第一章???概率論的基本概念

內(nèi)容提要：

一．?加法、乘法原理及排列、組合復(fù)習(xí)

1．??加法原理??設(shè)完成一件事有類方法（其中任一類方法都可達(dá)到

完成這件事的目的），若第1類方法有種，第2類方法有種，第類方法有種，則完成這件事共有++種方法。

2．??乘法原理??設(shè)完成一件事有個步驟（依次完成每一步才可達(dá)到

完成這件事的目的），若第1步有種方法，第2步有種方法，第步有種方法，則完成這件事共有種方法。

3．??排列?

??????（1）選排列和全排列?從個不同元素中任取個元素按順序排成一列，稱為從個元素中取出個元素的一個排列，從個元素中取出個元素的所有排列種數(shù)記為

；

將個不同元素全部取出的排列，稱為全排列，排列種數(shù)記為

=；

規(guī)定。

??????（2）可重復(fù)排列??從個不同元素中可重復(fù)（有放回）的取個元

素按順序排成一列，其排列種數(shù)為。

??????（3）不盡相異元素的全排列??設(shè)個元素中有個相同，又有個相同，又有個相同，且，這樣個元素的全排列叫不盡相異元素的全排列，其排列種數(shù)為。

??（4）環(huán)狀排列??從個不同元素中任取個元素不分首尾按環(huán)狀排列，排列種數(shù)為。

4．??組合

??????（1）通常意義的組合??從個不同元素中每次取個元素不分順序并成一組，稱為從個元素中取出個元素的一個組合，從個元素中取出個元素的所有組合數(shù)記為

?或?

組合有以下性質(zhì)：，。

???（2）可重復(fù)排列??從個不同元素中可重復(fù)（有放回）的取個元

素不分順序并成一組，稱為從個元素中取出個元素的一個可重復(fù)組合，從個元素中取出個元素的所有可重復(fù)組合數(shù)為。

二．隨機(jī)試驗和隨機(jī)事件

1．??隨機(jī)試驗（記為）?若試驗（觀察或?qū)嶒炦^程）滿足條件：

??????（1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行，

??????（2）試驗的結(jié)果是明確可知的，而且有多種可能性，

??????（3）每次試驗之前不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)，

則該試驗稱為隨機(jī)試驗。

????2．樣本空間和樣本點??試驗所有可能的結(jié)果組成的集合稱為的樣本空間，記為；試驗的每一個可能結(jié)果即中的每一個元素，稱為樣本點。

????3．隨機(jī)事件??隨機(jī)試驗的一個結(jié)果，即樣本空間的任一個子集，稱為隨機(jī)事件，用大寫字母表示。其又可細(xì)分為

?（1）基本事件??隨機(jī)試驗的每個不可再分解的結(jié)果（單個樣本點組

成的單點集），

（2）復(fù)雜事件??若干個基本事件構(gòu)成的事件（由若干個樣本點構(gòu)成集

合），

??（3）必然事件??樣本空間包含所有的樣本點，它是自身的子集，在每次試驗中它總是發(fā)生的，稱為必然事件，仍記為，

??（4）不可能事件??空集不包含任何樣本點，它作為樣本空間的子集，在每次試驗中都不發(fā)生，稱為不可能事件，記為。

????4．事件之間的關(guān)系及運(yùn)算?

???（1）包含：若事件發(fā)生必導(dǎo)致事件發(fā)生，則稱包含于，或包含，記為，

???（2）相等：若且，則稱與相等，記為，

??????（3）和事件：事件的和（或并）∪表示事件和事件中至少有一個發(fā)生，推廣如下：

∪∪…∪表示個事件,,…,中至少有一個發(fā)生，

∪∪…∪∪…表示事件,,…,,…中至少有一個發(fā)生，

（4）積事件：事件的積（或交）∩表示事件和事件同時發(fā)生，推廣如下：

∩∩…∩表示個事件,,…,同時發(fā)生，

∩∩…∩∩…表示事件,,…,,…同時發(fā)生，

??（5）差事件：事件發(fā)生而事件不發(fā)生，稱與的差，記為，

??????（6）互斥事件（互不相容）：若事件和事件不能同時發(fā)生，即∩=，則稱與為互斥事件，

注：基本事件必是兩兩互斥的。

???（7）對立事件（逆事件）：在每次實驗中，“事件不發(fā)生的事件”稱為事件的對立事件，記為。

??????注：∪=，=，=而且有定義可知，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，

????（8）事件的運(yùn)算規(guī)律

?(ⅰ)?交換律：∪=∪，=

?(ⅱ)?結(jié)合律：∪(∪C)=(∪)∪,∩(∩C)=(∩)∩

?(ⅲ)?分配律：∪(∩C)=(∪)∩（∪）,∩(∪C)=(∩)∪（∩）

?(ⅳ)?德﹒摩根律：=∩,=。

三．概率的定義及性質(zhì)

??1．概率的公理化定義

??設(shè)隨機(jī)試驗的樣本空間為，對于的每個事件，定義一個實數(shù)

與之對應(yīng)，若函數(shù)滿足條件

?(ⅰ)?非負(fù)性??對每個事件，均有，

?(ⅱ)?規(guī)范性??，

?(ⅲ)?可列可加性??對于任意兩兩互斥的事件,,…,,…，均有∪∪…∪∪…）=，

則稱為事件的概率。

????2．概率的性質(zhì)

（1），

注：其逆不真，即概率為0的事件不一定是不可能事件。

（2）有限可加性??對于任意兩兩互斥的事件,,…,，均有∪∪…∪）=，

（3）若，則有，，

注：當(dāng)條件不滿足時，一般的，但是有。

（4）對于任意事件，，

（5）對于任意事件，，

（6）加法公式??對于任意事件和，有

，推廣如下：

?∪∪…∪）=+

+

?

???????????????????????????????????+

四．等可能概型（古典概型）

????1．定義??若隨機(jī)試驗的樣本空間中有有限個樣本點，而且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，則試驗稱為等可能概型。

2．??概率計算??設(shè)是試驗的事件，則

???3．兩個典型的古典概型

??（1）取球問題

模型Ⅰ：設(shè)袋中有個白球，個黑球，從中任取個，則恰取到

個白球，個黑球的概率為。

模型Ⅱ：設(shè)袋中有個白球，個黑球，從中連接的一個個將球取出，在放回抽樣和不放回抽樣兩種情況下，第次取得白球的概率都是。

???（2）分房問題

模型：將個可分辨的質(zhì)點等可能的放到盒子里（，則每個盒子里至多有一個質(zhì)點的概率為，指定的個盒子里各有一個質(zhì)點的概率為。

五．幾何概型

向長為的線段上等可能的投點，則點落在長為的子段上的概率與子段的位置無關(guān)，只與子段的長度有關(guān)，其概率值為，同理可知，二維（三維）的幾何概率為面積之比（體積之比）。

六．概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式（逆概率公式）

1．??條件概率??設(shè)是兩個事件，且，稱

為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率。

????注：條件概率也是概率，它滿足概率定義中的三條，即

?(ⅰ)?非負(fù)性??對每個事件，均有，

?(ⅱ)?規(guī)范性??，

?(ⅲ)?可列可加性??對于任意兩兩互斥的事件,,…,,…，均有（∪∪…∪∪…））=，

而且，前面給出的概率性質(zhì)和公式，也都適用于條件概率。

2．??乘法公式??=，乘法公式的

推廣：對于任何正整數(shù)，當(dāng)時，有

3．??全概率公式

樣本空間的劃分：如果一組事件滿足

???（ⅰ）兩兩互斥，且，

???（ⅱ）∪∪…∪）=，

則稱事件組是樣本空間的一個劃分。

????全概率公式：設(shè)事件組是樣本空間的一個劃分，為任意事件，則有。

4．貝葉斯公式??設(shè)事件組是樣本空間的一個劃分，為任意事件（，則有，

。

七．獨(dú)立事件及其性質(zhì)

????1．事件的獨(dú)立性??設(shè)是兩個事件，若有，則稱兩個事件獨(dú)立。

推廣：設(shè),,…,是個事件，若對于其中的任意個事件,,…,，有…）=，則稱個事件,,…,是相互獨(dú)立的。

2．??性質(zhì)??

（1）若兩個事件獨(dú)立，則也相互獨(dú)立，

（2）若是三個獨(dú)立的事件，則與、與、與都是相互獨(dú)立的，

（3）若個事件,,…,是相互獨(dú)立的，則其中的任意個事件,,…,也是相互獨(dú)立的，

（4）若個事件,,…,是相互獨(dú)立的，則事件,,…,是相互獨(dú)立的，其中是或，。

注：獨(dú)立與互斥是兩個不同的概念，注意相互區(qū)別。

小結(jié)：隨機(jī)事件的概率計算公式

1．??古典概率的計算公式

2．??幾何概率

3．??條件概率的計算公式

4．??加法公式及其推廣

5．??乘法公式及其推廣

6．??全概率公式及貝葉斯公式

7．??減法公式

8．??獨(dú)立的加法公式：若個事件,,…,是相互獨(dú)立的，則

∪∪…∪）=1∩∩…∩）=

9．獨(dú)立的乘法公式：若個事件,,…,是相互獨(dú)立的，則

基本要求

1．??理解隨機(jī)事件和樣本空間的概念；

2．??熟練掌握事件之間的關(guān)系和運(yùn)算；

3．??理解概率的定義，掌握概率的性質(zhì)，會應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率的

基本計算；

4．??理解古典概型的定義，并會計算；

5．??理解條件概率的概念，會應(yīng)用乘法公式、全概率公式、貝葉斯公

式（逆概率公式）進(jìn)行概率計算；

6．??理解事件獨(dú)立性的概念，并會應(yīng)用事件獨(dú)立性進(jìn)行概率計算。

重點

隨機(jī)事件，樣本空間的概念；事件關(guān)系；概率的定義，性質(zhì)；條件概

率；加法公式，乘法公式，全概率公式、貝葉斯公式的應(yīng)用；獨(dú)立性概念；事件的概率計算。

典型例題分析

例1?????????設(shè)表示3個隨機(jī)事件，試描述下列各事件所表示的意義：

（1）∪∪，?（2），?????（3）∪∪，

（4），??????（5）∪，

分析：本例題的知識點是事件之間的關(guān)系及表示，熟練應(yīng)用之即可。

解：（1）不都發(fā)生(中最多有兩個發(fā)生)，??（2）不可能事件，??（3）恰有一個發(fā)生，??（4）都不發(fā)生，??

（5）至少有一個發(fā)生，而不發(fā)生。

例2?????????設(shè)一個工人生產(chǎn)了4個零件，表示他生產(chǎn)的第個零件是正

品，試用表示下列事件：

（1）4個都是正品，?????????（2）至少有一個次品，

（3）只有一個次品，????????（4）至少有3個不是次品，

（5）恰有2個次品，???????

分析：應(yīng)用事件之間的關(guān)系及表示。

解：（1），??????（2），?

????（3）∪∪∪

?????（4）∪∪∪∪

?（5）∪∪∪∪

∪

例3?????????寫出下列隨機(jī)試驗的樣本空間：

???（1）10件產(chǎn)品中有2件次品，每次從中不放回的取1件，直到將2件次品都取出為止，記錄抽取次數(shù)；

???（2）甲乙兩人下棋一局，觀察棋賽結(jié)果；

???（3）將3個可以分辨的（不同的）小球裝入到3個盒子里，使每個盒子中恰有1球，觀察裝球情況；

???（4）一個小組有4個人，要選正副組長各一人（一人不能任兩職），觀察選舉結(jié)果；

???〔5〕生產(chǎn)產(chǎn)品直到10件合格品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品總件數(shù)；

?????（6）將一段長為1米的繩子折成3段，觀察每一段的長度。

分析：應(yīng)用樣本空間的定義，注意寫樣本點時，盡量簡單，避免

冗長的語言敘述。

解：（1）要將2件次品都取出，至少要取2次，最多取10次，用表示事件“取了次”，所以樣本空間；

?（2）甲乙兩人下棋一局，棋賽結(jié)果只可能有三種情況：甲勝乙負(fù)，乙勝甲負(fù)，和局，所以樣本空間甲勝乙負(fù)，乙勝甲負(fù)，和局}；

?（3）將3個盒子標(biāo)為，3個小球標(biāo)為，表示球裝入了盒，以此類推，于是樣本空間

；

???（4）將4個人標(biāo)號為1，2，3，4，寫在前面表示正組長，寫在后面表示副組長，于是樣本空間；

?????（5）要得到10件合格品，至少應(yīng)生產(chǎn)10件產(chǎn)品，所以樣本空間10，；

???（6）用依次表示第一段，第二段，第三段的長度，樣本空間

。

例4?????????化簡下列各式

（1）∪?????????????????????（2）（∪）（∪）

（3）（∪）（∪）（∪）

分析：應(yīng)用事件間的運(yùn)算。

?解：（1）∪=

（2）（∪）（∪）=

???????????????????????????????????????????????

（3）（∪）（∪）（∪）=（

=

例5??設(shè)是兩個隨機(jī)事件，而且已知

，求。

分析：由已知條件和所求概率知本題需要用加法公式，求得

后便可求出另外兩個概率；本題用到的知識點為概率性質(zhì)及加法公式。

解：由加法公式得

于是?，。

例6?已知求

分析：由已知條件，可利用概率的性質(zhì)及加法公式先求出。

解：由知，

?????????

再由知

所以，于是

從而???

例7?????????為減少比賽場次，將20個球隊分成甲乙兩組，每組10個隊，求

最強(qiáng)的兩個隊分在不同組的概率。

分析：只考慮甲組，該試驗為20個球隊中有2個強(qiáng)隊，取出10個隊，

求恰有1個強(qiáng)隊的概率，這是古典概型的取球問題。

解：從20個球隊中取出10個隊的取法數(shù)即樣本空間中所含基本事件總

數(shù)為，所求事件中基本事件個數(shù)為，所以。

例8?袋中有個球，4個白球5個黑球，現(xiàn)從中任取2個，求

（1）兩個均為白球的概率，

（2）一個是白球，一個是黑球的概率，

（3）至少有一個是黑球的概率。

分析：這是古典概型的取球問題，根據(jù)取球問題模型即可求得。

解；

????（1）解法1：假設(shè)取球與先后次序有關(guān)，則基本事件總數(shù)為，兩個均為白球的事件中基本事件個數(shù)為，所以；

????????解法2：假設(shè)取球與先后次序無關(guān)，則基本事件總數(shù)為，兩個均為白球的事件中基本事件個數(shù)為，所以；

??（2）解法1：假設(shè)取球與先后次序有關(guān)，則基本事件總數(shù)為，一個是白球一個是黑球有兩種情況，先白后黑和先黑后白，所以所求事件中基本事件個數(shù)為，所以一白一黑的概率是；

解法2：假設(shè)取球與先后次序無關(guān)，則基本事件總數(shù)為，所求事件中基本事件個數(shù)為，所以一白一黑的概率是。

（3）至少有一個是黑球的對立事件是兩個均為白球，利用（1）及概率性質(zhì)可得。

注1：用古典概型公式計算事件概率時，可在不同的樣本空間中進(jìn)行，但計算基本事件總數(shù)和所求事件中基本事件個數(shù)時，必須在同一樣本空間中。

注2：在求“至少…?…”的概率時，可考慮先求出，又如下例。

??例9??設(shè)12件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取5件，求至少有一件次品

的概率。

分析：至少有一件次品有三種互斥的情況，即有一件次品（事件，

有兩件次品（事件，有三件次品（事件，求出事件的概率（古典概型的取球問題）后相加即可，而先求逆事件的概率更簡單一些。

解：設(shè)表示5件都是合格品，由古典概型公式得，所以所求概率為。

??例10?一個學(xué)生宿舍有6名學(xué)生，問：

???（1）6人生日各不相同的概率，

???（2）6人生日都不在星期天的概率。

????分析：6名學(xué)生可認(rèn)為是6個不同的質(zhì)點，不同的日期可認(rèn)為是不同的盒子，故這是古典概型分房問題，

解：

??（1）一年的365天可認(rèn)為是365個盒子，考察6個人的生日可認(rèn)為將6個不同的質(zhì)點放入365個盒子，6個不同的質(zhì)點放入365個盒子的方法總數(shù)為，6人生日各不相同即每個盒子里至多有一個質(zhì)點的放法數(shù)為，所以根據(jù)古典概率計算公式有；

???（2）從星期一到星期日可認(rèn)為是七個盒子，6個不同的質(zhì)點放入7個盒子的放法總數(shù)為，6人生日都不在星期天即第七個盒子里無質(zhì)點的放法總數(shù)為，所以概率。

例11?將3個球隨機(jī)的投入到4個盒子里，求

??（1）3個球位于同一盒子的概率；

??（2）恰有兩個球位于同一盒子的概率。

??????分析：將球看作質(zhì)點，本題是分房問題。

??解：將3個球隨機(jī)的投入到4個盒子里的方法數(shù)有種，

（1）3個球位于同一盒子投法有種，所以概率為；

??（2）恰有兩個球的盒子有4種選法，3個球中選2個的選法有種，放另一個球的盒子有3種選法，故恰有兩個球位于同一盒子的概率是。

例12?????????在正整數(shù)中任取一個，求取得的數(shù)能被2整除的概率。

分析：這是古典概型的隨機(jī)取數(shù)問題，取得的數(shù)能否被2整除只需考

慮末位數(shù)。

???????解：任取一個正整數(shù)，只考慮末位數(shù)，所以樣本空間為，能被2整除這一事件的樣本點集合是，故所求概率是。

注：在本題中，若選取全體正整數(shù)為樣本空間，不再是古典概型，所以在計算古典概率時，注意選取適當(dāng)?shù)臉颖究臻g。

例13??一列火車共有節(jié)車廂，有個旅客上車并隨意的選擇車廂，求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一位旅客的概率。

分析：求每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一位旅客的概率，應(yīng)該用加法公式，設(shè)表示第節(jié)車廂內(nèi)至少有一位旅客，并不易求，故我們先求。

解：設(shè)表示第節(jié)車廂內(nèi)沒有一位旅客，，我們求，由于每個旅客有中選擇進(jìn)入車廂，所以基本事件總數(shù)為，發(fā)生說明對每個旅客都有種選擇，故包含的事件數(shù)為，同理事件包含的事件數(shù)為，所以

???????=，，，

每一節(jié)車廂內(nèi)至少有一位旅客為，

所以，利用加法公式得

?????????????????????????????????????。

例14??甲乙兩班共有70名同學(xué)，其中女同學(xué)40名，設(shè)甲班有30名同學(xué)，而女生有15名，問在碰到甲班同學(xué)時，正好碰到一名女同學(xué)的概率。

???分析：本題求在碰到甲班同學(xué)的條件下，正好碰到一名女同學(xué)的概率，所以是求條件概率，按照條件概率的計算公式求。

?????解：

???方法一：選樣本空間是從70名同學(xué)中任選一名的選法數(shù)，設(shè)表示碰到甲班同學(xué)，表示碰到女同學(xué)，因為，，所以有。

???方法二：根據(jù)問題的實際意義，已經(jīng)碰到甲班同學(xué)，所以選樣本空間是從30名甲班同學(xué)中任選一名的選法數(shù)，為30個，碰到甲班女同學(xué)這一事件中有樣本點15個，所以。

注：碰到類似問題時，可以按兩種方法求，方法二與方法一的區(qū)別在于在方法二中，根據(jù)問題的實際意義，將條件看作是非條件，而是實驗已知，從而兩種方法選取了不同的樣本空間。

例15?設(shè)事件互斥，且，證明。

分析：根據(jù)條件概率的計算公式和概率的性質(zhì)證明。

證明：因為互斥，所以，由知，

，又，所以，證畢。

例16?某班有個人抽簽參加考試，考簽共個，每個人抽到考簽后放回，考試結(jié)束后，問至少有一張考簽沒被抽到的概率。

分析：本題應(yīng)應(yīng)用加法公式，需要求個考簽沒被抽到的概率，而求個考簽同時沒被抽到的概率，又需用乘法公式。

解：給考簽編號為，記事件為“第號考簽未抽到”，則對任意，應(yīng)用乘法公式有

?

，

??????????

???????????????????????????????=

???????

??????

所以由加法公式有

?????????

+

例17??某廠的產(chǎn)品中次品率是0.04，而在100件正品中有75件一等品，試求在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品概率。

分析：在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品，應(yīng)為在該廠的產(chǎn)品中任取一件是合格品和在該廠的產(chǎn)品中任取一件是一等品兩個事件同時發(fā)生，所以應(yīng)用乘法公式。

解：設(shè)表示“任取一件是合格品”，表示“任取一件是一等品”，因為，，所以

=0.72。

例18?設(shè)有10相同規(guī)格的產(chǎn)品，其中由甲，乙，丙三廠生產(chǎn)的分別有5箱，3箱，2箱，三廠產(chǎn)品的廢品率依次為，從10箱產(chǎn)品中任取一箱，再從箱中任取一件，求取得正品的概率。

分析：正品是取自甲廠、乙廠或丙廠，但正品不是甲廠、乙廠及丙廠的正品的和事件，本題分別給出了三廠提供產(chǎn)品的份額及次品率（正品率），所以應(yīng)用全概率公式。

解：設(shè)表示“取得產(chǎn)品是正品”，分別表示“任取一件是甲、乙、丙生產(chǎn)的”，則是樣本空間的一個劃分，因為

由全概率公式得

++=0.82

例19?設(shè)某工廠有三個車間生產(chǎn)同一型號的螺釘，每個車間的總量分別占總量的，而每個車間的次品占每個車間產(chǎn)量的，從全廠總產(chǎn)品中抽取一件恰為次品，問它是由三個車間生產(chǎn)的概率。

分析：本題分別給出了三個車間生產(chǎn)產(chǎn)品的份額及次品率，而求條件概率，所以應(yīng)用貝葉斯公式。

解：設(shè)表示任取一個螺釘是車間提供的，表示取得次品，則是樣本空間的一個劃分，因為

由逆概率公式得

=

同理，。

例20?盒中有12個乒乓球，其中有3個舊的，9個新的，第一次比賽時任取3個來用，賽后放回（此時取到的新球變?yōu)榕f球），第二次比賽時再任取3個，求

（1）第二次比賽取到的球都是新球的概率，

（2）已知第二次比賽取到的球都是新球的，求第一次比賽取到的球都是新球的概率。

?分析：第二次比賽的取球是受第一次比賽的取球結(jié)果影響的，若第一次比賽取到新球是個，則第二次比賽取用時，新球有個，從而第二次比賽取到的球都是新球的取法數(shù)為，所以求第二次比賽取到的球都是新球的概率，需要考慮第一次取球的各種結(jié)果出現(xiàn)的條件下的各種條件概率，使用全概率公式；已知第二次比賽取到的球都是新球的，求第一次比賽取到的球都是新球的概率，應(yīng)用貝葉斯公式。

解：設(shè)表示“第二次比賽取到的球都是新球”，表示“第一次比賽取到新球個”，則

，，

（1）由全概率公式得

????????????????=0.146

??(2)?應(yīng)用貝葉斯公式有

???????=。

??例21?兩個射手彼此獨(dú)立的向同一目標(biāo)射擊，設(shè)甲擊中目標(biāo)的概率為0.8,?乙擊中目標(biāo)的概率為0.6,?求目標(biāo)被擊中的概率。

??分析：甲乙至少有一人擊中，則目標(biāo)被擊中，所以應(yīng)用加法公式，求甲乙同時擊中時，應(yīng)用獨(dú)立性；也可應(yīng)用事件獨(dú)立的性質(zhì)及逆事件求解。

??解：設(shè)表示“甲擊中”，表示“乙擊中”，表示“目標(biāo)被擊中”，

??解法一：

??????????????????????????????????????????=

??解法二：

????????????????????????????????=

例22?一個工人照管3臺機(jī)床，在一小時內(nèi)3臺機(jī)床不用人照管的概率依次為，求在一小時內(nèi)恰有兩臺機(jī)床需要照管的概率。

分析：3臺機(jī)床是否用人照管是相獨(dú)立的，應(yīng)用事件獨(dú)立的性質(zhì)和概率的性質(zhì)即可。

解：設(shè)表示3臺機(jī)床不用人照管，則

，

顯然是兩兩互斥的，而且由事件獨(dú)立性的性質(zhì)易知，的每一組中的三個事件也是相互獨(dú)立的，所以有

=

=0.092

?

例23?某型號的高炮，發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6，現(xiàn)若干門高炮同時發(fā)射一發(fā)，問欲以99%的把握擊中飛機(jī)，至少需幾門炮。

分析：高炮獨(dú)立發(fā)射，欲求以99%的把握擊中飛機(jī)，至少需幾門炮，這是反問題，且用事件的獨(dú)立性及逆概率事件求解。

解：設(shè)需門高炮，表示“飛機(jī)被擊中”，則={門高炮至少有一門擊中},?={門高炮均未擊中}，因為高炮獨(dú)立發(fā)射，所以

，從而

，

????

所以至少需要6門高炮。

?

?

from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap1.htm

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第一章 概率论的基本概念的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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