量來給y降維。例如，丟棄底下N-M行得到的矩陣B，并為簡單起見假定均值m=0，則有：
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它只是被舍棄的特征向量所對應的特征值的和。通常，特征值幅度差別很大，忽略一些較小的值不會引起很大的誤差。
??? 上述方法是圖象數據壓縮的數學基礎之一，通常被稱為PrincipalComponent Analysis (PCA)或Karhunen-Loeve (K-L)變換。
??? K-L變換的核心過程是計算特征值和特征向量，有很多不同的數值計算方法。一種常采用的方法是根據如下的推導：
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由于通常s<<N，這種方法將求高階矩陣的特征向量轉化為求較低階矩陣的特征向量的過程在圖象數據分析中是很實用的。
K-L變換是圖象分析與模式識別中的重要工具，用于特征抽取，降低特征數據的維數。例如，MIT-Media Lab基于特征臉的人臉識別方法。http://www-white.media.mit.edu/vismod/demos/facerec/
(以上圖片來自于MIT-Media Lab Photobook/Eigenfaces Demo)
2. 奇異值分解（SVD）
??? 奇異值分解（SingularValue Decomposition）是矩陣分析中正規矩陣酉對角化的推廣。設矩陣A是的秩為r，它的奇異值是指n階方陣AHA（或m階方陣AAH）的正特征值的平方根 (AH是A的共軛轉置)。奇異值分解是指如下形式的分解：
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??? 對于圖象數據而言，任意一個的矩陣A定義的奇異值變換為：
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3. DCT與K-L變換的關系
馬爾可夫（Markov）過程 一個靜態隨機序列稱為一階Markov序列，如果序列中每個元素的條件概率只依賴于它的前一個元素。一個的Markov序列的協方差矩陣具有以下形式：
其中，相鄰兩元素之間的相關系數：
這個協方差矩陣的特征值和特征向量（K-L變換正交矩陣的元素）為：
在ρ趨近1時有
與DCT變換相同。
??? 對于自然景物，通常有。這時DCT的基向量可以很好地近似K-L變換的基向量。由于這個原因，在圖象壓縮算法中常被用來代替K-L變換，如JPEG算法。盡管DCT在降低譜的相關性方面不如K-L變換有效，但是其好處是它的基函數是固定的，而K-L變換的基函數取決于待變換圖象的協方差矩陣。
其它參考文獻：
作業
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清華大學計算機系 艾海舟
最近修改時間：2001年7月18日
出處：http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/CourseImageProcess.html
總結
以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理：第十一章基于特征向量的变换的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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