第二章?隨機變量及其分布

內容提要：

一、????????隨機變量的定義

設是一個隨機試驗，其樣本空間為，若對每一個樣本點，都有唯一確定的實數與之對應，則稱上的實值函數是一個隨機變量（簡記為）。

二、????????分布函數的概念和性質

1．分布函數的定義

設是隨機變量，稱定義在上的實值函數

為隨機變量的分布函數。

2．分布函數的性質

(1)?，

（2）單調不減性：，

（3）

（4）右連續性：。

注：上述4個性質是函數是某一隨機變量的分布函數的充要條件。在不同的教科書上，分布函數的定義可能有所不同，例如，其性質也會有所不同。

?（5）

?????

??????

?注：該性質是分布函數對隨機變量的統計規律的描述。

三、????????離散型隨機變量

??1．離散型隨機變量的定義

?若隨機變量的全部可能的取值至多有可列個，則稱隨機變量是離散型隨機變量。

?2．離散型隨機變量的分布律

（1）定義：離散型隨機變量的全部可能的取值以及取每個值時的概率值，稱為離散型隨機變量的分布律，表示為

?

或用表格表示：

?

	??x1??????x2??????…????xn????…
pk	??P1????p2????…????pn????…

或記為

???????~?

??

（2）性質：，?

????注：該性質是是某一離散型隨機變量的分布律的充要條件。

??????其中。

注：常用分布律描述離散型隨機變量的統計規律。

??3．離散型隨機變量的分布函數

???=，?它是右連續的階梯狀函數。

4．常見的離散型分布

?????（1）?兩點分布（0—1分布）：其分布律為

????????

即

?????

?	???0?????????1
??p	??1–p???????p

?

??（2）二項分布

??（ⅰ）二項分布的來源—重伯努利試驗：設是一個隨機試驗，只有兩個可能的結果及，，將獨立重復地進行次，則稱這一串重復的獨立試驗為重伯努利試驗。

??（ⅱ）二項分布的定義

?????設表示在重伯努利試驗中事件發生的次數，則隨機變量的分布律為

???，??，

稱隨機變量服從參數為的二項分布，記作。

注：即為兩點分布。

（3）泊松分布：若隨機變量的分布律為

???，?????，

則稱隨機變量服從參數為的泊松分布，記作（或。

四、????????連續性隨機變量

???1．連續性隨機變量的定義

???若對于隨機變量，存在定義在上的非負函數，使得對任意的實數，總有?則稱于隨機變量是連續性隨機變量，其中稱為的概率密度函數，簡稱概率密度，為明確起見，有時寫為。

2．概率密度函數的性質

??（1）

注：該性質是是某一連續型隨機變量的概率密度的充要條件。

? ?（2）對連續性隨機變量，一定是連續的，但是未必連續，在的連續點處，有，

??（3）對任意的實數?從而對任意實數，有

?。

???注：常用概率密度描述連續型隨機變量的統計規律。

4．常見的連續型分布

???（1）均勻分布

???設表示幾何概型中的落點坐標，則其分布函數為

，

其概率密度為

，

稱服從區間上的均勻分布，記為。

???（2）指數分布

????若隨機變量的概率密度為

????，

稱服從參數為的指數分布，其分布函數是

?????。

???（3）正態分布

???（ⅰ）標準正態分布：若隨機變量的概率密度為

????????，，

則稱服從標準正態分布，記為，其分布函數為

，

?（ⅱ）一般正態分布：若隨機變量的概率密度為

????????，，

則稱服從參數為的正態分布，記為，其分布函數為

，

（ⅲ）正態分布的性質：

???滿足對稱性，即，；

???若，則，即，從而有；

注：由上述性質，可將正態分布的計算轉換為標準正態分布的計算，而對于標準正態分布的分布函數值，當時有表可查，根據對稱性，當時，可根據算出的值。

?若，則

（ⅳ）標準正態分布的上分位點：設，對于任給的，，稱滿足的點為標準正態分布的上分位點。

五、????????隨機變量的函數分布

??1．離散型隨機變量的函數分布

設是離散型隨機變量，其分布律為，又

為連續函數），則的分布律為

????情形一：對所有的全不相同時，的分布律為

情形二：若知某個，時，則有

?????，

一般的，的分布律為

??????????????，

2．連續型隨機變量的函數分布

設是連續型隨機變量，其概率密度為，又，則的概率密度為

????情形一：如果函數處處可導且，則也是連續型隨機變量，其概率密度為

其中=是的反函數。

情形二：如果函數非嚴格單調，則可分兩步求的概率密度：

第一步，求的分布函數，

第二步，對求導數。

六、????????幾個注記

1．若分布函數中有待定的常數，則該常數的確定是利用的性質：或。

???2．若概率密度函數（分布律）中有待定的常數，則該常數的確定是利用（分布律）的性質：（；

????3．若是連續型隨機變量，對任意的實數?；

????4．離散型隨機變量的分布律中兩要素缺一不可，即的所有可能的取值以及取每個值時的概率值，離散型隨機變量的分布函數是右連續、階梯狀的分段函數；

5．若是連續型隨機變量，根據?互求即可。

?

基本要求

1．熟練掌握隨機變量、離散型隨機變量、連續型隨機變量、分布函數、分布律和概率密度函數的概念，理解分布函數、分布律和概率密度函數的性質；

2．會利用隨機變量描述事件，會求隨機變量的分布函數，分布律和概率密度函數，會求隨機變量函數的分布；

3．熟練掌握六種常用的分布；

4．已知分布函數，會求分布律或概率密度函數，已知分布律或概率密度函數，會求分布函數。

重點內容

隨機變量的概念，分布函數、分布律和概率密度函數的概念和性質，分布函數和概率密度函數的計算，隨機變量函數的分布。

典型例題分析

例1?設一個盒子中有標號為1，2，3，4，5的5個球，從中等可能的任取3個，用表示取出球的最大號碼，求隨機變量的分布律及分布函數。

分析：本題中，的所有可能的取值為3，4，5，而取每個值（事件）時的概率是古典概型的概率，然后根據分布律及分布函數的關系求出分布函數。

解：的所有可能的取值為3，4，5，

當時，即取出號碼為（1，2，3），，

當時，即取出號碼為（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），，

當時，即取出號碼為（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），，

故分布律為

???X	?3??????4??????5
???pk	?1/10???3/10????3/5

?

由公式可得分布函數為

?????

例2?一批零件中有9個正品3個次品，從中任取一個，如果取出次品不再放回，求在取出正品前已取出的次品數的分布律。

分析：本題中，的所有可能的取值為0，1，2，3，而取每個值（事件）時的概率是古典概型的概率。

解：的所有可能的取值為0，1，2，3，設表示第次取出的是正品，則由乘法公式得的分布律為

?

同理

例3?一個靶子是半徑為兩米的圓盤，設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設射擊都能中靶，以表示彈著點與圓心的距離，求的分布函數。

???分析：根據分布函數的定義求。

??解：設的分布函數為，若，則是不可能事件，此時，；

??若?由題意，，為確定常數，取，則有，而，所以，從而

；

若，則是必然事件，于是；

綜上所述，

?????

例4?設隨機變量的分布函數為

?

試確定常數，并求。

分析：根據前面的注記，應用的右連續性可求出常數，然后應用的性質中對隨機變量的統計規律的描述求概率。

解：由分布函數的右連續性得，由概率與分布函數的關系得

注：從本例可以看出，分布函數既非連續又非階梯狀，從而說明，存在既非離散又非連續的隨機變量。

例5?設隨機變量的分布函數為，，求

（1）系數，（2）落在內的概率，（3）的概率密度。

分析：根據的性質及和概率密度函數之間的關系求解。

解：（1）由于，可知

，解之得，

于是，。

（2）

=

?（3）?，

例6?設隨機變量的概率密度，求

（1）系數，?（2）???（3）求的分布函數。

????分析：根據的性質及分布函數和概率密度函數之間的關系求解。

解：（1）由于，得，即，

（2），

（3）

??當時，，

???????????當時，+，

所以的分布函數???。

例7?設電視機的壽命（以年記），具有以下的概率密度函數

????

求（1）電視機的壽命最多為6年的概率，

??（2）壽命最在5到10年之間的概率，

分析：本題是已知連續性隨機變量的概率密度函數求概率，按前面的公式求即可。

解：電視機的壽命記為，則有

??????（1）

??????（2）

例8?設公共汽車每隔5分鐘有一輛汽車通過，乘客在任一時刻到達車站是等可能的，求

（1）乘客候車時間不超過3分鐘的概率，

（2）乘客每周等車3次，每次若超過3分鐘就離開，用表示該乘客在一周內等到公共汽車的次數，求的分布律，并求。

分析：由題意知，乘客候車時間應服從均勻分布，求乘客候車時間不超過3分鐘的概率，就是根據概率密度求概率；又由題意可知，是服從二項分布的隨機變量。

解：（1）設表示候車時間，由題意可知服從[0，5]上的均勻分布，概率密度為

??，

故乘客候車時間不超過3分鐘的概率為；

????（2）由題意可得，，從而

??????????==。

例9設隨機變量，求：

???????（1）??（2）

分析：對正態分布的概率計算，要先將其標準化，然后查表計算。

解：

方法一：因為，所以，從而

（1）

（2）

??????????????????=

方法二：設的分布函數為，則，于是

（1）

（2）

=?

例10?設隨機變量的分布律為

?

??X	????????0??????1??????2
??pi	??????0?????????0.2?????0.2

求（1）的值，?（2）及的分布律。

分析：這是求離散型隨機變量的函數分布，先根據分布律的性質求出

，然后再根據公式求函數分布即可。

解：（1）由于，所以

??????????????（2）的分布律為

?

??X2	?0?????1????4
??pi	?0.4???0.2??0.4????

?的分布律為

??

??2X+1	?????????1?????3??????5
??pi	?0.2??????0?????0.4???0.2????0.2

注：在本題中需要注意的是，

例1 1?設隨機變量均勻分布），求

（1）隨機變量的概率密度函數，

?(2)??隨機變量的概率密度函數。

分析：這是求連續型隨機變量的函數分布，而且給定的函數非嚴格單調的，應先求分布函數，然后對分布函數求導數。

解：由條件知隨機變量的概率密度為，

（1）的分布函數，顯然，當時，，當，?當時，有

=，

所以??

（2）的分布函數，顯然，當時，，當時，有

=，

所以??。

例12??如果在時間（分鐘）內，通過某交叉路口的汽車數量服從參數與成正比的泊松分布，已知在一分鐘內沒有汽車通過的概率為，求在兩分鐘內多于一輛汽車通過的概率。

分析：從題意可以看出，須先求出參數，然后再根據分布律求概率。

解：用隨機變量表示在時間內通過某交叉路口的汽車數，則

??

當時，所以，從而當時，

。

?????例13??某電池的壽命的正態分布，求，使得壽命在之間的概率不小于。

分析：將正態分布化為標準正態分布，然后查表計算。

解：=

，即，查表得，，

即。

例14?設，求

（1）的概率密度函數，

（2）的概率密度函數。

分析：本題是連續型隨機變量的函數分布，而且給出的函數單調增，所以代入公式計算即可。

解：

（1）的反函數為，所以根據公式

??，

其中=得

???。

（2）的反函數為，所以有

??=?，

。

?

?

from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap2.htm

總結

以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第二章 随机变量及其分布的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。