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插值法：拉格朗日插值、牛顿插值
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拉格朗日插值法
（*以下定義選自維基百科）
算法流程圖
算法代碼
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#include<iostream>?? #include<string>?? #include<vector>?? using?namespace?std;?? ?? double?Lagrange(int?N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double?x);?? ?? int?main(){?? ??char?a='n';?? ??do{?? ????cout<<"請輸入差值次數(shù)n的值："<<endl;?? ????int?N;?? ????cin>>N;?? ????vector<double>X(N,0);?? ????vector<double>Y(N,0);?? ????cout<<"請輸入插值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值及函數(shù)值(Xi,Yi)："<<endl;?? ????for(int?a=0;a<N;a++){?? ????????cin>>X[a]>>Y[a];?? ????}?? ????cout<<"請輸入要求值x的值："<<endl;?? ????double?x;?? ????cin>>x;?? ????double?result=Lagrange(N,X,Y,x);?? ????cout<<"由拉格朗日插值法得出結(jié)果：?"<<result<<endl;?? ????cout<<"是否要繼續(xù)？(y/n)：";?? ????cin>>a;?? ??}while(a=='y');?? ??return?0;?? }?? ?? double?Lagrange(int?N,vector<double>&X,vector<double>&Y,double?x){?? ??double?result=0;?? ??for(int?i=0;i<N;i++){?? ????double?temp=Y[i];?? ????for(int?j=0;j<N;j++){?? ????if(i!=j){?? ????????temp?=?temp*(x-X[j]);?? ????????temp?=?temp/(X[i]-X[j]);?? ???}?? ??}?? ??result?+=?temp;?? }?? ?return?result;?? };?? 牛頓插值法
牛頓插值法公式如下，具體參見（百度文檔）
算法流程
算法代碼
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#include<iostream>?? #include<string>?? #include<vector>?? using?namespace?std;?? ?? double?ChaShang(int?n,vector<double>&X,vector<double>&Y);?? double?Newton(double?x,vector<double>&X,vector<double>&Y);?? ?? int?main(){?? ??int?n;?? ??cin>>n;?? ??vector<double>X(n,0);?? ??vector<double>Y(n,0);?? ??for(int?i=0;i<n;i++){?? ????cin>>X[i]>>Y[i];?? ??}?? ??double?x;?? ??cin>>x;?? ??cout<<Newton(x,X,Y);?? }?? ?? double?ChaShang(int?n,vector<double>&X,vector<double>&Y){?? ??double?f=0;?? ??double?temp=0;?? ??for(int?i=0;i<n+1;i++){?? ????temp=Y[i];?? ????for(int?j=0;j<n+1;j++)?? ????????if(i!=j)?temp?/=?(X[i]-X[j]);?? ????f?+=?temp;?? ??}?? ??return?f;?? }?? ?? double?Newton(double?x,vector<double>&X,vector<double>?&Y){?? ??double?result=0;?? ??for(int?i=0;i<X.size();i++){?? ????double?temp=1;?? ????double?f=ChaShang(i,X,Y);?? ????for(int?j=0;j<i;j++){?? ????????temp?=?temp*(x-X[j]);?? ????}?? ????result?+=?f*temp;?? ??}?? ??return?result;?? }?? 實(shí)驗(yàn)過程原始記錄
給定函數(shù)四個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)如下：
試用拉格朗日插值確定函數(shù)在x=2.101，4.234處的函數(shù)值。
運(yùn)行得到結(jié)果：
已知用牛頓插值公式求的近似值。
運(yùn)行程序得到結(jié)果： ? 2.26667?
實(shí)驗(yàn)分析
1、Lagrange插值法和Newton插值法解決實(shí)際問題中關(guān)于只提供復(fù)雜的離散數(shù)據(jù)的函數(shù)求值問題，通過將所考察的函數(shù)簡單化，構(gòu)造關(guān)于離散數(shù)據(jù)實(shí)際函數(shù)f（x）的近似函數(shù)P（x），從而可以計(jì)算未知點(diǎn)出的函數(shù)值，是插值法的基本思路。
2、實(shí)際上Lagrange插值法和Newton插值法是同一種方法的兩種變形，其構(gòu)造擬合函數(shù)的思路是相同的，而實(shí)驗(yàn)中兩個(gè)實(shí)際問題用兩種算法計(jì)算出結(jié)果是相同的。
3、實(shí)驗(yàn)所得結(jié)果精確度并不高，一方面是因?yàn)樗o數(shù)據(jù)較少，另一方面也是主要方面在Win32中C++中數(shù)據(jù)類型double精度只有7位，計(jì)算機(jī)在進(jìn)行浮點(diǎn)運(yùn)算時(shí)截?cái)噙\(yùn)算會(huì)導(dǎo)致誤差。實(shí)際問題中，測量數(shù)據(jù)也可能導(dǎo)致誤差。
4、在解決實(shí)際問題中，更多是利用精確且高效的計(jì)算機(jī)求解。所以解決問題時(shí)不僅要構(gòu)造可求解的算法，更重要是構(gòu)造合理的可以編寫成程序由計(jì)算機(jī)求解的算法，而算法的優(yōu)化不僅可以節(jié)省時(shí)間空間，更能得到更為精確有價(jià)值的結(jié)果。
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總結(jié)
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