第一章???概率論的基本概念

內容提要：

一．?加法、乘法原理及排列、組合復習

1．??加法原理??設完成一件事有類方法（其中任一類方法都可達到

完成這件事的目的），若第1類方法有種，第2類方法有種，第類方法有種，則完成這件事共有++種方法。

2．??乘法原理??設完成一件事有個步驟（依次完成每一步才可達到

完成這件事的目的），若第1步有種方法，第2步有種方法，第步有種方法，則完成這件事共有種方法。

3．??排列?

??????（1）選排列和全排列?從個不同元素中任取個元素按順序排成一列，稱為從個元素中取出個元素的一個排列，從個元素中取出個元素的所有排列種數記為

；

將個不同元素全部取出的排列，稱為全排列，排列種數記為

=；

規定。

??????（2）可重復排列??從個不同元素中可重復（有放回）的取個元

素按順序排成一列，其排列種數為。

??????（3）不盡相異元素的全排列??設個元素中有個相同，又有個相同，又有個相同，且，這樣個元素的全排列叫不盡相異元素的全排列，其排列種數為。

??（4）環狀排列??從個不同元素中任取個元素不分首尾按環狀排列，排列種數為。

4．??組合

??????（1）通常意義的組合??從個不同元素中每次取個元素不分順序并成一組，稱為從個元素中取出個元素的一個組合，從個元素中取出個元素的所有組合數記為

?或?

組合有以下性質：，。

???（2）可重復排列??從個不同元素中可重復（有放回）的取個元

素不分順序并成一組，稱為從個元素中取出個元素的一個可重復組合，從個元素中取出個元素的所有可重復組合數為。

二．隨機試驗和隨機事件

1．??隨機試驗（記為）?若試驗（觀察或實驗過程）滿足條件：

??????（1）可以在相同的條件下重復進行，

??????（2）試驗的結果是明確可知的，而且有多種可能性，

??????（3）每次試驗之前不能確定哪個結果會出現，

則該試驗稱為隨機試驗。

????2．樣本空間和樣本點??試驗所有可能的結果組成的集合稱為的樣本空間，記為；試驗的每一個可能結果即中的每一個元素，稱為樣本點。

????3．隨機事件??隨機試驗的一個結果，即樣本空間的任一個子集，稱為隨機事件，用大寫字母表示。其又可細分為

?（1）基本事件??隨機試驗的每個不可再分解的結果（單個樣本點組

成的單點集），

（2）復雜事件??若干個基本事件構成的事件（由若干個樣本點構成集

合），

??（3）必然事件??樣本空間包含所有的樣本點，它是自身的子集，在每次試驗中它總是發生的，稱為必然事件，仍記為，

??（4）不可能事件??空集不包含任何樣本點，它作為樣本空間的子集，在每次試驗中都不發生，稱為不可能事件，記為。

????4．事件之間的關系及運算?

???（1）包含：若事件發生必導致事件發生，則稱包含于，或包含，記為，

???（2）相等：若且，則稱與相等，記為，

??????（3）和事件：事件的和（或并）∪表示事件和事件中至少有一個發生，推廣如下：

∪∪…∪表示個事件,,…,中至少有一個發生，

∪∪…∪∪…表示事件,,…,,…中至少有一個發生，

（4）積事件：事件的積（或交）∩表示事件和事件同時發生，推廣如下：

∩∩…∩表示個事件,,…,同時發生，

∩∩…∩∩…表示事件,,…,,…同時發生，

??（5）差事件：事件發生而事件不發生，稱與的差，記為，

??????（6）互斥事件（互不相容）：若事件和事件不能同時發生，即∩=，則稱與為互斥事件，

注：基本事件必是兩兩互斥的。

???（7）對立事件（逆事件）：在每次實驗中，“事件不發生的事件”稱為事件的對立事件，記為。

??????注：∪=，=，=而且有定義可知，對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，

????（8）事件的運算規律

?(ⅰ)?交換律：∪=∪，=

?(ⅱ)?結合律：∪(∪C)=(∪)∪,∩(∩C)=(∩)∩

?(ⅲ)?分配律：∪(∩C)=(∪)∩（∪）,∩(∪C)=(∩)∪（∩）

?(ⅳ)?德﹒摩根律：=∩,=。

三．概率的定義及性質

??1．概率的公理化定義

??設隨機試驗的樣本空間為，對于的每個事件，定義一個實數

與之對應，若函數滿足條件

?(ⅰ)?非負性??對每個事件，均有，

?(ⅱ)?規范性??，

?(ⅲ)?可列可加性??對于任意兩兩互斥的事件,,…,,…，均有∪∪…∪∪…）=，

則稱為事件的概率。

????2．概率的性質

（1），

注：其逆不真，即概率為0的事件不一定是不可能事件。

（2）有限可加性??對于任意兩兩互斥的事件,,…,，均有∪∪…∪）=，

（3）若，則有，，

注：當條件不滿足時，一般的，但是有。

（4）對于任意事件，，

（5）對于任意事件，，

（6）加法公式??對于任意事件和，有

，推廣如下：

?∪∪…∪）=+

+

?

???????????????????????????????????+

四．等可能概型（古典概型）

????1．定義??若隨機試驗的樣本空間中有有限個樣本點，而且每個樣本點出現的可能性相等，則試驗稱為等可能概型。

2．??概率計算??設是試驗的事件，則

???3．兩個典型的古典概型

??（1）取球問題

模型Ⅰ：設袋中有個白球，個黑球，從中任取個，則恰取到

個白球，個黑球的概率為。

模型Ⅱ：設袋中有個白球，個黑球，從中連接的一個個將球取出，在放回抽樣和不放回抽樣兩種情況下，第次取得白球的概率都是。

???（2）分房問題

模型：將個可分辨的質點等可能的放到盒子里（，則每個盒子里至多有一個質點的概率為，指定的個盒子里各有一個質點的概率為。

五．幾何概型

向長為的線段上等可能的投點，則點落在長為的子段上的概率與子段的位置無關，只與子段的長度有關，其概率值為，同理可知，二維（三維）的幾何概率為面積之比（體積之比）。

六．概率的乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式（逆概率公式）

1．??條件概率??設是兩個事件，且，稱

為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率。

????注：條件概率也是概率，它滿足概率定義中的三條，即

?(ⅰ)?非負性??對每個事件，均有，

?(ⅱ)?規范性??，

?(ⅲ)?可列可加性??對于任意兩兩互斥的事件,,…,,…，均有（∪∪…∪∪…））=，

而且，前面給出的概率性質和公式，也都適用于條件概率。

2．??乘法公式??=，乘法公式的

推廣：對于任何正整數，當時，有

3．??全概率公式

樣本空間的劃分：如果一組事件滿足

???（ⅰ）兩兩互斥，且，

???（ⅱ）∪∪…∪）=，

則稱事件組是樣本空間的一個劃分。

????全概率公式：設事件組是樣本空間的一個劃分，為任意事件，則有。

4．貝葉斯公式??設事件組是樣本空間的一個劃分，為任意事件（，則有，

。

七．獨立事件及其性質

????1．事件的獨立性??設是兩個事件，若有，則稱兩個事件獨立。

推廣：設,,…,是個事件，若對于其中的任意個事件,,…,，有…）=，則稱個事件,,…,是相互獨立的。

2．??性質??

（1）若兩個事件獨立，則也相互獨立，

（2）若是三個獨立的事件，則與、與、與都是相互獨立的，

（3）若個事件,,…,是相互獨立的，則其中的任意個事件,,…,也是相互獨立的，

（4）若個事件,,…,是相互獨立的，則事件,,…,是相互獨立的，其中是或，。

注：獨立與互斥是兩個不同的概念，注意相互區別。

小結：隨機事件的概率計算公式

1．??古典概率的計算公式

2．??幾何概率

3．??條件概率的計算公式

4．??加法公式及其推廣

5．??乘法公式及其推廣

6．??全概率公式及貝葉斯公式

7．??減法公式

8．??獨立的加法公式：若個事件,,…,是相互獨立的，則

∪∪…∪）=1∩∩…∩）=

9．獨立的乘法公式：若個事件,,…,是相互獨立的，則

基本要求

1．??理解隨機事件和樣本空間的概念；

2．??熟練掌握事件之間的關系和運算；

3．??理解概率的定義，掌握概率的性質，會應用這些性質進行概率的

基本計算；

4．??理解古典概型的定義，并會計算；

5．??理解條件概率的概念，會應用乘法公式、全概率公式、貝葉斯公

式（逆概率公式）進行概率計算；

6．??理解事件獨立性的概念，并會應用事件獨立性進行概率計算。

重點

隨機事件，樣本空間的概念；事件關系；概率的定義，性質；條件概

率；加法公式，乘法公式，全概率公式、貝葉斯公式的應用；獨立性概念；事件的概率計算。

典型例題分析

例1?????????設表示3個隨機事件，試描述下列各事件所表示的意義：

（1）∪∪，?（2），?????（3）∪∪，

（4），??????（5）∪，

分析：本例題的知識點是事件之間的關系及表示，熟練應用之即可。

解：（1）不都發生(中最多有兩個發生)，??（2）不可能事件，??（3）恰有一個發生，??（4）都不發生，??

（5）至少有一個發生，而不發生。

例2?????????設一個工人生產了4個零件，表示他生產的第個零件是正

品，試用表示下列事件：

（1）4個都是正品，?????????（2）至少有一個次品，

（3）只有一個次品，????????（4）至少有3個不是次品，

（5）恰有2個次品，???????

分析：應用事件之間的關系及表示。

解：（1），??????（2），?

????（3）∪∪∪

?????（4）∪∪∪∪

?（5）∪∪∪∪

∪

例3?????????寫出下列隨機試驗的樣本空間：

???（1）10件產品中有2件次品，每次從中不放回的取1件，直到將2件次品都取出為止，記錄抽取次數；

???（2）甲乙兩人下棋一局，觀察棋賽結果；

???（3）將3個可以分辨的（不同的）小球裝入到3個盒子里，使每個盒子中恰有1球，觀察裝球情況；

???（4）一個小組有4個人，要選正副組長各一人（一人不能任兩職），觀察選舉結果；

???〔5〕生產產品直到10件合格品，記錄生產產品總件數；

?????（6）將一段長為1米的繩子折成3段，觀察每一段的長度。

分析：應用樣本空間的定義，注意寫樣本點時，盡量簡單，避免

冗長的語言敘述。

解：（1）要將2件次品都取出，至少要取2次，最多取10次，用表示事件“取了次”，所以樣本空間；

?（2）甲乙兩人下棋一局，棋賽結果只可能有三種情況：甲勝乙負，乙勝甲負，和局，所以樣本空間甲勝乙負，乙勝甲負，和局}；

?（3）將3個盒子標為，3個小球標為，表示球裝入了盒，以此類推，于是樣本空間

；

???（4）將4個人標號為1，2，3，4，寫在前面表示正組長，寫在后面表示副組長，于是樣本空間；

?????（5）要得到10件合格品，至少應生產10件產品，所以樣本空間10，；

???（6）用依次表示第一段，第二段，第三段的長度，樣本空間

。

例4?????????化簡下列各式

（1）∪?????????????????????（2）（∪）（∪）

（3）（∪）（∪）（∪）

分析：應用事件間的運算。

?解：（1）∪=

（2）（∪）（∪）=

???????????????????????????????????????????????

（3）（∪）（∪）（∪）=（

=

例5??設是兩個隨機事件，而且已知

，求。

分析：由已知條件和所求概率知本題需要用加法公式，求得

后便可求出另外兩個概率；本題用到的知識點為概率性質及加法公式。

解：由加法公式得

于是?，。

例6?已知求

分析：由已知條件，可利用概率的性質及加法公式先求出。

解：由知，

?????????

再由知

所以，于是

從而???

例7?????????為減少比賽場次，將20個球隊分成甲乙兩組，每組10個隊，求

最強的兩個隊分在不同組的概率。

分析：只考慮甲組，該試驗為20個球隊中有2個強隊，取出10個隊，

求恰有1個強隊的概率，這是古典概型的取球問題。

解：從20個球隊中取出10個隊的取法數即樣本空間中所含基本事件總

數為，所求事件中基本事件個數為，所以。

例8?袋中有個球，4個白球5個黑球，現從中任取2個，求

（1）兩個均為白球的概率，

（2）一個是白球，一個是黑球的概率，

（3）至少有一個是黑球的概率。

分析：這是古典概型的取球問題，根據取球問題模型即可求得。

解；

????（1）解法1：假設取球與先后次序有關，則基本事件總數為，兩個均為白球的事件中基本事件個數為，所以；

????????解法2：假設取球與先后次序無關，則基本事件總數為，兩個均為白球的事件中基本事件個數為，所以；

??（2）解法1：假設取球與先后次序有關，則基本事件總數為，一個是白球一個是黑球有兩種情況，先白后黑和先黑后白，所以所求事件中基本事件個數為，所以一白一黑的概率是；

解法2：假設取球與先后次序無關，則基本事件總數為，所求事件中基本事件個數為，所以一白一黑的概率是。

（3）至少有一個是黑球的對立事件是兩個均為白球，利用（1）及概率性質可得。

注1：用古典概型公式計算事件概率時，可在不同的樣本空間中進行，但計算基本事件總數和所求事件中基本事件個數時，必須在同一樣本空間中。

注2：在求“至少…?…”的概率時，可考慮先求出，又如下例。

??例9??設12件產品中有3件次品，從中任取5件，求至少有一件次品

的概率。

分析：至少有一件次品有三種互斥的情況，即有一件次品（事件，

有兩件次品（事件，有三件次品（事件，求出事件的概率（古典概型的取球問題）后相加即可，而先求逆事件的概率更簡單一些。

解：設表示5件都是合格品，由古典概型公式得，所以所求概率為。

??例10?一個學生宿舍有6名學生，問：

???（1）6人生日各不相同的概率，

???（2）6人生日都不在星期天的概率。

????分析：6名學生可認為是6個不同的質點，不同的日期可認為是不同的盒子，故這是古典概型分房問題，

解：

??（1）一年的365天可認為是365個盒子，考察6個人的生日可認為將6個不同的質點放入365個盒子，6個不同的質點放入365個盒子的方法總數為，6人生日各不相同即每個盒子里至多有一個質點的放法數為，所以根據古典概率計算公式有；

???（2）從星期一到星期日可認為是七個盒子，6個不同的質點放入7個盒子的放法總數為，6人生日都不在星期天即第七個盒子里無質點的放法總數為，所以概率。

例11?將3個球隨機的投入到4個盒子里，求

??（1）3個球位于同一盒子的概率；

??（2）恰有兩個球位于同一盒子的概率。

??????分析：將球看作質點，本題是分房問題。

??解：將3個球隨機的投入到4個盒子里的方法數有種，

（1）3個球位于同一盒子投法有種，所以概率為；

??（2）恰有兩個球的盒子有4種選法，3個球中選2個的選法有種，放另一個球的盒子有3種選法，故恰有兩個球位于同一盒子的概率是。

例12?????????在正整數中任取一個，求取得的數能被2整除的概率。

分析：這是古典概型的隨機取數問題，取得的數能否被2整除只需考

慮末位數。

???????解：任取一個正整數，只考慮末位數，所以樣本空間為，能被2整除這一事件的樣本點集合是，故所求概率是。

注：在本題中，若選取全體正整數為樣本空間，不再是古典概型，所以在計算古典概率時，注意選取適當的樣本空間。

例13??一列火車共有節車廂，有個旅客上車并隨意的選擇車廂，求每一節車廂內至少有一位旅客的概率。

分析：求每一節車廂內至少有一位旅客的概率，應該用加法公式，設表示第節車廂內至少有一位旅客，并不易求，故我們先求。

解：設表示第節車廂內沒有一位旅客，，我們求，由于每個旅客有中選擇進入車廂，所以基本事件總數為，發生說明對每個旅客都有種選擇，故包含的事件數為，同理事件包含的事件數為，所以

???????=，，，

每一節車廂內至少有一位旅客為，

所以，利用加法公式得

?????????????????????????????????????。

例14??甲乙兩班共有70名同學，其中女同學40名，設甲班有30名同學，而女生有15名，問在碰到甲班同學時，正好碰到一名女同學的概率。

???分析：本題求在碰到甲班同學的條件下，正好碰到一名女同學的概率，所以是求條件概率，按照條件概率的計算公式求。

?????解：

???方法一：選樣本空間是從70名同學中任選一名的選法數，設表示碰到甲班同學，表示碰到女同學，因為，，所以有。

???方法二：根據問題的實際意義，已經碰到甲班同學，所以選樣本空間是從30名甲班同學中任選一名的選法數，為30個，碰到甲班女同學這一事件中有樣本點15個，所以。

注：碰到類似問題時，可以按兩種方法求，方法二與方法一的區別在于在方法二中，根據問題的實際意義，將條件看作是非條件，而是實驗已知，從而兩種方法選取了不同的樣本空間。

例15?設事件互斥，且，證明。

分析：根據條件概率的計算公式和概率的性質證明。

證明：因為互斥，所以，由知，

，又，所以，證畢。

例16?某班有個人抽簽參加考試，考簽共個，每個人抽到考簽后放回，考試結束后，問至少有一張考簽沒被抽到的概率。

分析：本題應應用加法公式，需要求個考簽沒被抽到的概率，而求個考簽同時沒被抽到的概率，又需用乘法公式。

解：給考簽編號為，記事件為“第號考簽未抽到”，則對任意，應用乘法公式有

?

，

??????????

???????????????????????????????=

???????

??????

所以由加法公式有

?????????

+

例17??某廠的產品中次品率是0.04，而在100件正品中有75件一等品，試求在該廠的產品中任取一件是一等品概率。

分析：在該廠的產品中任取一件是一等品，應為在該廠的產品中任取一件是合格品和在該廠的產品中任取一件是一等品兩個事件同時發生，所以應用乘法公式。

解：設表示“任取一件是合格品”，表示“任取一件是一等品”，因為，，所以

=0.72。

例18?設有10相同規格的產品，其中由甲，乙，丙三廠生產的分別有5箱，3箱，2箱，三廠產品的廢品率依次為，從10箱產品中任取一箱，再從箱中任取一件，求取得正品的概率。

分析：正品是取自甲廠、乙廠或丙廠，但正品不是甲廠、乙廠及丙廠的正品的和事件，本題分別給出了三廠提供產品的份額及次品率（正品率），所以應用全概率公式。

解：設表示“取得產品是正品”，分別表示“任取一件是甲、乙、丙生產的”，則是樣本空間的一個劃分，因為

由全概率公式得

++=0.82

例19?設某工廠有三個車間生產同一型號的螺釘，每個車間的總量分別占總量的，而每個車間的次品占每個車間產量的，從全廠總產品中抽取一件恰為次品，問它是由三個車間生產的概率。

分析：本題分別給出了三個車間生產產品的份額及次品率，而求條件概率，所以應用貝葉斯公式。

解：設表示任取一個螺釘是車間提供的，表示取得次品，則是樣本空間的一個劃分，因為

由逆概率公式得

=

同理，。

例20?盒中有12個乒乓球，其中有3個舊的，9個新的，第一次比賽時任取3個來用，賽后放回（此時取到的新球變為舊球），第二次比賽時再任取3個，求

（1）第二次比賽取到的球都是新球的概率，

（2）已知第二次比賽取到的球都是新球的，求第一次比賽取到的球都是新球的概率。

?分析：第二次比賽的取球是受第一次比賽的取球結果影響的，若第一次比賽取到新球是個，則第二次比賽取用時，新球有個，從而第二次比賽取到的球都是新球的取法數為，所以求第二次比賽取到的球都是新球的概率，需要考慮第一次取球的各種結果出現的條件下的各種條件概率，使用全概率公式；已知第二次比賽取到的球都是新球的，求第一次比賽取到的球都是新球的概率，應用貝葉斯公式。

解：設表示“第二次比賽取到的球都是新球”，表示“第一次比賽取到新球個”，則

，，

（1）由全概率公式得

????????????????=0.146

??(2)?應用貝葉斯公式有

???????=。

??例21?兩個射手彼此獨立的向同一目標射擊，設甲擊中目標的概率為0.8,?乙擊中目標的概率為0.6,?求目標被擊中的概率。

??分析：甲乙至少有一人擊中，則目標被擊中，所以應用加法公式，求甲乙同時擊中時，應用獨立性；也可應用事件獨立的性質及逆事件求解。

??解：設表示“甲擊中”，表示“乙擊中”，表示“目標被擊中”，

??解法一：

??????????????????????????????????????????=

??解法二：

????????????????????????????????=

例22?一個工人照管3臺機床，在一小時內3臺機床不用人照管的概率依次為，求在一小時內恰有兩臺機床需要照管的概率。

分析：3臺機床是否用人照管是相獨立的，應用事件獨立的性質和概率的性質即可。

解：設表示3臺機床不用人照管，則

，

顯然是兩兩互斥的，而且由事件獨立性的性質易知，的每一組中的三個事件也是相互獨立的，所以有

=

=0.092

?

例23?某型號的高炮，發射一發炮彈擊中飛機的概率為0.6，現若干門高炮同時發射一發，問欲以99%的把握擊中飛機，至少需幾門炮。

分析：高炮獨立發射，欲求以99%的把握擊中飛機，至少需幾門炮，這是反問題，且用事件的獨立性及逆概率事件求解。

解：設需門高炮，表示“飛機被擊中”，則={門高炮至少有一門擊中},?={門高炮均未擊中}，因為高炮獨立發射，所以

，從而

，

????

所以至少需要6門高炮。

?

?

from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap1.htm

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第一章 概率论的基本概念的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。