高等数学：第二章 导数与微分（2）初等函数 高级导数 隐函数 参数函数
§2.4??初等函數的求導問題
基本初等函數的導數公式已經有了，而函數的四則運算法則、復合函數求導的鎖鏈規則也推導出來了。因此，我們可以說：一切初等函數的求導問題業已完全解決了！剩下的就靠我們勤加練習，熟能生巧
下面，我們做一次課堂練習，并用mathematica來加以檢驗。
§2.5??高階導數
我們知道，變速直線運動的速度是位置函數對時間的導數，即?或?。
而加速度??又是速度??對時間??的導數，即
?或?
這種導(?函?)數的導數?或?叫做對的二階導數，記作
???或??。
一、高階導數的定義
相應地，把的導數?叫做函數的一階導數。
類似地， 二階導數的導數，叫做三階導數，三階導數的導數叫做四階導數，…，一般地，階導數的導數叫做??階導數，分別記作
或?????。
函數具有階導數，稱函數為階可導的；如果函數在點處具有階導數，那未在點處的某一鄰域內必具有一切低于階的導數。
二、幾個基本的高階導數公式
【公式1】
證明：記???
?，?， … ，
一般地???
?
【特款】當??時，
【公式2】?
證明： 記?
一般地有
【特款】
證明：
利用上面得到的階導數公式有
【公式3】
?證明：?
， 一般地有：
【特款】當?(?為正整數?)?時， 有
?
【公式4】????(為實數?)
證明：?記?
一般地， 有
這一公式的證明與中學的二項展開公式的證明完全類似，同學們可與之對應起來看。
證明：當時，(1)式顯然成立。
假設當時，(1)式仍然成立，即：
于是有?
三、求函數高階導數舉例
【例1】求函數??的?階導數。
解：?
當??時， 有
【例2】設， 求?。
解：利用萊布尼茲公式，有
§2.6??隱函數的導數，由參數方程所確定的函數的導數
一、隱函數的導數
1、顯函數的概念
函數表示兩個變量和之間的對應關系，其特點是：等號左端是因變量，而右端是含有自變量的表達式。用這種方式表示的函數叫做顯函數。
2、隱函數的概念
在二元方程中，當取區間內的任一值時，相應地總有滿足該方程的唯一的值存在，?那末稱方程?在區間內確定了一個隱函數。
例如，?在??內確定了一個隱函數。
把一個隱函數化成顯函數，叫做隱函數的顯化。
例如，可將上述方程中的解出來，得，將隱函數化成了顯函數。
一般來說，將隱函數顯化是有一定困難的，有時甚至是不可能的。
例如，二元方程?，對于區間內任意取定的值，上式成為一個以為未知數的五次方程， 據代數理論，該方程至少有一個實根， 故方程在內確定了一個隱函數，但這個函數卻很難顯化出來。
例如，在時，方程變為???，可求得?；
當時，方程變為?，若記
計算得到???????
據零點定理，在(3，4)內有一零點，利用兩分法可求得
。
既然二元方程可確定一個一元(隱)函數，隱函數導數又該如何求呢?
如果能將此隱函數顯化，求導自然不成問題。如果隱函數不能顯化，有沒有直接地求導方法呢?
有的，下面用一個例子來介紹這一方法。
3、隱函數的直接求導法
左邊的導數為
右邊的導數為???????
這兩個導數應相等，于是有??????
解出，得????
【例2】求橢圓在點處的切線方程。
解：方程兩邊對求導數， 注意到是的隱函數， 有
，??????
將代入上式得：
切線方程為???????
【例3】求由方程所確定的隱函數的二階導數。
【解法1】
上式兩邊再對求導， 注意到仍是的函數， 有
?=?
?
【解法2】對??兩邊關于求導， 注意到和?仍是的函數， 有
4、對數求導法
先對兩邊取對數，然后對方程兩邊關于求導，最后解出。
【例4】求的導數。
解：
兩邊對求導， 注意到是的函數
【例5】求的導數。
解：
二、由參數方程所確定的函數的導數
我們知道，函數表示半徑為1的上半圓周。若令，則?，故
參數方程?也表示此半圓周。
反過來說， 此參數方程也確定了一個與之間的函數關系?。
一般地，參數方程??確定了與之間的函數關系， 稱此函數為由參數方程(1)所確定的函數。
如何求由參數方程(1)所確定的函數導數??一個直接的方法是， 從(1)中消去參數， 將(1)化成與之間的函數關系， 然后求其導數。 但是， 如果從(1)式中消去有困難， 需要尋求一種直接由參數方程(1)求的方法。
對于參數方程?????
可以想象：由函數求出其反函數， 將此反函數代入，得到了復合函數?。
于是， 可運用復合函數與反函數求導法， 進行如下求導。
?????????????????????(2)
?或???????????
(2)式便是我們希望尋找的求導公式，當然，它的成立是需要一些條件：
【1】函數有單調連續反函數；
【2】函數?、?可導， 且?。
對(2)關于再求導，可得到二階導數。只要求導時別忘了仍是的函數。
??????????????????(3)
書上給出了這一公式，要準確而長久地記住它，并不容易。解題時，應少套這一公式，多摸仿這一公式的推導過程。
【例6】 求參數方程??的二階導數。
解：?
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總結
以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第二章 导数与微分（2）初等函数 高级导数 隐函数 参数函数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。
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