生活随笔
收集整理的這篇文章主要介紹了
图形处理（四）基于梯度场的网格编辑-Siggraph 2004
小編覺得挺不錯的,現在分享給大家,幫大家做個參考.
基于梯度場的網格編輯，對應的Paper為《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》，是Siggraph 2004上的一篇paper，這篇paper與基于拉普拉斯的網格變形方法，統稱為基于微分域的網格變形算法，這篇paper其實本質上最后的求解公式和基于拉普拉斯的網格變形方法一樣，之所以能夠siggraph，是因為它通過泊松梯度場的原理進行推導，算法的巧妙之處在于它以頂點(x,y,z)中的每一維作為一個標量場。
這篇paper涉及到的概念：散度、梯度場、標量場、向量場等看起來很難的東西，說實話，對于這篇paper因為網上找不到源代碼，我把這篇paper看了好多遍，才把它的代碼寫出來。學這篇paper時是我第一次學習向量場的相關知識，向量場在三維算法中非常重要，同時當時給我的感覺也真不是一般的難，我看了好多關于標量場、矢量場的相關知識理論，才感覺慢慢理解。
一、相關理論
數學上的泊松方程：
其中f表示標量場，w表示梯度場。
三角網格曲面上的微分算子離散化(引用自《勾畫式泊松網格編輯》)：
給定定義在網格曲面上的分段線性標量場f(v)=fi*φi(v),其中v 為網格曲面上的任意一點；fi為標量場在網格曲面頂點vi處的函數值；φi(*)為分段線性基函數，它在頂點vi處取值為1 ，在其余頂點處取值為0。我們有標量場f 對應的梯度算子
其中▽φi(*)僅在頂點的鄰接三角形上有非零值，且由于φi(*)分段線性，▽φi(*)在各個鄰接三角形上為分段常值函數. 從幾何角度，可以容易地給
其中，R 90 代表繞三角形法向量n T ?旋轉90度，A T 是三角形的面積。類似地，給定定義在三角網格曲面上的分段常值的矢量場w，我們定義在頂點vi處w的散度為：
根據梯度算子和散度算子的 定義，最后可以推導出網格曲面上的標量場f在頂點vi處的拉普拉斯算子為：
這篇paper是由浙大的牛人周坤提出來的，算法最后跟拉普拉斯網格編輯的最后公式可以說是一樣的，然而它的標量場給我很大的啟示，這篇paper直接把(x,y,z)中的x，y，z分別當做一個標量場，然后對標量場求取梯度場，最后求取散度，然后通過泊松方程重建網格模型，實現網格變形。想要更深入的了解泊松重建，可以看看我的另外一篇博文《 圖 像處理（十二）圖像融合(1)Seamless cloning泊松克隆-Siggraph 2004 》
二、算法實現
1、求取源網格曲面的梯度場，最后求取梯度場的散度。
[cpp] ?view plaincopy
?? void ?CScaleDeformBrush::Get_Faces_Gradient()?? {?? ????int ?fn=m_BaseMesh->faces.size();?? ????m_BaseMesh->need_adjacentfaces();?? ?? ????#pragma?omp?parallel?for ?? ????for ?( int ?i=0;i<fn;i++)?? ????{?? ????????TriMesh::Face?&f=m_BaseMesh->faces[i];?? ????????vec?vij=m_BaseMesh->vertices[f[1]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];?? ????????vec?vik=m_BaseMesh->vertices[f[2]]-m_BaseMesh->vertices[f[0]];?? ????????vec?normalf=vij?CROSS?vik;?? ????????float ?areaf=0.5f*len(normalf);?? ????????normalize(normalf);?? ????????for ?( int ?k=0;k<3;k++)?? ????????{?? ???????????m_Face_Gradient[i][k]=vec(0,0,0);?? ???????????for ?( int ?j=0;j<3;j++)?? ???????????{?? ????????????vec?ei=m_BaseMesh->vertices[f[(j+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(j+1)%3]];?? ????????????vec?gradient=float (m_BaseMesh->vertices[f[j]][k]*0.5f/areaf)*(normalf?CROSS?ei);?? ????????????m_Face_Gradient[i][k]=m_Face_Gradient[i][k]+gradient;?? ????????????}?? ?? ????????}?? ????}?? ?? }?? void ?CScaleDeformBrush::Compute_Divergence()?? {?? ?????????? ????m_BaseMesh->need_adjacentfaces();?? ????int ?vn=m_BaseMesh->vertices.size();?? ????#pragma?omp?parallel?for ?? ????for ?( int ?i=0;i<vn;i++)?? ????{????? ????????for ?( int ?j=0;j<3;j++)?? ????????{?? ????????????m_vertices[i].VDivergence[j]=0.0f;?? ????????}?? ????????vector<int >&adjacentface=m_BaseMesh->adjacentfaces[i];?? ????????for ?( int ?j=0;j<adjacentface.size();j++)?? ????????{?? ????????????TriMesh::Face?&f=m_BaseMesh->faces[adjacentface[j]];?? ????????????for ?( int ?k=0;k<3;k++)?? ????????????{?? ????????????????if ?(f[k]==i)?? ????????????????{?? ????????????????????vec?ei=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]];?? ????????????????????vec?e1=m_BaseMesh->vertices[f[(k+1)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];?? ????????????????????vec?e2=m_BaseMesh->vertices[f[(k+2)%3]]-m_BaseMesh->vertices[f[k]];?? ????????????????????double ?cot_angle1=Cot_angle(e2,ei);?? ????????????????????double ?cot_angle2=Cot_angle(-1.0f*e1,ei);?? ????????????????????for ?( int ?xyz=0;xyz<3;xyz++)?? ????????????????????{?? ????????????????????????m_vertices[i].VDivergence[xyz]+=0.5*(cot_angle1*(e1?DOT?m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz])+cot_angle2*(e2?DOT?m_Face_Gradient[adjacentface[j]][xyz]));?? ????????????????????}?? ????????????????????break ;?? ????????????????}?? ????????????}?? ????????}?? ?? ????}?? ?? }?? ?? double ?CScaleDeformBrush::Cot_angle(vec?v1,vec?v2)?? {?? ????vec?vivo=v1;?? ????vec?vjvo=v2;?? ????double ?dotvector=vivo?DOT?vjvo;?? ????dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);?? ????return ?dotvector;?? }??
2、構建泊松方程的系數，矩陣A，也就是計算拉普拉斯矩陣
[cpp] ?view plaincopy
?? void ?CScaleDeformBrush::CotangentWeights(TriMesh*TMesh, int ?vIndex,vector< double >&vweight, double ?&WeightSum, bool ?bNormalize) ?? {????? ????int ?NeighborNumber=TMesh->neighbors[vIndex].size();?? ????vweight.resize(NeighborNumber);?? ????WeightSum=0;?? ????vector<int >&NeiV=TMesh->neighbors[vIndex];?? ????for ?( int ?i=0;i<NeighborNumber;i++)?? ????{?? ????????int ?j_nei=NeiV[i];?? ????????vector<int >tempnei;?? ????????Co_neighbor(TMesh,vIndex,j_nei,tempnei);?? ????????double ?cotsum=0.0;?? ????????for ?( int ?j=0;j<tempnei.size();j++)?? ????????{?? ????????????vec?vivo=TMesh->vertices[vIndex]-TMesh->vertices[tempnei[j]];?? ????????????vec?vjvo=TMesh->vertices[j_nei]-TMesh->vertices[tempnei[j]];?? ????????????double ?dotvector=vivo?DOT?vjvo;?? ????????????dotvector=dotvector/sqrt(len2(vivo)*len2(vjvo)-dotvector*dotvector);?? ????????????cotsum+=dotvector;?? ????????}?? ????????vweight[i]=cotsum/2.0;?? ????????WeightSum+=vweight[i];?? ????}?? ?? ????if ?(?bNormalize?)??? ????{?? ????????for ?( int ?k=0;k<NeighborNumber;++k)?? ????????{?? ????????????vweight[k]/=WeightSum;?? ????????}?? ????????WeightSum=1.0;?? ????}?? }?? ?? ?? void ?CScaleDeformBrush::Co_neighbor(TriMesh?*Tmesh, int ?u_id, int ?v_id,vector< int >&co_neiv)?? {?? ????Tmesh->need_adjacentedges();?? ????vector<int >&u_id_ae=Tmesh->adjancetedge[u_id];??? ????int ?en=u_id_ae.size();?? ????Tedge?Co_Edge;?? ????for ?( int ?i=0;i<en;i++)?? ????{?? ????????Tedge?&ae=Tmesh->m_edges[u_id_ae[i]];?? ????????int ?opsi=ae.opposite_vertex(u_id);?? ????????if ?(opsi==v_id)?? ????????{?? ????????????Co_Edge=ae;?? ????????????break ;?? ????????}?? ????}?? ????for ?( int ?i=0;i<Co_Edge.m_adjacent_faces.size();i++)?? ????{?? ????????TriMesh::Face?af=Tmesh->faces[Co_Edge.m_adjacent_faces[i]];?? ????????for ?( int ?j=0;j<3;j++)?? ????????{?? ????????????if ((af[j]!=u_id)&&(af[j]!=v_id))?? ????????????{?? ????????????????co_neiv.push_back(af[j]);?? ????????????}?? ????????}?? ????}?? }?? ?? void ?CScaleDeformBrush::Get_Laplace_Matrix()?? {?? ????int ?vn=m_BaseMesh->vertices.size();?? ????int ?count0=0;?? ????vector<int >begin_N(vn);?? ????for ?( int ?i=0;i<vn;i++)?? ????{????? ????????begin_N[i]=count0;?? ????????count0+=m_BaseMesh->neighbors[i].size()+1;?? ????}?? ????typedef ?Eigen::Triplet< double >?T;?? ????std::vector<T>?tripletList(count0);?? ????for ( int ?i=0;i<vn;i++)?? ????{?? ????????VProperty?&?vi?=?m_vertices[i];?? ????????tripletList[begin_N[i]]=T(i,i,-vi.VSumWeight);?? ????????int ?nNbrs?=?vi.VNeighbors.size();?? ????????for ?( int ?k?=?0;k<nNbrs;++k)??? ????????{?? ????????????tripletList[begin_N[i]+k+1]=T(vi.VNeighbors[k],i,vi.VNeiWeight[k]);?? ????????}?? ????}?? ????m_Laplace_Matrix.resize(vn,vn);??? ????m_Laplace_Matrix.setFromTriplets(tripletList.begin(),?tripletList.end());?? ?? }??
3、添加邊界約束條件，并求解泊松方程，更新變形結果。
實時更新函數：
[cpp] ?view plaincopy
void ?CScaleDeformBrush::Update_V_Position()?? {?? ????Get_Faces_Gradient();?? ????int ?fn=m_BaseMesh->faces.size();?? ????if (!m_ScaleFace.empty())?? ????for ?( int ?i=0;i<fn;i++)?? ????{?? ????????if (m_ScaleFace[i])?? ????????{?? ????????????for ?( int ?j=0;j<3;j++)?? ????????????{?? ????????????????m_Face_Gradient[i][j]=1.1f*m_Face_Gradient[i][j];?? ????????????}?? ????????????m_BaseMesh->faces[i].beSelect=false ;?? ????????}?? ????}?? ????Compute_Divergence();?? ????if (!m_MatricesCholesky) ?? ????{?? ????????double ?a=m_Laplace_Matrix.coeff(0,0)?+1;?? ????????m_Laplace_Matrix.coeffRef(0,0)=a;?? ????????m_MatricesCholesky=new ?Eigen::SimplicialCholesky<SparseMatrixType>(m_Laplace_Matrix); ?? ????}?? ????int ?vn=m_BaseMesh->vertices.size();?? ????for ?( int ?i=0;i<3;i++)?? ????{?? ????????Eigen::VectorXd?rhs_xyz(vn);?? ????????for ?( int ?j=0;j<vn;j++)?? ????????{?? ????????????rhs_xyz[j]=m_vertices[j].VDivergence[i];?? ????????}?? ????????rhs_xyz[0]=rhs_xyz[0]+1.0f*m_BaseMesh->vertices[0][i];?? ????????Eigen::VectorXd?xyz=m_MatricesCholesky->solve(rhs_xyz);?? ????????for ?( int ?j=0;j<vn;j++)?? ????????{?? ????????????m_BaseMesh->vertices[j][i]=xyz[j];?? ????????}?? ????}?? ????m_ScaleFace.clear();?? ????m_ScaleFace.resize(fn,false );?? ????m_BaseMesh->normals.clear();?? ????m_BaseMesh->FaceNormal.clear();?? ?? }??
接著我們來看一下用這個算法實現的簡單局部編輯結果：
上面的實時局部縮放算法我是通過另外一篇paper《Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》的思想實現的，這篇paper基本上就是拷貝《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》的思想，唯一的創新點在于它的實時交互設計方面，因為我是為了實現實時縮放刷，所以縮放的思想就是根據《Differential-Based Geometry and Texture Editing with Brushes》進行寫代碼的。
上面是用了上面的算法進行簡單的實時編輯。
這篇paper后面還有后續的算法調整，比如梯度方向調整、還有實現網格融合、幾何紋理Transfer。其中梯度方向調整是實現保特征變形的必備條件，因此如果你想要實現完整的算法，就要對梯度方向進行調整，這個可以參考我的以一篇博文《基于旋轉不變量的網格變形》。在這里，我就不詳細講方向調整了，方向調整有專門的算法，paper很多。
須知：基于梯度域的變形方法和拉普拉斯網格變形算法一樣，微分坐標不具有旋轉不變的特點，在變形的時候，會發生曲面細節扭曲，需要對微分坐標，或者梯度方向進行調整，才能實現保特征變形，要實現旋轉不變的變形，可以參考我的另外一篇博文《基于旋轉不變量的網格變形》以此實現旋轉不變的特點。
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參考文獻：
1、《Mesh Editing with Poisson-Based Gradient Field Manipulation》
2、微分網格處理技術
3、勾畫式泊松網格編輯
《新程序員》：云原生和全面數字化實踐 50位技術專家共同創作，文字、視頻、音頻交互閱讀
總結
以上是生活随笔 為你收集整理的图形处理（四）基于梯度场的网格编辑-Siggraph 2004 的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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