第五章???大數定律與中心極限定理

內容提要：

一、????大數定律

定理一（契比雪夫大大數定律的特殊情況）設隨機變量相互獨立，具有相同的均值和方差：

記,則對于任意給定的正數，有

?

設隨機變量是一個隨機變量序列,是一個常數.若對于任意給定的正數，有

則稱序列依概率收斂于,記作

依概率收斂的序列有如下的性質:

設.又設函數在點連續,則

定理一又可以敘述為:

設隨機變量相互獨立，具有相同的均值和方差：

則序列依概率收斂于即.

定理二(伯努利大數定律)?設是次獨立重復試驗中事件發生的次數,是事件在每次試驗中發生的概率,則對于任意給定的正數，有

或記為

.

定理三?(辛欽大數定律)?設隨機變量相互獨立，具有相同的分布,則對于任意給定的正數，有

.

二、????中心極限定理

定理四?(獨立同分布的中心極限定理)?設隨機變量相互獨立，具有相同的分布,記

則對于任意實數，有

定理四表明：均值為，方差為的獨立同分布的隨機變量的和的標準化變量的分布函數，當充分大時，有

或者????????????????

定理五(李雅普諾夫定理)?設隨機變量相互獨立，具有數學期望和方差：

記???????????????????????

若存在正數，使得

則隨機變量的和的標準化變量：

分布函數對于任意實數，滿足

定理六（棣莫弗—拉普拉斯定理） 設隨機變量服從二項分布。則對于任意實數，有

典型例題分析

例1、設隨機變量相互獨立，且同服從上的均勻分布，證明

證：對于任意整數，若，

當時，

則??

所以，?

例2、設隨機變量相互獨立，且同服從上的均勻分布，是上的連續函數。試證明

證：由于相互獨立具有相同的分布，則

相互獨立，且具有相同的分布，且

由辛欽大數定律，得

即?????????????????????

例3、某保險公司多年的統計資料表明：在索賠戶中被盜索賠戶占，以表示在隨機抽查的100個索賠戶中，因被盜向保險公司索賠的戶數。求被盜索賠戶不少于14戶，而不多于30的概率的近似值。

解：由題意得，，根據棣莫弗—拉普拉斯定理得，

自測題

1、（5分）設隨機變量服從參數為的泊松分布，則

????????。

??2、（15分）在天平上重復稱量一重為的物品，假設各次稱重的結果相互獨立，且同服從均值為，方差為的分布，表示次稱重結果的算術平均值，求使的最小正整數。

??3、（10分）某市有300個尋呼臺，每個尋呼臺在每分鐘內收到的電話呼叫次數服從參數的泊松分布，試求該市某一分鐘內的呼叫次數的總和小于70次的概率。

?4、（10分）投擲一枚色子，為了至少有95%的把握使點6向上的頻率與概率之差的絕對值在范圍之內，問需要投擲多少次？

5、計算機在加數時，對每個加數取整（取為最接近的整數），設所有的取整數誤差相互獨立的，且它們都服從上的均勻分布，如果將1500個數相加，問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？

（四）自測題參考答案

（1）（2）16（3）（4）5336（5）

_{from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap5.htm}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第五章 大数定律与中心极限定理的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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