一、相關(guān)理論

本篇博文主要講解2007年Siggraph上的一篇經(jīng)典paper：《Linear Rotation-invariant Coordinates for Meshes》，這篇paper如果不考慮計(jì)算速度問(wèn)題，可以說(shuō)是目前我感覺(jué)微分域的保特征網(wǎng)格變形效果最perfect的一個(gè)算法了。在我的另外一篇博文《簡(jiǎn)單拉普拉斯變形》中講到，如果直接使用拉普拉斯變形算法，那么在大尺度變形的情況下，會(huì)出現(xiàn)如下的結(jié)果：

可以看到，本來(lái)章魚模型上的圓形特征，經(jīng)過(guò)變形后，變?yōu)榱藱E圓形了，這種現(xiàn)象，我們又稱之為不保特征變形，很顯然，這種不符合我們變形的要求，我們的希望是使得變形后，章魚爪子上的圓形特征還是圓形的，這種又稱之為保特征網(wǎng)格變形，因此僅僅使用簡(jiǎn)單的拉普拉斯變形是不夠的，我們還需要對(duì)這個(gè)算法，做個(gè)修正，使得變形后的三維模型，更加的自然。

? ? 這個(gè)算法給我的印象非常深刻，當(dāng)年剛上研究生，懵懵懂懂，啥也不懂，導(dǎo)師發(fā)了一篇拉普拉斯網(wǎng)格變形的相關(guān)paper（跟我的研究生課題息息相關(guān)），里面涉及到旋轉(zhuǎn)不變量算法，我看了幾天以后，感覺(jué)看懂的樣子，很開心，自以為天下無(wú)敵了，于是非常興奮的發(fā)了條qq消息告訴導(dǎo)師：老師，文獻(xiàn)的算法我看懂了，我可以開始寫課題的代碼了。自以為自己有畢業(yè)的希望了，于是就開始了我的畢業(yè)課題編程之旅-《三角網(wǎng)格曲面上的特征克隆》，花了3周的時(shí)間，把整個(gè)過(guò)程的代碼，基本完成了，感覺(jué)離畢業(yè)不遠(yuǎn)了，可是最后一步涉及到《Linear Rotation-invariant Coordinates for Meshes》這篇paper的算法，死活調(diào)試，我調(diào)試了整整一個(gè)月，都沒(méi)能把這篇paper的結(jié)果實(shí)現(xiàn)出來(lái)，徹底失去了信心，感覺(jué)要畢不了業(yè)的節(jié)奏。還好最后導(dǎo)師安慰我，讓我休息一段時(shí)間，好好看看文獻(xiàn)，不要著急………過(guò)后我才冷靜下來(lái)，慢慢的思考自己實(shí)現(xiàn)的算法到底錯(cuò)在哪了，最后終于……

開始算法講解前，我們先回顧一下微分域變形的相關(guān)研究：由于拉普拉斯坐標(biāo)對(duì)方向敏感，因此會(huì)出現(xiàn)上面所看到的圓形特征變成了橢圓形特征，因此需要提前估算變形后各頂點(diǎn)拉普拉斯坐標(biāo)的方向，本節(jié)將介紹如何估算變形后的拉普拉斯坐標(biāo)。如果已知網(wǎng)格模型的變形結(jié)果，求取變形后的拉普拉斯坐標(biāo)，是一件非常簡(jiǎn)單的事；然而我們的目標(biāo)是通過(guò)未知方向的拉普拉斯坐標(biāo)去求取變形后的網(wǎng)格模型，這就相當(dāng)于一個(gè)“雞與雞蛋的先后誕生”的問(wèn)題。因此基于微分域的保特征網(wǎng)格變形的難點(diǎn)在于如何更好的逼近未知的拉普拉斯坐標(biāo)，許多研究工作集中于如何更好地逼近未知的微分坐標(biāo)，特別是處理微分坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)問(wèn)題。

? ? 本文將講解LIPMAN等提出的旋轉(zhuǎn)不變量方法：《Linear Rotation-invariant Coordinates for Meshes》，該方法能夠較精確求解旋轉(zhuǎn)后的拉普拉斯坐標(biāo)，主要是通過(guò)求解一個(gè)稀疏線性系統(tǒng)來(lái)確定變形后的拉票拉斯坐標(biāo)Δ'。其思想與拉普拉斯網(wǎng)格重構(gòu)類似，首先在網(wǎng)格的每個(gè)頂點(diǎn)處建立一個(gè)局部坐標(biāo)系F；其次把每個(gè)頂點(diǎn)的拉普拉斯坐標(biāo)δ表示成局部坐標(biāo)系F下的相對(duì)拉普拉斯坐標(biāo)δI；然后求解變換后的局部坐標(biāo)系F'，最后通過(guò)δI、F'求取δ'。

二、算法流程

1 、局部標(biāo)架定義及其性質(zhì)

(1)局部標(biāo)架定義

對(duì)于給定的三角網(wǎng)格模型M，定義頂點(diǎn)vi處的局部標(biāo)架Fi=(ei1,ei2,ni)T,ei1、ei2、ni為滿足右手法則的一組歸一化正交基，如圖。

(2)局部標(biāo)架性質(zhì)

由局部標(biāo)架的定義可知，對(duì)于任意一個(gè)局部標(biāo)架，其相當(dāng)于三維線性空間的一組歸一化正交基，因此其具有以下性質(zhì)：

①對(duì)于3維線性空間中的任意一個(gè)向量α，可由局部標(biāo)架線性表示為：

②對(duì)于3維線性空間中的兩組局部標(biāo)架Fi、Fj，必存在一個(gè)過(guò)渡矩陣Tij，滿足

式中，T為3×3的矩陣。上式相當(dāng)于三維線性空間中，兩組基的相互轉(zhuǎn)化公式。

2?旋轉(zhuǎn)不變量定義

由定義可知每個(gè)頂點(diǎn)的局部標(biāo)架可用一個(gè)3×3的矩陣F表示。設(shè)Fi=(ei1,ei2,ni)，Fj=(ei1,ei2,ni),且vj為頂點(diǎn)vi的鄰接頂點(diǎn)，如圖所示。

由局部標(biāo)架性質(zhì)可知，對(duì)于三維空間中的兩個(gè)鄰接頂點(diǎn)的局部標(biāo)架Fi、Fj必存在相對(duì)變換Tij，使其滿足：

其中，Tij為3×3的系數(shù)矩陣。由公式1可求得相對(duì)變換矩陣

當(dāng)世界坐標(biāo)系發(fā)生旋轉(zhuǎn)變換時(shí)，Fi、Fj也發(fā)生相同的旋轉(zhuǎn)變換，然而其相對(duì)標(biāo)架Tij不會(huì)發(fā)生變化，故稱Tij為Fi和Fj間的旋轉(zhuǎn)不變量，Tij是兩個(gè)局部標(biāo)架間的內(nèi)在屬性。基于旋轉(zhuǎn)不變量的拉普拉斯網(wǎng)格變形其實(shí)質(zhì)就是保證網(wǎng)格變形前后，兩相鄰頂點(diǎn)之間的局部標(biāo)架變換矩陣T不變。

3?變形后局部標(biāo)架求取

對(duì)于給定的原網(wǎng)格模型，根據(jù)定義可以為每個(gè)網(wǎng)格定點(diǎn)建立局部標(biāo)架F，然后求得每一條邊之間的旋轉(zhuǎn)不變量T，也就是說(shuō)T是已知量。我們的目標(biāo)是求取變形后每個(gè)頂點(diǎn)的局部標(biāo)架F'，用旋轉(zhuǎn)不變量方法求解F'與拉普拉斯變形方法求解變形后的頂點(diǎn)V'類似，其歸結(jié)為求解如下的最小優(yōu)化問(wèn)題:

式中??m?——方向約束頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)

??????ak?——權(quán)值系數(shù)

??????Rk?——3×3方向約束矩陣

解(3)中的最小值問(wèn)題，就相當(dāng)于求解下面的超靜定線性系統(tǒng)：

方程組分為旋轉(zhuǎn)不變量方程組、約束方程組：

由于未知變量F'是3×3的矩陣，每個(gè)含有9個(gè)未知元素，在求解方程組過(guò)程中應(yīng)采用矩陣分塊的思想，每個(gè)塊包含一個(gè)3×3的子矩陣，求取方程組的系數(shù)矩陣。因此公式中，H是一個(gè)包含3m×3n階矩陣，H的每一行只有一個(gè)非零元素，其值為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的約束權(quán)值。R為3m×3階矩陣，每個(gè)3×3的塊矩陣代表每一個(gè)約束頂點(diǎn)的方向約束。未知數(shù)是的矩陣，其第3i至第3i+2行組成的3×3的矩陣即為網(wǎng)格頂點(diǎn)的局部標(biāo)架F'i，這樣求解該線性系統(tǒng)，可獲得F'。

公式1方程具體可寫為：

其中E為網(wǎng)格模型的邊的集合，對(duì)于網(wǎng)格模型的每一條邊，可以列出公式1，若網(wǎng)格模型有n條邊，則可以獲得n個(gè)旋轉(zhuǎn)不變方程組成的方程組。然而該方程組系數(shù)矩陣的秩小于未知元素的個(gè)數(shù)，故需要約束方程（2）方程組才有唯一的解。

4、?基于旋轉(zhuǎn)不變量的拉普拉斯網(wǎng)格變形

本節(jié)將重點(diǎn)介紹如何把旋轉(zhuǎn)不變量與拉普拉斯網(wǎng)格變形相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)保特征的網(wǎng)格變形。由于拉普拉斯坐標(biāo)對(duì)旋轉(zhuǎn)敏感，我們的目的是通過(guò)旋轉(zhuǎn)不變量的方法，來(lái)修正拉普拉斯坐標(biāo)的方向。具體變形框架可歸結(jié)為：首先由公式2可以估算出網(wǎng)格模型每個(gè)頂點(diǎn)變形前后的局部旋轉(zhuǎn)變換矩陣；由每個(gè)頂點(diǎn)的局部旋轉(zhuǎn)變換矩陣，可以求得每個(gè)頂點(diǎn)的變形后的拉普拉斯坐標(biāo)；然后由公式1重構(gòu)網(wǎng)格模型。

基于旋轉(zhuǎn)不變量的拉普拉斯網(wǎng)格變形框架：

(1)建立原網(wǎng)格每個(gè)頂點(diǎn)的局部標(biāo)架F、并求取源網(wǎng)格模型的拉普拉斯坐標(biāo)δ，如圖1所示；

①采用頂點(diǎn)vi的鄰接三角面片法矢，進(jìn)行面積加權(quán)，計(jì)算得頂點(diǎn)vi的法矢n(xn,yn,zn)；

②以垂直于n的向量(yin,-xin,0)作為e1；

③在笛卡爾坐標(biāo)系下e2=n×e1；

④建立vi點(diǎn)的局部標(biāo)架為:

④求取源網(wǎng)格模型個(gè)頂點(diǎn)的拉普拉斯坐標(biāo)δ；

建立局部標(biāo)架

(2)全局坐標(biāo)δ轉(zhuǎn)換成局部坐標(biāo)δI；

本步驟的目的是把世界坐標(biāo)系下的拉普拉斯坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成局部標(biāo)架下的相對(duì)坐標(biāo)δI；由局部標(biāo)架的性質(zhì)1，必有

則可得轉(zhuǎn)換公式：

(3)求解變換后的局部標(biāo)架F'；

由旋轉(zhuǎn)不變量的定義，根據(jù)(1)中為每個(gè)頂點(diǎn)建立的局部標(biāo)架及公式(3)，可得網(wǎng)格曲面每條邊的兩個(gè)鄰接頂點(diǎn)之間的旋轉(zhuǎn)不變量：

然后根據(jù)公式()可求得每個(gè)頂點(diǎn)變換后的局部標(biāo)架F'。

(4)局部坐標(biāo)δI轉(zhuǎn)換成全局坐標(biāo)δ'；

通過(guò)步驟(2)(3)求得的δI、F'，求取變換后的拉普拉斯坐標(biāo)δ'。具體轉(zhuǎn)換公式如下：

三、?實(shí)驗(yàn)結(jié)果

?

示例 1

示例 2

示例 3

具體的相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，我是結(jié)合在了網(wǎng)格融合的算法中，可以參考我的另外一篇博文：《拖拽式網(wǎng)格模型融合》，實(shí)現(xiàn)這個(gè)功能，就需要用到這篇paper的算法。

參考文獻(xiàn)：

1、《網(wǎng)格變形綜述》

2、《Linear Rotation-invariant Coordinates for Meshes》

3、《As-Rigid-As-Possible Surface Modeling》

4、《laplacian framework for interacitve mesh editing》

5、《Laplacian Surface Editing》

**********************作者：hjimce ? 時(shí)間：2015.6.18 ?聯(lián)系QQ：1393852684 ? 地址：http://blog.csdn.net/hjimce? ?原創(chuàng)文章，版權(quán)所有，轉(zhuǎn)載請(qǐng)保留本行信息********************

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的图形处理（五）基于旋转不变量的网格变形-Siggraph 2007的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

如果覺(jué)得生活随笔網(wǎng)站內(nèi)容還不錯(cuò)，歡迎將生活随笔推薦給好友。