第二章?隨機(jī)變量及其分布

內(nèi)容提要：

一、????????隨機(jī)變量的定義

設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為，若對(duì)每一個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱上的實(shí)值函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量（簡(jiǎn)記為）。

二、????????分布函數(shù)的概念和性質(zhì)

1．分布函數(shù)的定義

設(shè)是隨機(jī)變量，稱定義在上的實(shí)值函數(shù)

為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。

2．分布函數(shù)的性質(zhì)

(1)?，

（2）單調(diào)不減性：，

（3）

（4）右連續(xù)性：。

注：上述4個(gè)性質(zhì)是函數(shù)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充要條件。在不同的教科書上，分布函數(shù)的定義可能有所不同，例如，其性質(zhì)也會(huì)有所不同。

?（5）

?????

??????

?注：該性質(zhì)是分布函數(shù)對(duì)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的描述。

三、????????離散型隨機(jī)變量

??1．離散型隨機(jī)變量的定義

?若隨機(jī)變量的全部可能的取值至多有可列個(gè)，則稱隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量。

?2．離散型隨機(jī)變量的分布律

（1）定義：離散型隨機(jī)變量的全部可能的取值以及取每個(gè)值時(shí)的概率值，稱為離散型隨機(jī)變量的分布律，表示為

?

或用表格表示：

?

	??x1??????x2??????…????xn????…
pk	??P1????p2????…????pn????…

或記為

???????~?

??

（2）性質(zhì)：，?

????注：該性質(zhì)是是某一離散型隨機(jī)變量的分布律的充要條件。

??????其中。

注：常用分布律描述離散型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

??3．離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)

???=，?它是右連續(xù)的階梯狀函數(shù)。

4．常見(jiàn)的離散型分布

?????（1）?兩點(diǎn)分布（0—1分布）：其分布律為

????????

即

?????

?	???0?????????1
??p	??1–p???????p

?

??（2）二項(xiàng)分布

??（ⅰ）二項(xiàng)分布的來(lái)源—重伯努利試驗(yàn)：設(shè)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，只有兩個(gè)可能的結(jié)果及，，將獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn)。

??（ⅱ）二項(xiàng)分布的定義

?????設(shè)表示在重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，則隨機(jī)變量的分布律為

???，??，

稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記作。

注：即為兩點(diǎn)分布。

（3）泊松分布：若隨機(jī)變量的分布律為

???，?????，

則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記作（或。

四、????????連續(xù)性隨機(jī)變量

???1．連續(xù)性隨機(jī)變量的定義

???若對(duì)于隨機(jī)變量，存在定義在上的非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)，總有?則稱于隨機(jī)變量是連續(xù)性隨機(jī)變量，其中稱為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度，為明確起見(jiàn)，有時(shí)寫為。

2．概率密度函數(shù)的性質(zhì)

??（1）

注：該性質(zhì)是是某一連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的充要條件。

? ?（2）對(duì)連續(xù)性隨機(jī)變量，一定是連續(xù)的，但是未必連續(xù)，在的連續(xù)點(diǎn)處，有，

??（3）對(duì)任意的實(shí)數(shù)?從而對(duì)任意實(shí)數(shù)，有

?。

???注：常用概率密度描述連續(xù)型隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

4．常見(jiàn)的連續(xù)型分布

???（1）均勻分布

???設(shè)表示幾何概型中的落點(diǎn)坐標(biāo)，則其分布函數(shù)為

，

其概率密度為

，

稱服從區(qū)間上的均勻分布，記為。

???（2）指數(shù)分布

????若隨機(jī)變量的概率密度為

????，

稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布，其分布函數(shù)是

?????。

???（3）正態(tài)分布

???（ⅰ）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：若隨機(jī)變量的概率密度為

????????，，

則稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其分布函數(shù)為

，

?（ⅱ）一般正態(tài)分布：若隨機(jī)變量的概率密度為

????????，，

則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為，其分布函數(shù)為

，

（ⅲ）正態(tài)分布的性質(zhì)：

???滿足對(duì)稱性，即，；

???若，則，即，從而有；

注：由上述性質(zhì)，可將正態(tài)分布的計(jì)算轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的計(jì)算，而對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值，當(dāng)時(shí)有表可查，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，可根據(jù)算出的值。

?若，則

（ⅳ）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)：設(shè)，對(duì)于任給的，，稱滿足的點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)。

五、????????隨機(jī)變量的函數(shù)分布

??1．離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布

設(shè)是離散型隨機(jī)變量，其分布律為，又

為連續(xù)函數(shù)），則的分布律為

????情形一：對(duì)所有的全不相同時(shí)，的分布律為

情形二：若知某個(gè)，時(shí)，則有

?????，

一般的，的分布律為

??????????????，

2．連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布

設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為，又，則的概率密度為

????情形一：如果函數(shù)處處可導(dǎo)且，則也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為

其中=是的反函數(shù)。

情形二：如果函數(shù)非嚴(yán)格單調(diào)，則可分兩步求的概率密度：

第一步，求的分布函數(shù)，

第二步，對(duì)求導(dǎo)數(shù)。

六、????????幾個(gè)注記

1．若分布函數(shù)中有待定的常數(shù)，則該常數(shù)的確定是利用的性質(zhì)：或。

???2．若概率密度函數(shù)（分布律）中有待定的常數(shù)，則該常數(shù)的確定是利用（分布律）的性質(zhì)：（；

????3．若是連續(xù)型隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)?；

????4．離散型隨機(jī)變量的分布律中兩要素缺一不可，即的所有可能的取值以及取每個(gè)值時(shí)的概率值，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是右連續(xù)、階梯狀的分段函數(shù)；

5．若是連續(xù)型隨機(jī)變量，根據(jù)?互求即可。

?

基本要求

1．熟練掌握隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量、連續(xù)型隨機(jī)變量、分布函數(shù)、分布律和概率密度函數(shù)的概念，理解分布函數(shù)、分布律和概率密度函數(shù)的性質(zhì)；

2．會(huì)利用隨機(jī)變量描述事件，會(huì)求隨機(jī)變量的分布函數(shù)，分布律和概率密度函數(shù)，會(huì)求隨機(jī)變量函數(shù)的分布；

3．熟練掌握六種常用的分布；

4．已知分布函數(shù)，會(huì)求分布律或概率密度函數(shù)，已知分布律或概率密度函數(shù)，會(huì)求分布函數(shù)。

重點(diǎn)內(nèi)容

隨機(jī)變量的概念，分布函數(shù)、分布律和概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)，分布函數(shù)和概率密度函數(shù)的計(jì)算，隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

典型例題分析

例1?設(shè)一個(gè)盒子中有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的5個(gè)球，從中等可能的任取3個(gè)，用表示取出球的最大號(hào)碼，求隨機(jī)變量的分布律及分布函數(shù)。

分析：本題中，的所有可能的取值為3，4，5，而取每個(gè)值（事件）時(shí)的概率是古典概型的概率，然后根據(jù)分布律及分布函數(shù)的關(guān)系求出分布函數(shù)。

解：的所有可能的取值為3，4，5，

當(dāng)時(shí)，即取出號(hào)碼為（1，2，3），，

當(dāng)時(shí)，即取出號(hào)碼為（1，2，4），（1，3，4），（2，3，4），，

當(dāng)時(shí)，即取出號(hào)碼為（1，2，5），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5），，

故分布律為

???X	?3??????4??????5
???pk	?1/10???3/10????3/5

?

由公式可得分布函數(shù)為

?????

例2?一批零件中有9個(gè)正品3個(gè)次品，從中任取一個(gè)，如果取出次品不再放回，求在取出正品前已取出的次品數(shù)的分布律。

分析：本題中，的所有可能的取值為0，1，2，3，而取每個(gè)值（事件）時(shí)的概率是古典概型的概率。

解：的所有可能的取值為0，1，2，3，設(shè)表示第次取出的是正品，則由乘法公式得的分布律為

?

同理

例3?一個(gè)靶子是半徑為兩米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以表示彈著點(diǎn)與圓心的距離，求的分布函數(shù)。

???分析：根據(jù)分布函數(shù)的定義求。

??解：設(shè)的分布函數(shù)為，若，則是不可能事件，此時(shí)，；

??若?由題意，，為確定常數(shù)，取，則有，而，所以，從而

；

若，則是必然事件，于是；

綜上所述，

?????

例4?設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為

?

試確定常數(shù)，并求。

分析：根據(jù)前面的注記，應(yīng)用的右連續(xù)性可求出常數(shù)，然后應(yīng)用的性質(zhì)中對(duì)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的描述求概率。

解：由分布函數(shù)的右連續(xù)性得，由概率與分布函數(shù)的關(guān)系得

注：從本例可以看出，分布函數(shù)既非連續(xù)又非階梯狀，從而說(shuō)明，存在既非離散又非連續(xù)的隨機(jī)變量。

例5?設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，，求

（1）系數(shù)，（2）落在內(nèi)的概率，（3）的概率密度。

分析：根據(jù)的性質(zhì)及和概率密度函數(shù)之間的關(guān)系求解。

解：（1）由于，可知

，解之得，

于是，。

（2）

=

?（3）?，

例6?設(shè)隨機(jī)變量的概率密度，求

（1）系數(shù)，?（2）???（3）求的分布函數(shù)。

????分析：根據(jù)的性質(zhì)及分布函數(shù)和概率密度函數(shù)之間的關(guān)系求解。

解：（1）由于，得，即，

（2），

（3）

??當(dāng)時(shí)，，

???????????當(dāng)時(shí)，+，

所以的分布函數(shù)???。

例7?設(shè)電視機(jī)的壽命（以年記），具有以下的概率密度函數(shù)

????

求（1）電視機(jī)的壽命最多為6年的概率，

??（2）壽命最在5到10年之間的概率，

分析：本題是已知連續(xù)性隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)求概率，按前面的公式求即可。

解：電視機(jī)的壽命記為，則有

??????（1）

??????（2）

例8?設(shè)公共汽車每隔5分鐘有一輛汽車通過(guò)，乘客在任一時(shí)刻到達(dá)車站是等可能的，求

（1）乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率，

（2）乘客每周等車3次，每次若超過(guò)3分鐘就離開(kāi)，用表示該乘客在一周內(nèi)等到公共汽車的次數(shù)，求的分布律，并求。

分析：由題意知，乘客候車時(shí)間應(yīng)服從均勻分布，求乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率，就是根據(jù)概率密度求概率；又由題意可知，是服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量。

解：（1）設(shè)表示候車時(shí)間，由題意可知服從[0，5]上的均勻分布，概率密度為

??，

故乘客候車時(shí)間不超過(guò)3分鐘的概率為；

????（2）由題意可得，，從而

??????????==。

例9設(shè)隨機(jī)變量，求：

???????（1）??（2）

分析：對(duì)正態(tài)分布的概率計(jì)算，要先將其標(biāo)準(zhǔn)化，然后查表計(jì)算。

解：

方法一：因?yàn)?sub>，所以，從而

（1）

（2）

??????????????????=

方法二：設(shè)的分布函數(shù)為，則，于是

（1）

（2）

=?

例10?設(shè)隨機(jī)變量的分布律為

?

??X	????????0??????1??????2
??pi	??????0?????????0.2?????0.2

求（1）的值，?（2）及的分布律。

分析：這是求離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布，先根據(jù)分布律的性質(zhì)求出

，然后再根據(jù)公式求函數(shù)分布即可。

解：（1）由于，所以

??????????????（2）的分布律為

?

??X2	?0?????1????4
??pi	?0.4???0.2??0.4????

?的分布律為

??

??2X+1	?????????1?????3??????5
??pi	?0.2??????0?????0.4???0.2????0.2

注：在本題中需要注意的是，

例1 1?設(shè)隨機(jī)變量均勻分布），求

（1）隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)，

?(2)??隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)。

分析：這是求連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布，而且給定的函數(shù)非嚴(yán)格單調(diào)的，應(yīng)先求分布函數(shù)，然后對(duì)分布函數(shù)求導(dǎo)數(shù)。

解：由條件知隨機(jī)變量的概率密度為，

（1）的分布函數(shù)，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，?當(dāng)時(shí)，有

=，

所以??

（2）的分布函數(shù)，顯然，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有

=，

所以??。

例12??如果在時(shí)間（分鐘）內(nèi)，通過(guò)某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與成正比的泊松分布，已知在一分鐘內(nèi)沒(méi)有汽車通過(guò)的概率為，求在兩分鐘內(nèi)多于一輛汽車通過(guò)的概率。

分析：從題意可以看出，須先求出參數(shù)，然后再根據(jù)分布律求概率。

解：用隨機(jī)變量表示在時(shí)間內(nèi)通過(guò)某交叉路口的汽車數(shù)，則

??

當(dāng)時(shí)，所以，從而當(dāng)時(shí)，

。

?????例13??某電池的壽命的正態(tài)分布，求，使得壽命在之間的概率不小于。

分析：將正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，然后查表計(jì)算。

解：=

，即，查表得，，

即。

例14?設(shè)，求

（1）的概率密度函數(shù)，

（2）的概率密度函數(shù)。

分析：本題是連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布，而且給出的函數(shù)單調(diào)增，所以代入公式計(jì)算即可。

解：

（1）的反函數(shù)為，所以根據(jù)公式

??，

其中=得

???。

（2）的反函數(shù)為，所以有

??=?，

。

?

?

from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap2.htm

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第二章 随机变量及其分布的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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