第 25 章　如何求解估算問題

在上一章中, 我們學習了如何應用泰勒多項式來估算(或近似)特定的量.我們也知道了余項可以用來判定近似程度. 本章,我們將討論相應的方法并討論一些相關例題. 下面是本章的計劃：

• 泰勒多項式和泰勒級數的重要結論回顧;

• 如何求泰勒多項式和泰勒級數;

• 估算問題;

• 分析誤差的一個不同的方法.

25.1　泰勒多項式與泰勒級數總結

下面是關于泰勒多項式和泰勒級數的一些重要結論,這些均已在前一章中討論過：

1. 在所有次數為N或更低的多項式中,與定義在a附近的平滑函數f最近似的多項式被稱為關于x?=a的N階泰勒多項式, 即

用求和號表示, 可寫為

2. 多項式PN與f在x?=?a點直到N階的導數相同. 即

且直到. 一般來說,上述等式對a之外的其他任何值, 或大于N的任何階導數都不成立.(實際上,?PN大于N階的所有導數都等于0, 因為PN是次數為0的多項式.)

3.?N階余項RN?(x),或稱為N階誤差項是f(x) -?PN?(x).則對任意N有

余項表達式為

其中c一般是求不出來的, 它介于x與a之間.

4. 所以,?f(x)的完整表達式為

5. 無窮級數

被稱為f(x)關于x?=?a的泰勒級數.對任何特定的x, 該級數可能收斂也可能發散. 若對任意特定的x,余項RN?(x)當N?→ ∞時收斂于0, 則對該x我們有

即, 在點x,?f(x)等于它的泰勒級數(關于x?=?a).

6. 對特別的情形a?= 0, 泰勒級數為

即f(x)的麥克勞林級數. 所以,當看到“麥克勞林級數”時, 可以把它看作“關于x?= 0的泰勒級數”.

25.2　求泰勒多項式與泰勒級數

如果欲求特定的泰勒多項式或級數, 若幸運的話,可以通過對已知的泰勒多項式或級數的運算來求得想要的多項式或級數.我們將在26.2節來討論相應的一些方法. 不幸的是,情況并不總是這樣：有時你需要從前面的總結中將f關于x?=a的泰勒級數分離出來：

知道了數a和函數f, 還需要求出f的所有導數在x?=a的值, 然后將它們代入上述公式. 然而,這是很討厭的！求一次或兩次導就已經很麻煩了,求成百上千次導數就太荒謬了.對于只求低次泰勒多項式來說還不是那么糟糕, 因為只需計算少量導數.我們將在26.2節討論一些可以幫你避開上面這些公式的好方法,如果你很幸運.

　另一方面,有些函數是很容易求導的. 一個這樣的例子是定義為f(x) = ex的函數f, 上一章我們討論了它的麥克勞林級數.若你不想求f的麥克勞林級數, 而是想求它的關于x?= -2的泰勒級數怎么辦？將上面公式中的0用a?= - 2代換, 可得

對n的許多值, 我們需要求f(n)( - 2),所以構造一個導數的表格是很有幫助的. 一般的, 表格的模板形式如下.

n

f(n)(x)

f(n)(a)

0	?	?
1	?	?
2	?	?
3	?	?

首先應填中間的一列. 從最上一行的函數本身開始, 持續求導.每次求完導后, 將結果寫在表的下一行(仍為中間一列).當中間那列填滿后, 將x?=?a代入中間列的每一個值,將相應的結果填在同行的第三列上. 注意可能要更多行,這取決于n的大小或計算的快慢. 在我們的例子中,?a?= -2且f(x)的所有導數均為ex, 所以填完的表如下.

n

f(n)(x)

f(n)(-2)

0	ex	e-2
1	ex	e-2
2	ex	e-2
3	ex	e-2

很清楚：對所有n,?f(n)( - 2) = e?- 2,若將其代入上面的公式：

得到ex關于x?= - 2的泰勒級數：

不用求和號而將其展開是個好主意：

　還有另一個例子：求sin(x)關于x?= π / 6的泰勒級數, 寫出直到第四階的項.我們從導數表開始.

n

f(n)(x)

f(n)(π/6)

0	sin(x)	1/2
1	cos(x)
2	-sin(x)	-1/2
3	-cos(x)
4	sin(x)	1/2

這與我們用來求麥克勞林級數的表類似, 不過這里我們求π /6處的導數而不是0處的導數. 寫出泰勒級數的標準公式：

展開：

令a?= π / 6, 將上面表中的值代入上式得到sin(x)關于x?= π / 6的泰勒級數為

要將求和號的形式寫出來比較難,所以只做一個小小的化簡得到：

當然, 為了求四階泰勒多項式P4(x) (仍關于中心x?= π /6), 只需去掉后面的“ + …”. 若只想求P3(x),還要去掉最后的那項, 則最后一項的冪次變為3：

(現在將2!換成了2, 3!換成了6.)另一方面, 若想求P5(x), 需要在上面的表尾再加對應于n?= 5的一行, 則得到另外的項(x?-π / 6)5.

　另一個例子：(1 +?x)1 / 2的麥克勞林級數是什么？因為我們要求麥克勞林級數,需要令a?= 0. 畫一個到四階導的表.

n

f(n)(x)

f(n)(0)

0		1
1		1/2
2		-1/4
3		3/8
4		-15/16

現在寫出麥克勞林級數的一般公式,

將上面表中的導數值代入可得

化簡得

實際上, 當x介于-1和1之間時,余項趨于0(這個證明比較棘手!). 所以當 - 1 <?x?< 1, 我們有

這是二項定理的一個特殊情形,即對 - 1 <?x?< 1, 有

除非a是非負整數, 否則右邊的級數在x?> 1或x?< -1時都發散. (在這種情況下, 右邊實際為一個多項式. 能說出為什么嗎？)

25.3　用誤差項估算問題

在24.1.4節, 我們用三階泰勒多項式P3來估算e?- 1 / 10,然后用余項R3來說明近似程度的好壞.現在我們來重新看一下這些方法并把它們一般化.

為了設置問題背景, 考慮下面的兩個相似的例子：

1. 用二階泰勒多項式估算e1 / 3, 并估算誤差;

2. 估算e1 / 3, 且誤差不得大于1 / 10 000.

第二個問題要比第一個難. 你也看到了,在第一個問題中我們要討論二階泰勒多項式, 故在我們的公式中令N?= 2.在第二個問題中, 我們實際是要找到N, 這是我們需要考慮的另一件事情.

　用這兩個問題來檢驗一下求解估值(或近似)問題的一般方法.

1. 看一下要估算什么, 選擇一個相關的函數f. 在我們上面的例子中,我們要估算e某式, 所以令f(x) = ex. 然后, 我們將令x?= 1 / 3, 這是由于f(1 / 3) = e1 /3, 這就是我們要估算的量.

2. 選一個接近x值的數a, 這樣f(a)就很理想了. 這就意味著,你應該能寫出f(a)的值, 對f'(a)、f''(a)等等也一樣.在我們的例子中, 我們將令a?= 0, 因為它很接近1 / 3, 且e0較易計算.

3. 如我們上一節所做的那樣, 做f的導數表. 它應該有三列,分別代表n、?f(n)(x)和f(n)(a)的值.若你知道所用的泰勒多項式的階, 則這就是你需要的N的值,一定要保證表中導數計算到第(N?+ 1)階. 否則,你就盡管一行行往下寫吧, 直到厭煩為止, 只要需要, 就一直能寫下去.

4. 若你不介意估算的誤差, 直接跳到第8步; 否則, 寫出RN(x)的公式：

確保注明“c在a與x之間”,同時注意整個過程中用a的實際值替代a.

5. 若已知所用泰勒多項式的階, 在上述公式中將N替換為該數;若不知道, 根據你所需要的誤差的大小做猜測. 誤差越小,?N應該越大.對于很多問題來說,?N?= 2或3就可以了. 若該猜測值是錯的,那應該很快就能知道, 這時只需用較大的值N重復這一步和下面兩步.

6. 現在, 用你想用的值代換RN?(x)公式中的x. 除了c以外,沒有其他的未知變量, 且可以用不等式寫下c的可能范圍.在我們的例子中, 由a?= 0和x?= 1 / 3知,?c介于兩者之間,可寫為0 <?c?< 1 / 3.

7. 求|RN?(x)|的最大值,?c在適當的區間里.這就是誤差可能的大小. 若已知N的值, 就基本已經完成誤差估算了.若不知道, 則用你想要的誤差來與實際誤差比較. 若實際誤差較小,這就太好了, 你已經找到了一個較好的N值. 反之,你就要加緊回到步驟5再來一次. (我們將在25.3.6節討論一些|RN(x)|極大化的方法.)

8. 最后, 是求實際估算的時候了！寫下PN(x)的公式：

現在將a與N換成前面所得值而得到一個只含有x的公式. 最后,寫出近似

并代入所需的x的實際值. 右邊將是你想要的量,而左邊將是近似值.

9. 如果需要的話還有另一個信息：若RN?(x)是正的, 則估算為低估;若RN?(x)為負, 則估算是高估.這些結果遵從如下等式

現在, 我們來看一下有關這些類型問題的5個例子.

25.3.1　第一個例子

　我們最好從前一節的兩個問題開始.在第一個問題中, 我們想用二階泰勒多項式來估算e1 / 3.這個問題其實與24.1.4節中包含e?- 1 / 10的問題很相似.不管怎樣, 我們還用前面的方法. 從選擇f開始. 因為要求冪, 令f(x) =ex且注意e1 / 3就是f(1 / 3). 最后, 我們令x?=1 / 3, 但這還不算完, 我們還要選擇接近1 / 3的a使得ea足夠精密. 如我前面提到的, 很自然的選0.

現在, 該寫導數表了.

n

fn(x)

fn(0)

0	ex	1
1	ex	1
2	ex	1
3	ex	1

我求到3階導, 因為它剛好大于2,我們需要二階泰勒多項式(即N?= 2). 好, 繼續. 誤差項為

其中c介于0與x之間. 注意在RN?(x)的標準公式中,我將a換成了0. 現在, 我們知道N?= 2, 所以我們實際需要

在前面的表中, 將中間一列的最后一行的x換成c,得到f(3)(c) = ec. 現在將x換為1 / 3可得

這里c介于0與x?= 1 / 3之間, 故0 <?c?< 1 / 3.取絕對值有：

這是因為ec必為正. 接下來, 我們需要最大化|R2?(1 / 3)|. 由于ec關于c遞增, 最大值出現在c= 1/ 3時. 這就有

似乎有一個問題, 我們不知道e1 / 3是多少.這其實是該問題的首要點！沒關系, 我們來粗略的高估一下e1 /3. 你知道, e < 8, 所以e1 / 3?< 81 / 3,而81 / 3為2.我為什么選8呢？因為我可以什么都不用想的直接取它的三次方根！總之,運用不等式e1 / 3?< 2, 前面|R2?(1 / 3)|的不等式變為

所以誤差不大于1 / 81. 我們仍需求估算值. 寫下P2(x)的公式, 運用結果a?= 0：

根據前面的表, 將f(0)、f'(0)和f''(0)換為1：

最后, 令x?= 1 / 3可得

由于, 我們有

運用f(x) = ex, 我們有

我們已經得到了|R2?(1 / 3)| < 1 / 81,所以估算值至少精確到1 / 81. 其實, 因為R2?(1 / 3)是正的,我們的估算值25 / 18相對于e1 / 3真實值是低估了.

25.3.2　第二個例子

　我們將討論25.3節的第二個例子：估算e1 / 3的值, 且誤差小于1 / 10 000. 與前一個例子一樣,我們令f(x) = ex,a?= 0, 最后令x?= 1 / 3, 我們有

其中c介于0與x之間. 我們已經從前一個例子知道,不能令N?= 2, 因為會得到一個最大的誤差1 / 81,而我們需要誤差小于1 / 10 000. 所以, 我們來看一下N?= 3是否可行.現在誤差項為

其中c介于0與x之間. 令x?= 1 / 3可得

其中0 <?c?< 1 / 3. 我們仍引用前一節的結論,當c介于0與1 / 3之間時, ec?< 2：

這個結果并不小于1 / 10 000, 所以N?= 3不夠大.我們試一下N?= 4. 重復上面的步驟, 我們有

所以令x?= 1 / 3, 可知

c還是介于0與1/3之間, 同樣有ec?< 2, 所以

(若想用計算器來計算最后的那個分數, 再想一下,其實你可以將2 / 120化簡為1 / 60, 然后算出6 × 243,再乘以10, 最后寫在分母上.)不管怎樣, 我們知道|R4?(1 / 3)|遠小于1 / 10 000, 所以目的達到了: 我們可令N?= 4,那估算值是多少呢？我們需要求出P4?(1 / 3). 一般的, 當a?= 0,四階泰勒多項式P4為

所以

即

所以, 我們可以將前面一個例子中的估算值25 /18替換為一個更好的估算, 即2 713 1 944.這個新的估算值保證與e1 / 3真實值誤差在1 / 10 000以內.作為驗證, 我的確用計算器算出2 713 /1 944精確到5位小數的值為1.395 58, 而e1 /3精確到5位小數為1.395 61. 這些量最多差0.000 04,顯然在允許的范圍1 / 10 000 = 0.000 1之內.

25.3.3　第三個例子

　這里有一個問題：估算, 誤差不大于1 / 250. 根據前面的方法,我們需要選擇一個合適的函數f和a與x值. 一個較好的選擇是令, 或者f(x) = x1 / 2, 隨便哪個都行.我們要估算的值, 所以最后令x?= 27.現在要找一個接近27且易求平方根的數. 似乎25就可以, 我們令a?= 25,這是第一步. 現在看第二步, 畫一個導數表.

n

fn(x)

fn(25)

0		5
1		1/10
2		-1/500
3		3/8×1/55

記住, 要填這個表, 在首行的中間那一列 填上x1 / 2,然后連續求幾次導, 將結果填在中間列的后面幾行. 最后,右邊那列的輸入是將值a?= 25代入所得值.困難是我們不知道這個表需要填到第幾行. 或可能需要更多行.

現在我們來看誤差項

其中c介于0與25之間. 因為我們關注的是x?= 27,將其代入：

其中25 ≤?c?≤ 27. 現在, 感覺有多幸運？或許N?=0就夠好了！我們來試一下：

其中我們利用前面的表來求f'(c)并去掉了絕對值,因為所有數都是正的. 現在的大問題是, 對給定的25 ≤?c?≤ 27,c?- 1 / 2有多大？注意c?- 1 / 2關于c遞減, 所以當c?=25有最大值. 則c?- 1 / 2即25?- 1 / 2?= 1 / 5. 所以,我們有

故誤差可能高達1 / 5. 有點太高了：我們需要誤差不大于1/ 250. 所以選擇N?= 0, 顯然有點太過于樂觀了！我們需要更好點.試一下N?= 1, 則

同樣用前面的表來求f''(c). 這次我要用絕對值, 因為R1(27)是負的(肯定的, 我們正朝高估發展). 還是當c最小時c?- 3 /2最大, 即c?= 25, 這時表達式為25?- 3 / 2?= 1 / 125, 所以

這就意味著誤差不大于1 / 250, 而這正是我們想要的.因此取N?= 1, 我們只需求P1?(27). (因為N?= 1,這里我們其實運用了線性化.)總之, 我們知道了

其中我們從前面的表中得到f(25)和f'(25)的值, 令x?=27, 我們有

我們得到近似等于26 / 5的結論,其實這兩個數之間的差在1 / 250之內, 且26 / 5高估了(因為誤差項R1?(27)是負的). 事實上, 計算器算出的約為5.196 15, 而26 / 5 = 5.2的差在1 / 250之內. 對N?=2或更大的值的情況, 估算值不會錯, 反而會更好,不過數會變得更雜亂一些.

25.3.4　第四個例子

　為了提出本節的問題,我們將前面的問題做一個小的變動. 我們將換成, 現欲估算的誤差不大于1 / 250的值.這也沒比前面的例子更難多少, 是吧？然而, 也不盡然.我們來看下會發生什么. 我們仍將采用f(x) =?x1 / 2,?a?=25的泰勒級數, 不過這里需要將x?= 27換為x?= 23.我們來看一下在前一個例子中表現很好的余項R1：

這就是前面一個例子的誤差項！不過有一個很重要的不同：現在c介于23和25之間.所以?有多大呢？這個量仍關于c遞減,所以隨著c的減小, 其值變成最大值, 即當c?= 23時值最大.因此有如下的估算：

不幸的是, 23?- 3 / 2并不比25?- 3 / 2好算.我們唯一可以肯定的是這種情況不夠好. 你知道,?, 但大于1 / 250, 所以太大了. 所以N?= 1不行, 需要試一下N?= 2.

取N?= 2并運用25.3.3節的表, 有

其中23 ≤?c?≤ 25. 這次當c?= 23時,?c?- 5 /2還是最大的, 因此我們有

這個夠好嗎？沒有計算器, 我們將不得不尋找一些估算23?-5 / 2的方法. 朋友,怎么來實現呢？我能想到的最好的辦法就是找一個小于23的數,并且這個數的 - 5 / 2次冪是容易算出來的. 那應該是16, 而16?- 5/ 2?= 1 / 45?= 1 / 1 024, 所以

這個值當然小于1 / 250, 所以采用N?= 2是可以的,我們就可以用P2?(23)了. 現在

(再一次利用那個表), 將x用23代換, 我們有

因此對的估算值是1 199 / 250.計算器對最后那個分數的計算結果等于4.796, 而的計算結果為4.795 83. 這兩個數的差的確在1 / 250范圍內.

25.3.5　第五個例子

　我們再來看一個例子：用三階泰勒級數估算cos(π / 3 - 0.01)的值, 并給出該估算的精確度. 我們需要選擇一個函數,顯而易見的函數是f(x) = cos (x), 所以我們要在后面令x?= π / 3- 0.01. 那余弦值易求且接近于x的數是什么呢？顯然a?= π /3是一個天然的候選項. 故我們得到如下的表.

n

fn(x)

fn(π/3)

0	cos(x)	1/2
1	-sin(x)
2	-cos(x)	-1/2
3	sin(x)
4	cos(x)	不需要

誤差項R3?(x)為

其中c介于x與π / 3之間.注意我們需要的是f(4)(c)而不是f(4)(π / 3),這就解釋了上表中“不需要”的用處. 當x?= π / 3 - 0.01, 我們有

(這里我們使用了( - 0.01)4?= (0.01)4?= (10?- 2)4?=10?- 8.)現在我們只需估算誤差項的絕對值. 鑒于|cos (c)| ≤ 1, 我們有

太好了, 我們知道運用P3?(π/ 3 - 0.01)來估算cos (π / 3 -0.01)會使得估算值精確到很小的一個數1 / 2 400 000 000. 那P3(π / 3 - 0.01)是多少呢？一般的有

應用上面的導數表, 變為

令x?= π / 3 - 0.01并化簡, 結果是

這個表達式看起來很麻煩, 但其實還不錯,唯一棘手的量是, 不過它本身是容易估算的,至少表達式中沒有三角函數. 總之, 由于f(π / 3 -0.01)近似等于P3?(π / 3 - 0.01), 我們有

精確到1 / 2 400 000 000之內.

25.3.6　誤差項估算的一般方法

在前面所有例子中, 我們都要對某區間內取值的c來估算|f(N?+ 1)(c)|. 這里是相應的一些一般對策.

1. 不管c是多少, 你總能使用標準的不等式|sin (c)| ≤ 1和|cos (c)| ≤ 1.

2. 若函數f(N?+ 1)是遞增的, 則它的值在右端點處最大.在前面的前兩個例子中, 我們需求ec的最大值, 其中0 <?c?< 1/ 3. 由于ec關于c遞增, 我們可以說ec?< e1 / 3. 另一方面, 在24.1.4節的例子中, 我們也需要最大化ec, 不過這次 - 1 / 10 <?c?< 0. 同樣, 由于ec關于c遞增, 這個最大值就是e0?= 1, 即ec< e0?= 1.

3. 若函數f(N?+ 1)是遞增的,則它的最大值f(N+1)(c)出現在區間的左端點處. 例如,若已知c介于1和5之間, 則最大值1 / (3 +c)4出現在區間[1,5]的左端點處, 因為1 / (3 +?c)4關于c遞減.所以上面的表達式在c?= 1時最大, 相應的值為1 / 44?= 1 / 256.

4. 一般的, 為了求最大值, 你可能還要求函數f(N+1)的臨界點.(具體求法見11.1.1節.)

25.4　誤差估算的另一種方法

回想一下交錯級數判別法(見22.5.4節). 該判別法表明若級數是交錯的,且各項的絕對值遞減趨于0, 則級數收斂.收斂的原因是部分和關于真實極限值形成一種像溜溜球一樣的東西：這個部分和大點,下一個部分和小點, 再下一個大點, 等等. 每次,部分和都更接近真實極限值, 所以, 就像溜溜球正在失去動力.方法就是在級數中的每個點處, 每加一項都超越真實值,所以整個誤差小于下一項的絕對值.

我們用符號來表述這些. 假設從某函數f開始, 并求它關于x?=a的泰勒級數.若碰巧你還知道級數對某些特定的x值收斂于f(x)(就像我們討論的一些函數一樣),則可以寫為

對那些你感興趣的特定的x值,上述級數若是各項絕對值遞減趨于0的交錯級數, 則誤差小于下一項. 即

這里沒有討厭的c可擔心,這就足以成為我們運用這個理想結論的原因. 記住,上述結論只有當級數滿足交錯級數的三個條件時才成立！

　這里是該方法適用的例子.假設我們欲用麥克勞林級數來求定積分

誤差不大于1 / 3 000的估算值. 該積分好像是一個瑕點在t= 0的反常積分, 但其實t?= 0不是瑕點. 由洛必達法則可知

即, 被積函數在t?= 0并沒有趨于無窮, 所以積分不是反常的.不管怎樣, 剛剛只是觀察, 現在我們要解決問題.

第一個有用的方法是先構造一個像上述積分的函數, 令

則我們要估算的積分是f(1). 需求f的麥克勞林級數. 為此,將cos (t)用它的麥克勞林級數代換, 該級數我們已在24.2.3節求得. 即

若稍作化簡, 可將其化簡成

現在求積分并計算在端點處的值：

　嘗試將上式用求和號表示是一個很好的做法.總之, 現在可將x?= 1代入得

說實話, 這里我將兩個更快的方法套在了一起. 首先,我將cos (t)用它的麥克勞林級數代替.還好我們已經在24.2.3節知道這對所有t都成立. 其次,我對無窮級數逐項求積分, 并聲明對所有x都可以這么做.我們將在26.2.3看到這么做是可以的(雖然我們不會對其證明). 總之,上面的等式是正確的. 現在給定的積分有一個無窮級數的表達式.

現在唯一的問題是, 要求與真實值誤差在1 /3 000內的近似值需取多少項？注意該級數是各項遞減趨于0的交錯級數,那么我們就可以運用下一項的絕對值大于誤差的結論. 例如, 若用首項1 /2!近似積分, 則誤差不大于1 / 3 × 4!, 即1 / 72. 這也太大了.那用前兩項來近似該積分怎么樣？即, 若用

怎樣？那么誤差小于下一項的絕對值：

|誤差|

這小于我們的容忍度1 / 3 000, 所以很好.我們完全可以說積分近似等于35 / 72, 誤差小于1 / 3 000.(我們甚至可以說35 / 72是低估的,為什么？)我用能處理這類問題的計算機程序求了一下積分,得到積分值約為0.486 385, 而計算器計算的35 /72值等于0.486 111(精確到6位小數), 這兩個數的差的確在1 /3 000內.

　作為練習,試著近似

容忍度為1 / 1 000, 用與上面相同的方法做.(你將會用到sin (t)的麥克勞林級數, 這個可在26.2節找到.)

from:?http://www.ituring.com.cn/tupubarticle/2333

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的普林斯顿微积分读本：第 25 章　如何求解估算问题的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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