第十章 離散圖象變換

目錄

1?????????基本概念

1.1?????? 一維離散線性變換、酉變換、正交變換

1.2?????? 二維離散線性變換、酉變換、正交變換

1.3?????? 基函數(shù)和基圖象

2?????????正弦型變換

2.1?????? 離散傅立葉變換（DFT）

2.2?????? 離散余弦變換（DCT）

2.3?????? 離散正弦變換（DST）

2.4?????? Hartley變換

3?????????方波型變換

3.1?????? Walsh-Hardamard變換

作業(yè)

---

1. 基本概念

1.1 一維離散線性變換、酉變換、正交變換

??? 設(shè)x是的向量，T是一個的矩陣，則線性變換定義為：

?
?

變換的結(jié)果y是輸入元素的一階和構(gòu)成的，實際上結(jié)果向量的每個元素y_i是輸入向量x和T的第i行的點積。

例如，平面坐標(biāo)系中的向量旋轉(zhuǎn)變換：

?
?

逆變換：當(dāng)T是非奇異的，逆變換存在：

特別地當(dāng)T是酉矩陣時，就成為酉變換；如果酉矩陣的所有元素都是實數(shù)時就是正交變換。

?
?

?

1.2 二維離散線性變換、酉變換、正交變換

??? 在二維情況下，將一個的矩陣f(x,y)變換為另一個的矩陣g(u,v)的線性變換一般形式為

是變換的核函數(shù)，可以看作是一個的塊矩陣，每行有N個塊，共有N行，每個塊是一個的矩陣。塊由u,v索引，塊內(nèi)由x,y索引。

??? 當(dāng)核函數(shù)能被分解成行方向的分量函數(shù)和列方向上的分量函數(shù)的乘積時，即

通常圖象變換采用如上示形式的可分離的、對稱的酉變換。其反變換為

?
?

?

1.3 基函數(shù)和基圖象

??? 酉變換的核矩陣的行向量構(gòu)成了N維向量空間的一組基。它們是彼此正交的，即

通常基向量都取自同一種形式的基函數(shù)，例如傅立葉變換就是使用復(fù)指數(shù)作為其基函數(shù)的原型，各個基函數(shù)之間只是頻率不同。

??? 在標(biāo)準(zhǔn)基下（單位長度的正交向量組），空間中的任何向量都可表示成基向量的加權(quán)和。而酉變換與向量空間中的旋轉(zhuǎn)一一對應(yīng)。一個的圖象可以看成的向量，因此圖象的二維的、對稱的、可分離的酉變換對應(yīng)著一個N²維向量空間中的旋轉(zhuǎn)。

??? 二維反變換可以看作是用一組基圖象的加權(quán)和重構(gòu)原圖象。變換矩陣中的每個元素就是其對應(yīng)基圖象在求和時的權(quán)值。

??? 基圖象可以通過對只含有一個非零元素（數(shù)值為1）的系數(shù)矩陣求反變換而產(chǎn)生。共有個基圖象。對于可分離的酉矩陣，基圖象實際上就是變換矩陣某兩行的外積：

?
?

?

??? 圖象正變換通過確定系數(shù)來實現(xiàn)分解，反變換通過基圖象的加權(quán)和實現(xiàn)重構(gòu)。

2. 正弦型變換

??? 以正弦型函數(shù)為基函數(shù)的變換包括傅立葉變換、余弦變換等。

2.1 離散傅立葉變換（DFT）

?
?

?

設(shè)F是矩陣形式的圖象，G是它的譜矩陣：

DFT的核矩陣是：

?
?

?

2.2 離散余弦變換（DCT）

??? 二維離散余弦變換定義為：

?
?

?

??? DCT的酉矩陣形式：

?
?

???

與DFT不同的是，DCT是實值的，在圖象壓縮領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。可以用快速傅立葉變換算法實現(xiàn)快速離散余弦變換。

DCT變換的例子如下：左側(cè)為原圖象，右側(cè)為DCT變換圖象。

??

? 　

2.3 離散正弦變換（DST）

?
?

　

　2.4 Hartley變換（DHT）

?
?

???

DHT實際上是DFT的另一種計算方法，由于它避免了復(fù)數(shù)計算，從而可以大大地減少計算量。

3. 方波型變換

??? 為了減少計算量，還有一類圖象變換采用方波型基函數(shù)。

3.1 Walsh-Hardamard變換

??? Walsh-Hardamard變換是對稱的、可分離的酉變換，它的核矩陣中只有+1和-1兩種元素。它的維數(shù)N=2ⁿ,其中n是整數(shù)。核矩陣按如下方式構(gòu)造：

作業(yè)

1.??? 利用Matlab工具編制圖象變換程序，如DCT。

?

---

返回主目錄 返回本章目錄

清華大學(xué)計算機系 艾海舟

最近修改時間：2001年7月18日

出處：http://media.cs.tsinghua.edu.cn/~ahz/digitalimageprocess/CourseImageProcess.html

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的数字图像处理：第十章 离散图象变换的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。