第 2 章　三角學(xué)回顧

學(xué)習(xí)微積分必須要了解三角學(xué). 說(shuō)實(shí)話,我們一開(kāi)始不會(huì)看到很多有關(guān)三角的內(nèi)容, 但是當(dāng)它們出現(xiàn)的時(shí)候,并不會(huì)讓我們感覺(jué)很容易. 因此,我們不妨對(duì)三角學(xué)中最重要的方面進(jìn)行一次全面的回顧.

• 用弧度度量的角與三角函數(shù)的基本知識(shí);

• 實(shí)軸上的三角函數(shù)(不只是介于 0°和 90° 的角);

• 三角函數(shù)的圖像;

• 三角恒等式.

現(xiàn)在到了刷新記憶的時(shí)候了……

2.1　基本知識(shí)

首先要提醒的是弧度的概念. 旋轉(zhuǎn)一周, 我們說(shuō)成2π?弧度?而不是 360°. 這似乎有點(diǎn)古怪, 但有一個(gè)原因,那就是半徑為1個(gè)單位的圓的周長(zhǎng)是2π個(gè)單位. 事實(shí)上,這個(gè)圓楔形弧長(zhǎng)正好是楔角, 如圖2-1所示.

圖　2-1

這幅圖很美觀也很完善,其主旨就是讓我們輕松面對(duì)用度和弧度表達(dá)的最常見(jiàn)的角. 首先,你應(yīng)該能夠絕對(duì)輕松地想到, 90°和π/2弧度是一樣的.類似地, 180°和π弧度是一樣的, 270°和3π/2弧度是一樣的.一旦你的腦海里已經(jīng)有了這種想法,那就請(qǐng)?jiān)囍鴮D2-2中所有的角在度與弧度之間反復(fù)轉(zhuǎn)換吧：

圖　2-2

更一般地, 如果需要的話, 你也可以使用公式

用弧度度量的角 =?×用度度量的角.

　例如,要想知道5π/12弧度是多少度, 我們求解下式

×用度計(jì)量的角

就會(huì)發(fā)現(xiàn)5π/12弧度就是(180/π)×(5π/12)=75°. 事實(shí)上, 我們可以將弧度和度的轉(zhuǎn)換一樣. 轉(zhuǎn)換因數(shù)就是π弧度等于180度.

到目前為止, 我們僅僅研究了角, 讓我們繼續(xù)來(lái)看看三角函數(shù)吧.顯然, 我們必須要知道的是如何由三角形來(lái)定義三角函數(shù). 假設(shè),我們有一個(gè)直角三角形, 除直角外的其余一角被記為θ, 如圖2-3.

圖　2-3

那么, 基本公式為

當(dāng)然, 如果我們移動(dòng)角θ, 那么也必須移動(dòng)其對(duì)邊和鄰邊,如圖2-4所示.

圖　2-4

這沒(méi)什么大驚小怪的, 對(duì)邊就是對(duì)著角θ的邊,而鄰邊則是挨著角θ的邊. 盡管如此,斜邊始終保持不變：它是最長(zhǎng)的那條邊, 并始終面對(duì)直角.

我們也會(huì)用到余割,正割和余切這些倒數(shù)函數(shù), 其定義如下：

?及?

　如果你想要計(jì)劃參加一次微積分的考試(或者即使你沒(méi)有這種想法),我的一點(diǎn)建議就是：請(qǐng)熟記常用角0,π/6,π/4,π/3,π/2的三角函數(shù)值.例如, 如果不思考,你能化簡(jiǎn)sin(π/3)嗎？tan(π/4)又會(huì)如何呢？如果你不能,那么, 充其量你是想用三角形來(lái)求解, 這只是在浪費(fèi)時(shí)間. 最糟糕的是,你求解過(guò)程中總不化簡(jiǎn)答案, 這樣就會(huì)丟失很多輕松得分點(diǎn).解決的方法就是要熟記下表：

?

0

sin	0				1
cos	1				0
tan	0		1		★

上表中的星號(hào)表示tan(π/2)無(wú)定義.事實(shí)上, 正切函數(shù)在π/2處有一條垂直漸近線(從圖像上看會(huì)很清楚,我們將在接下來(lái)的2.3節(jié)中對(duì)此進(jìn)行研究). 無(wú)論如何,你必須能夠熟練地說(shuō)出該表中的任意一項(xiàng),不管從前往后說(shuō)還是從后往前說(shuō)！這意味著你必須能夠回答兩類問(wèn)題.下面就是每種類型的例子：

1. sin(π/3)是什么？(使用該表, 答案是. )

2. 介于0和π/2間, 其正弦值為的角是什么？(顯然,答案是π/3. )

當(dāng)然, 你必須能夠回答該表中的每一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的這兩類問(wèn)題.就算我請(qǐng)求大家, 請(qǐng)背熟這張表吧！數(shù)學(xué)不是死記硬背,但有些內(nèi)容是值得去記憶的, 而這張表一定列在了記憶的名單上. 因此,自己做些卡片, 讓你的朋友來(lái)測(cè)驗(yàn)?zāi)? 一天花上一分鐘的時(shí)間,無(wú)論這會(huì)對(duì)你起到怎樣的作用, 請(qǐng)背熟這張表吧.

2.2　三角函數(shù)定義域的擴(kuò)展

上表(你背熟了嗎？)僅僅包括一些從0到π/2變化的角.事實(shí)上我們可以取任意角的正弦或者余弦，哪怕這個(gè)角是負(fù)的.對(duì)于正切函數(shù), 我們一定要更小心些. 例如,上面我們看到的tan(π/2)是無(wú)定義的. 盡管如此,我們還是能夠?qū)缀趺恳粋€(gè)負(fù)角取正切.

讓我們首先來(lái)看看介于0和2π(記住,2π就是360°)間的角吧. 假設(shè),你想要計(jì)算sin(θ)(或cos(θ)或tan(θ)), 其中,?θ?是從0到π/2變化的角.為了看得更清楚, 我們先來(lái)畫(huà)一個(gè)帶有一點(diǎn)古怪標(biāo)記的坐標(biāo)平面,如圖2-5所示.

圖　2-5

請(qǐng)注意, 坐標(biāo)軸將平面分成了四個(gè)象限, 標(biāo)記為1到4(以羅馬數(shù)字表示的),且標(biāo)記的走向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较? 這些象限分別被稱為第一象限, 第二象限,第三象限和第四象限. 下一步是要畫(huà)一條始于原點(diǎn)的射線(就是半直線).那么究竟是哪一條射線呢？這取決于角θ. 來(lái)想象一下,你自己站在原點(diǎn)上, 面向x軸的正半軸. 現(xiàn)在沿著逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)θ角, 然后, 沿著一條直線向前走. 你的足跡就是你要找的那條射線了.

現(xiàn)在, 圖2-2中的其他標(biāo)記就很有意義了. 事實(shí)上,如果你轉(zhuǎn)動(dòng)了π/2角,你將面對(duì)本頁(yè)并且你的足跡將勾勒出y軸的正半軸.如果你轉(zhuǎn)動(dòng)了π角, 你將得到x軸的負(fù)半軸.如果你轉(zhuǎn)動(dòng)了3π/2角, 你將得到y(tǒng)軸的負(fù)半軸. 最后,如果你轉(zhuǎn)動(dòng)了2π角, 那么你又會(huì)回到你起始的那個(gè)位置,即面向x軸的正半軸. 這就像你根本就沒(méi)有轉(zhuǎn)動(dòng)一樣！這就是為什么那張圖中會(huì)有0≡2π. 對(duì)于角度而言, 0和2π是等價(jià)的.

好了, 讓我們?nèi)∧硞€(gè)角θ并以恰當(dāng)?shù)姆绞疆?huà)出它吧.也許它就在第三象限的某個(gè)地方, 如圖2-6所示.

圖　2-6

請(qǐng)注意, 我們將這條射線標(biāo)記為θ, 而不是這個(gè)角本身.不管怎樣, 現(xiàn)在,我們?cè)谶@條射線上選取某個(gè)點(diǎn)并從該點(diǎn)畫(huà)一條垂線至x軸.}

我們對(duì)三個(gè)量感興趣：該點(diǎn)的x坐標(biāo)和y坐標(biāo)(當(dāng)然它們被稱為x和y！),以及該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離, 我們稱為r. 注意,x和y可能會(huì)同時(shí)為負(fù)(事實(shí)上, 在圖2-6中它們均為負(fù)). 然而,r總是正的, 因?yàn)樗蔷嚯x. 事實(shí)上, 根據(jù)畢達(dá)哥拉斯定理(即勾股定理),不管x和y是正還是負(fù), 我們總會(huì)有.(平方會(huì)消除任何負(fù)號(hào), 如圖2-7所示.)

圖　2-7

擁有這三個(gè)量, 我們就可以定義如下的三個(gè)三角函數(shù)了：

?及?

　我們將量x,?y和r分別解釋為鄰邊, 對(duì)邊和斜邊,這些恰好就是2.1節(jié)中的基本公式了. 先別急,如果你在那條射線上選取了另外一個(gè)點(diǎn), 那會(huì)是什么樣子呢？這不要緊,因?yàn)槟愕玫降男碌娜切魏驮瓉?lái)的那個(gè)三角形是相似的,且上述比值不會(huì)受到任何影響. 事實(shí)上, 我們假設(shè)r=1總會(huì)很方便,這樣得到的點(diǎn)(x,?y)會(huì)落在所謂的單位圓(就是以原點(diǎn)為中心, 半徑為1的圓)上.

現(xiàn)在,讓我們來(lái)看一個(gè)例子. 假設(shè), 我們想求sin(7π/6).那么7π/6會(huì)在第幾象限呢？我們需要決定7π/6會(huì)出現(xiàn)在列表0,π/2, π, 3π/2, 2π的哪個(gè)地方. 事實(shí)上,7/6大于1但小于3/2, 故7π/6介于π和3π/2之間.事實(shí)上, 圖2-8看起來(lái)很像上面的例子.

圖　2-8

因此, 角7π/6在第三象限. 我們先是選取了該條射線上的一點(diǎn),該點(diǎn)至原點(diǎn)的距離r=1, 然后從該點(diǎn)至x軸做了一條垂線.由上述公式我們可知, sin(θ)=y/r=y(因?yàn)閞=1), 因此, 我們確實(shí)要求出y. 好吧, 那個(gè)小角,就是介于在7π/6處的射線和x軸的負(fù)半軸之間的角(其本身即為π)一定是這兩個(gè)角的差,π/6. 這個(gè)小角被稱為參考角. 一般來(lái)說(shuō),θ的參考角是介于表示角?θ的射線和x軸間的最小的角,它必須位于0與之間. 在我們的例子中,到x軸的最短路徑是向上, 所以參考角如圖2-9.

圖　2-9

因此, 在那個(gè)小三角形中, 我們知道r=1, 以及角為π/6.我們得出y=sin(π/6)=1/2,不會(huì)再有其他的答案了！由于我們?cè)趚軸的下方,?y一定為負(fù)值.也就是說(shuō),?y=-1/2. 因?yàn)閟in(θ)=y,我們就證明了sin(7π/6)=-1/2. 對(duì)于余弦來(lái)說(shuō),我們也可以重復(fù)這個(gè)過(guò)程,求出. 畢竟,由于點(diǎn)(x,?y)在y軸的左側(cè), 因此x必須為負(fù).這樣我們就證明了?,并且識(shí)別出點(diǎn)(x,y)即為點(diǎn).

2.2.1　ASTC方法

上例中的關(guān)鍵是將sin(7π/6)和sin(π/6)聯(lián)系起來(lái),其中, π/6是7π/6的參考角. 事實(shí)上,并不難看出任意角的正弦就是其參考角正弦的正值或負(fù)值！這就使問(wèn)題的關(guān)鍵縮小到兩種可能性上,而且沒(méi)有必要再混亂x,?y或r了. 因此, 在我們的例子中,我們只需要求出7π/6的參考角, 即π/6;這就會(huì)立即告訴我們sin(7π/6)等于sin(π/6)或-sin(π/6), 并且我們只需要確保我們得到的是正確的結(jié)果.我們已經(jīng)看到結(jié)果是負(fù)的, 因?yàn)閥是負(fù)的.

事實(shí)上, 在第三或第四象限中任意角的正弦必定為負(fù), 因?yàn)槟抢锏膟為負(fù).類似地, 在第二或第三象限中任意角的余弦必定為負(fù), 由于那里的x為負(fù).正切是比值y/x, 它在第二和第四象限為負(fù)(由于x和y中的一個(gè)為負(fù),但不全為負(fù)), 而在第一和第三象限為正.

讓我們以文字和圖像相結(jié)合的方式來(lái)總結(jié)一下這些研究成果吧. 首先,所有三個(gè)函數(shù)在第一象限(I)中均為正. 在第二象限(II)中,只有正弦為正;其他兩個(gè)函數(shù)均為負(fù). 在第三象限(III)中, 只有正切為正;其他兩個(gè)函數(shù)均為負(fù). 最后, 在第四象限(IV)中, 只有余弦為正;其他兩個(gè)函數(shù)均為負(fù). 如圖2-10所示.

圖　2-10

事實(shí)上, 你只需要記住圖表中的字母ASTC就行了.它們會(huì)告訴你在那個(gè)象限中哪個(gè)函數(shù)為正. “A”代表“全部”, 意味著所有的函數(shù)在第一象限均為正.顯然, 其余的字母分別代表正弦, 余切和余弦. 在我們的例子中,7π/6在第三象限, 所以只有正切函數(shù)在那里為正. 特別地,正弦函數(shù)為負(fù),由于我們已經(jīng)把sin(7π/6)的可能取值縮小到1/2或-1/2了,因此, 結(jié)果一定是負(fù)的.我們也確實(shí)得到了sin(7π/6)=-1/2.

ASTC圖表唯一的問(wèn)題就是它沒(méi)有告訴我們?nèi)绾翁幚斫?, π/2, π或3π/2, 因?yàn)樗鼈兌嘉挥谧鴺?biāo)軸上. 這種情況下,最好是先忘記所有ASTC的內(nèi)容,然后以恰當(dāng)?shù)姆绞疆?huà)一個(gè)y=sin(x)(或cos(x),或tan(x))的圖像, 并且從圖像中讀取數(shù)值.我們將在2.3節(jié)對(duì)此進(jìn)行研究.

　同時(shí),這里有一張ASTC方法的總結(jié)表,用來(lái)求介于0到2π的角的三角函數(shù)的值：

1. 畫(huà)出象限圖表, 確定在該圖中你感興趣的角在哪里,然后, 在圖表中標(biāo)出該角.

2. 如果你想要的角在x或y軸(即沒(méi)有在任何象限中)上, 那么,就畫(huà)出三角函數(shù)的圖像, 從圖像中讀取數(shù)值(2.3節(jié)有一些例子).

3. 否則, 找出代表我們想要的那個(gè)角的射線和x軸間最小的角;這個(gè)角被稱為參考角.

4. 如果可以, 使用那張重要的表來(lái)求出參考角的三角函數(shù)的值.那就是你需要的答案, 或許你還需要在得到的值前面添一個(gè)負(fù)號(hào).

5. 使用ASTC圖表來(lái)決定你是否需要添一個(gè)負(fù)號(hào).

　讓我們來(lái)看一些例子吧. 如何求cos(7π/4)和tan(9π/13)呢？我們一個(gè)一個(gè)地看.對(duì)于cos(7π/4),我們注意到7/4介于3/2和2之間, 故該角必在第四象限,如圖2-11所示.

圖　2-11

為了求出參考角,請(qǐng)注意我們必須向上走到2π(注意！不是到0. ), 因此,參考角就是2π和7π/4的差, 即(2π-7π/4),或簡(jiǎn)化為π/4. 所以,cos(7π/4)是正的或負(fù)的cos(π/4),根據(jù)我們的表cos(π/4)是.到底是正的還是負(fù)的呢？ASTC圖表告訴我們, 在第四象限中余弦為正,故結(jié)果為正：.

　現(xiàn)在我們來(lái)看一下tan(9π/13).我們發(fā)現(xiàn)9/13介于1/2和1之間, 故角9π/13在第二象限,如圖2-12所示.

圖　2-12

這一次, 我們需要走到π以到達(dá)x軸,故參考角就是π和9π/13的差, 即π-9π/13,或簡(jiǎn)化為4π/13. 這樣,我們知道tan(9π/13)是正的或負(fù)的tan(4π/13).哎呀, 可是數(shù)4π/13沒(méi)有在我們的表里面,因此我們不能簡(jiǎn)化tan(4π/13). 可我們還是需要確定它是正的還是負(fù)的. 那好,ASTC圖表顯示, 在第二象限只有正弦為正, 故正切一定為負(fù), 于是 tan(9π/13)=-tan(4π/13).這就是不使用近似我們可以得到的最簡(jiǎn)形式. 在求解微積分問(wèn)題的時(shí)候,我不建議取近似值, 除非題目中有明確要求. 一個(gè)常見(jiàn)的誤解是,當(dāng)你計(jì)算如同tan(4π/13)這樣的問(wèn)題時(shí),由計(jì)算器計(jì)算出來(lái)的數(shù)就是正確答案. 相反,那只是一個(gè)近似！所以你不應(yīng)該寫(xiě)

因?yàn)樗徽_. 取而代之,我們就寫(xiě)-tan(4π/13), 除非有特別的要求,讓你做近似. 在那種情況下, 使用約等號(hào)和更少的小數(shù)位,并化整近似(除非有更多的要求)：

順便說(shuō)的是, 你應(yīng)該少用計(jì)算器. 事實(shí)上,一些大學(xué)甚至不允許在考試中使用計(jì)算器！因此,你應(yīng)該盡量避免使用計(jì)算器.

2.2.2　[0, 2π] 以外的三角函數(shù)

還有一個(gè)問(wèn)題, 就是如何取大于2π或小于0的角的三角函數(shù). 事實(shí)上,這并不太難, 簡(jiǎn)單地加上或減去2π的倍數(shù),直到你得到的角在0和2π之間. 你看, 它并不只在2π就停止了.它就是一直在旋轉(zhuǎn). 例如, 如果我讓你站在一點(diǎn)面向正東,然后逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)450度, 那么, 我說(shuō)你旋轉(zhuǎn)了一整周,然后又接著旋轉(zhuǎn)了90度, 這樣也合理. 現(xiàn)在你應(yīng)該是面向正北. 當(dāng)然,這要比你只是逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)了90度感覺(jué)更眩暈, 但是,你會(huì)面向同樣的方向. 因此, 450度和90度是等價(jià)的角,當(dāng)然這對(duì)于弧度來(lái)說(shuō)也是一樣的. 這種情況下,5π/2弧度和π/2弧度是等價(jià)的角.但為什么在旋轉(zhuǎn)一周之后要停下來(lái)呢？9π/2弧度又如何呢？這和旋轉(zhuǎn)2π兩次(這樣我們得到4π),然后再旋轉(zhuǎn)π/2是一樣的. 因此, 在我們得到最終的π/2之前,我們做了兩周徒勞的旋轉(zhuǎn). 旋轉(zhuǎn)沒(méi)有關(guān)系,我們?cè)俅蔚玫?π/2和π/2等價(jià). 這個(gè)過(guò)程可以被無(wú)限地?cái)U(kuò)展下去,以得到等價(jià)于π/2的角的一個(gè)家族：

當(dāng)然,這其中的每一個(gè)角都比第一個(gè)角多一個(gè)整周旋轉(zhuǎn)或2π.當(dāng)然這不是全部. 如果我堅(jiān)持讓你做所有的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn), 你會(huì)感覺(jué)眩暈,或許你也會(huì)要求做一個(gè)或兩個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)來(lái)恢復(fù)神智.這就相當(dāng)于一個(gè)負(fù)角. 特別地, 如果你面向東,我讓你逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)-270度,對(duì)我這個(gè)怪異的要求的唯一一致的解釋就是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)270度(或3π/2).顯然, 你最終仍然會(huì)面向正北, 因此, -270度和90度一定是等價(jià)的.確實(shí)如此, 我們將360度加到-270度上就會(huì)得到90度. 用弧度測(cè)量時(shí),我們看到, -3π/2和π/2是等價(jià)角. 另外,我們可以堅(jiān)持更多負(fù)的(順時(shí)針?lè)较?整周旋轉(zhuǎn). 最后,以下這就是等價(jià)于π/2的角的完全的集合：

　這個(gè)序列沒(méi)有開(kāi)始也沒(méi)有結(jié)束; 當(dāng)我說(shuō)它是“完全的”時(shí),我掩飾了一個(gè)事實(shí), 就是在開(kāi)始和結(jié)束的省略號(hào)上包含了無(wú)窮多個(gè)角.我們借助集合符號(hào){π/2+2πn},其中n可以取所有整數(shù), 這樣就可以避免寫(xiě)這些省略號(hào)了.

　讓我們來(lái)看一下我們是否可以應(yīng)用它吧.如何求sec(15π/4)呢？首先,注意到如果我們能夠求出cos(15π/4),我們所要做的就是取其倒數(shù)以得到sec(15π/4).因此, 讓我們先來(lái)求cos(15π/4).由于15/4大于2, 讓我們先來(lái)試著消去2. 這樣, 15/4-2=7/4,現(xiàn)在它介于0和2之間, 這看上去很有希望了. 代入π,我們看到cos(15π/4)和cos(7π/4)是一樣的,并且我們已經(jīng)求出其結(jié)果為. 因此,. 取其倒數(shù),我們發(fā)現(xiàn)就是.

圖　2-13

最后,sin(-5π/6)又會(huì)如何呢？有很多方法來(lái)求解此問(wèn)題,但上述建議的方法是將2π的倍數(shù)加到-5π/6上直到結(jié)果是介于0和2π間的.事實(shí)上, 2π加上-5π/6得7π/6, 因此,sin(-5π/6)=sin(7π/6),這就是我們已經(jīng)看到的-1/2. 另外, 我們也可以直接畫(huà)圖2-13.

現(xiàn)在, 你必須找出上圖中的參考角,我們并不太難看出它是π/6, 然后繼續(xù)之前的過(guò)程.

2.3　三角函數(shù)的圖像

記住正弦、余弦和正切函數(shù)的圖像的樣子確實(shí)非常有用. 這些函數(shù)都是周期的, 這意味著, 它們從左到右反復(fù)地重復(fù)自己. 例如,我們考慮y=sin(x).從0到2π的圖像看上去如圖2-14所示.

圖　2-14

你應(yīng)該能夠不用想就畫(huà)出這個(gè)圖像, 包括0, π/2, π,3π/2和2π的位置.由于sin(x)每2π單位重復(fù)(我們說(shuō)sin(x)是x的周期函數(shù),其周期為2π), 通過(guò)重復(fù)樣式, 我們可以對(duì)圖像進(jìn)行擴(kuò)展, 得到圖2-15.

圖　2-15

　從圖像中讀值,我們看到sin(3π/2)=-1及sin(-π)=0.正如之前注意到的, 這就是你應(yīng)該如何去應(yīng)對(duì)π/2的倍數(shù)的問(wèn)題;我們不需要混亂參考角了. 另一個(gè)值得注意的是,該圖像關(guān)于原點(diǎn)有 180°點(diǎn)對(duì)稱, 這意味著,sin(x)是x的奇函數(shù).(我們?cè)?.4節(jié)中分析了奇偶函數(shù).)

y=cos(x)的圖像和y=sin(x)的圖像類似.當(dāng)x在從0到2π上變化時(shí),它看起來(lái)就像圖2-16.

圖　2-16

現(xiàn)在,利用cos(x)是周期函數(shù)及其周期為2π這一事實(shí),我們對(duì)該圖像進(jìn)行擴(kuò)展, 得到圖2-17.

圖　2-17

例如, 如果你想要求cos(π), 從圖像上讀取,你會(huì)看到結(jié)果是-1. 此外, 注意到, 這次該圖像關(guān)于y軸有鏡面對(duì)稱.這說(shuō)明, cos(x)是x的偶函數(shù).

現(xiàn)在,?y=tan(x)略有不同.最好是先畫(huà)出圖像, 其中x介于-π/2和π/2之間, 如圖2-18.

圖　2-18

和正弦函數(shù)與余弦函數(shù)不同的是, 正切函數(shù)有垂直漸近線. 此外,它的周期是π, 而不是2π. 因此,上述圖樣可以被重復(fù)以便得到y(tǒng)=tan(x)的全部圖像,如圖2-19所示.

圖　2-19

很明顯, 當(dāng)x是π/2的奇數(shù)倍數(shù)時(shí),y=tan(x)有垂直漸近線(是無(wú)定義的). 此外,圖像的對(duì)稱性表明, tan(x)是x的奇函數(shù).

y=sec(x),y=csc(x)及y=cot(x)的函數(shù)圖像也值得我們?nèi)W(xué)習(xí),如圖2-20、圖2-21、圖2-22所示.

圖　2-20

圖　2-21

圖　2-22

從它們的圖像中, 我們可以得到所有六個(gè)基本三角函數(shù)的對(duì)稱性的性質(zhì),這些都值得學(xué)習(xí).

sin(x),tan(x),cot(x) 及 csc(x)都是x的奇函數(shù). cos(x)和sec(x)都是x的偶函數(shù).

因此, 對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x,我們有sin(-x)=-sin(x),tan(-x)=-tan(x)及cos(-x)=cos(x).

2.4　三角恒等式

三角函數(shù)間的關(guān)系用來(lái)十分方便. 首先,注意到正切和余切可以由正弦和余弦來(lái)表示, 如下：

(有時(shí),根據(jù)這些恒等式用正弦和余弦來(lái)代替正切和余切會(huì)有幫助, 但事實(shí)上,你不應(yīng)該這樣做, 除非你真的遇上麻煩了.)

所有三角恒等式中最重要的就是畢達(dá)哥拉斯定理了(用三角形式表示的),

這對(duì)于任意的x都成立.(為什么是畢達(dá)哥拉斯定理呢？如果直角三角形的斜邊是1,其中一個(gè)角為x, 自己要弄明白三角形的其他兩條邊長(zhǎng)就是cos(x)和sin(x).)

　現(xiàn)在,讓這個(gè)等式兩邊同除以cos2(x).我想讓你檢驗(yàn)一下是否能夠得到以下結(jié)果：

該公式也會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)在微積分里. 另外,可以將畢達(dá)哥拉斯定理等式兩邊同除以sin2(x),我們得到下列等式：

這個(gè)公式好像沒(méi)有其他公式使用得那么頻繁.

還有一些更多的三角函數(shù)關(guān)系. 你注意到了嗎,一些函數(shù)的名字是以符號(hào)“co”開(kāi)頭的. 這是“互余”的簡(jiǎn)稱.說(shuō)兩個(gè)角互余意味著它們的和是π/2(或90度).這不是說(shuō)它們對(duì)對(duì)方很好. 撇開(kāi)所有的雙關(guān)語(yǔ), 事實(shí)是,我們有以下一般關(guān)系：

三角函數(shù)(x)=互余三角函數(shù).

特別地, 我們有：

?及

當(dāng)三角函數(shù)已經(jīng)互余的時(shí)候, 以上公式也適用;你只需要認(rèn)識(shí)到, 余角的余角就是原始的角！例如, co-co-sin 事實(shí)上就是sin, co-co-tan 事實(shí)上就是tan.基本上這意味著我們也可以這樣說(shuō)：

?及

最后, 還有一組恒等式值得我們學(xué)習(xí).這些恒等式涉及了角的和與倍角公式.特別地, 我們應(yīng)該記住下列公式：

請(qǐng)記住,你可以切換所有的正號(hào)和負(fù)號(hào)得到一些相關(guān)的公式,這對(duì)我們也很有幫助：

對(duì)于上述加框公式中的sin(A?+?B)和cos(A?+?B), 令A(yù)?=?B?=?x,我們就會(huì)得到一個(gè)很好的結(jié)果. 很明顯, 正弦公式是sin(2x) = 2sin(x)cos(x). 但是,讓我們來(lái)好好看看余弦公式. 它會(huì)變成cos(2x) = cos2(x) - sin2(x); 這沒(méi)錯(cuò),但是更有用的是使用畢達(dá)哥拉斯定理sin2(x) + cos2(x) = 1 將cos(2x)表示成為2cos2(x) - 1或1 - 2sin2(x)(相信這些都是有效的！). 總之, 倍角公式為：

　那么,你如何用sin(x)和cos(x)來(lái)表示sin(4x)呢？好吧,我們可以將4x看作二倍的2x, 并且使用正弦恒等式, 寫(xiě)作sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x).然后, 應(yīng)用恒等式來(lái)求, 得到：

類似地,

你不用記這后兩個(gè)公式; 然而,你要確保理解了如何使用倍角公式來(lái)推導(dǎo)它們.

現(xiàn)在, 如果你可以掌握本章涉及的所有的三角學(xué),你就能夠很好地去學(xué)習(xí)本書(shū)的剩余部分了. 因此,抓緊時(shí)間消化這些知識(shí)吧. 做一些例題,并確保你記住了那張很重要的表格和所有加框公式.

from:?http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/2310

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本：第 2 章　三角学回顾的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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