概率统计：第三章 多维随机变量及其分布
第三章????多維隨機(jī)變量及其分布
內(nèi)容提要：
一、?二維隨機(jī)變量
1、二維隨機(jī)變量的定義：設(shè)E是一個隨機(jī)試驗，它的樣本空間是，?是定義在S上的隨機(jī)變量，則叫做二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。
2、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的定義：設(shè)是二維隨機(jī)變量，對于任意實數(shù)，二元函數(shù)：
稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，或稱為二維隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布數(shù).
3、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì)：
(1)?是變量的單調(diào)非降函數(shù).
（2），且對于任意固定的對于任意固定的，，.
(3)?關(guān)于變量和的分別右連續(xù)
（4）對于任意有
需要注意的是：只要滿足這四條的二元函數(shù)一定是分布函數(shù)。
4、設(shè)二維隨機(jī)變量的全部可能取到得值是有限對或無限可列對記則稱為二維離散型隨機(jī)變量的分布律，或稱為隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律。
二維離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：
5、對于二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)的可積函數(shù)使對于任意實數(shù)有
則稱是連續(xù)的二維隨機(jī)變量，函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的概率密度，或稱為隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。
6、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的性質(zhì)：
（1)?；??（2）；
(3)?設(shè)是面上的區(qū)域，點落內(nèi)的概率為
；
（4）若在連續(xù)，則????????。
注意：類似二維隨機(jī)變量，我們可以定義多維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)，并討論分布函數(shù)的性質(zhì)。
二、條件分布和邊緣分布
???1、二維隨機(jī)變量作為一個整體，具有分布函數(shù)，而X和Y作為隨機(jī)變量，分布函數(shù)分別記為和，并依次稱為二維隨機(jī)變量關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)，并且。
（1）二維離散型隨機(jī)變量，分布律，則Ｘ和Ｙ的分布律分別為
和分別稱為關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律．
對固定的，若則稱
為在條件下隨機(jī)變量的條件分布律。
對固定的，若則稱
為在條件下隨機(jī)變量的條件分布律。
（2）二維連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度為，則和的概率密度分別為
和分別稱為關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度．
對固定的，若則稱
為在條件下隨機(jī)變量的條件概率密度。
為在條件下隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)。
對固定的，若則稱
為在條件下隨機(jī)變量的條件概率密度。
為在條件下隨機(jī)變量的條件分布函數(shù)。
注意：關(guān)于聯(lián)合分布函數(shù)，邊緣分布，條件分布的概念可以類似推廣到維隨機(jī)變量上。
三、隨機(jī)變量的獨立性
1、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，邊緣分布函數(shù)分別為和，若對于任意實數(shù)，有
則稱隨機(jī)變量與稱是相互獨立的。
當(dāng)是離散型隨機(jī)變量時，與相互獨立的充要條件是對于的所有可能取值有
當(dāng)是連續(xù)型隨機(jī)變量時，與相互獨立的充要條件是等式
幾乎處處成立。
注：所謂“幾乎處處成立”是指平面上除去面積為零的以外，處處成立。
2、設(shè)是維隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為
其中為任意實數(shù)。
若維隨機(jī)變量的分布函數(shù)是已知，則的維邊緣分布函數(shù)就隨之確定。例如維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為
????若是維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度，則的維邊緣概率密度就隨之確定。例如維隨機(jī)變量的概率密度為
若對于任意有
則稱是相互獨立的。
若對于任意；有
則稱與相互獨立。
若與相互獨立，則與相互獨立，其中是連續(xù)函數(shù)。
四、多個隨機(jī)變量的函數(shù)的分布
1、設(shè)是離散型隨機(jī)變量，分布律為
，
則的分布律為
設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為,的分布函數(shù)為
2、設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為,的分布函數(shù)為
特別地,當(dāng)和相互獨立,?分布密度分別為和,的分布函數(shù)為
可以得到以下結(jié)論:
若,且相互獨立,則
若,且相互獨立,則
3、設(shè)離散型隨機(jī)變量，和相互獨立,?分布律分別為和?,則的分布律為
4、設(shè)是個相互獨立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為，記，?，則的分布函數(shù)為
的分布函數(shù)為
特別地，當(dāng)具有相同的分布函數(shù)時有，
典型例題分析
例1、?設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)為
其中，則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布，記為。
則的邊緣分布和條件分布都是正態(tài)分布，且，
。
對于給定的實數(shù)在下的條件分布為
于給定的實數(shù)在下的條件分布為
解：具有概率密度
因為所以，
即。
同理
即。
對于給定的實數(shù)在下的條件概率密度函數(shù)為
即????
對于給定的實數(shù)在下的條件概率密度函數(shù)為
即????
所以，二維正態(tài)變量的邊緣分布和條件分布都是正態(tài)分布。
例2、?設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度為
（1）求，并判定隨機(jī)變量是否相互獨立；
(2)求的概率密度函數(shù).
解： （1）
同理
由于
隨機(jī)變量不相互獨立。
（2）的概率密度函數(shù)為
例3、?設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度
求的概率密度函數(shù).
解：設(shè)的分布函數(shù)為，
則當(dāng)時，；
當(dāng)時，
所以的概率密度函數(shù)
例4、設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，具有相同的概率密度
求的概率密度函數(shù).
解：????
的分布函數(shù)為
所以的概率密度函數(shù)為
的分布函數(shù)為
所以的概率密度函數(shù)為
例5、若,且相互獨立,則
證明：
所以。
由于,且相互獨立,
下面我們用數(shù)學(xué)歸納法，證明?。
當(dāng)結(jié)論成立。假設(shè)有，。
由于相互獨立,則相互獨立,且，，所以有
。
例6、隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為
證明和不相互獨立，和相互獨立.
解：
同理
由于，
所以和不相互獨立。
當(dāng)時，
當(dāng)時，
；
同理，當(dāng)時，；
顯然時，；
當(dāng)時，；
即?
又
同理
所以，任意對于實數(shù)，有，于是和相互獨立。
?
自測題
一、填空題（每空3分，共21分）
(1)隨機(jī)變量和相互獨立，且，則隨機(jī)變量的分布律為
(2)設(shè)和是兩個隨機(jī)變量，，，則．
（3）已知隨機(jī)變量具有概率密度
則?????????，的邊緣密度函數(shù)．
（4）已知隨機(jī)變量具有概率密度
則?????????，＝．
（5）設(shè)相互獨立，且，
則．
二.（9分）?設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度為
求的概率密度函數(shù).
三（10分）．隨機(jī)變量和相互獨立，它們的概率密度函數(shù)分別為
求的概率密度函數(shù).
四、（10分）設(shè)隨機(jī)變量和相互獨立，?，求
五、（10分）設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度為
（1）???????求邊緣概率密度函數(shù)；??（2）判定隨機(jī)變量是否相互獨立；
(3)?求的條件概率密度函數(shù).
六、（10分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，具有相同的概率密度
求的概率密度函數(shù).
七、（10分）隨機(jī)變量和相互獨立，它們的概率密度函數(shù)分別為
求的概率密度函數(shù)。
八、（10分）設(shè)隨機(jī)變量相互獨立，具有相同的概率密度
求的概率密度函數(shù).
九、（10分） 若,且相互獨立,則
?
（四）自測題參考答案
一、（1）;????(2)0.8;
(3),?)；????(4)?；
(5)
二、?????三、
四、
五、（1）
（2）不相互獨立； （3）
（2）???????
六、
七、????????????
八、
九、（略）
from:?http://lxy.cumtb.edu.cn/gailvtongjidaoxue/chap3.htm
總結(jié)
以上是生活随笔為你收集整理的概率统计：第三章 多维随机变量及其分布的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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