§2.7??函數的微分

一、由一個例子引入微分概念

【引例】一塊正方形金屬薄片受溫度變化影響，其邊長由變到，試給出：

1、此薄片的面積的改變值。

2、用計算機摸擬邊長改變量與面積改變量的對應關系

正方形的面積計算公式?，是邊長。

當由變化到時， 正方形面積的增量為

這就是薄片面積的改變量。它由兩部分構成：

(1)、的線性部分

(2)、的高階無窮小部分?(當時)

直觀上， 可以這樣解釋增量：

相當小時，主要取決于第一部分，第二部分對它的影響相對較小，可以忽略不計即：

微分定義

設函數在某區間上有定義，及在此區間內，若函數增量

可表示成形式???????????????????????????(1)

其中是不依賴于的常數， 而是比更高階的無窮小。

則稱函數在點是可微的，而叫做函數在點相應于自變量增量的微分，記作。亦即：。

二、函數可微的充要條件

【定理】函數在點可微的充要條件是函數在處可導。

當函數在處可微時， 其微分為?。

【證明】必要性

因為在處可微，則(1)式成立

即：

充分性

若函數在點可導， 則有

??????其中???

這里，數是與無關的常數，而是時的高階無窮小，故函數在處可微，且微分為?。

三、常用的結論與概念

1、若，當充分小時，有近似公式?。

證明 ：

即：??????故：???(?當??時?)

2、函數微分

函數在任意點的微分， 稱之為函數的微分，記作或。

即：

3、微商

對于函數，

按照微分的記法有?????

按照微分的定義有?????

這表明?????。

因此，可表示成另一種形式??

兩邊同除可得????????????????????????

亦即：函數微分與自變量微分之商等于函數的導數， 因此導數也叫做微商。

過去，我們認為符號是一個整體記號。現在，可以認為它是函數微分與自變量微分之商。

微商的概念與符號是德國數學家萊布尼茲創立的，而導數的概念與符號是由英國數學家牛頓創立的。他們各自沿著不同的途徑分別獨立地創立了微積分學說，且各自都有獨到之處。

牛頓從運動學的觀點出發，它給微積分的應用提供了廣泛的材料；萊布尼茲從幾何學的觀點出發，而他所創立的符號系統卻十分先進，既表達了概念，又便于運算。象數學軟件mathematica的符號演繹系統就采用了萊布尼茲的符號。

當然，牛頓、萊布尼茲二人所創立的微積分決不是我們今天的面貌，它極不嚴密。被戲稱為神秘的微積分學。但它的實際應用成就卻令人們歡欣鼓舞。例如，天文學上最偉大的成就之一：海王星的發現，就是數學家利用微積分計算出它的存在性與運動軌跡之后而被天文學家發現的。

馬克思也曾對微積分的理論作了研究，并設法使之嚴謹，這從馬克思留下的數學手稿中可以看出這一點。但是，由于沒有完整嚴格的極限理論，使人們對微積分學說一直爭論不休。直到數學家哥西與魏爾斯特拉斯的極限理論的誕生，才給微積分學奠定了堅實的理論基礎，使它得以蓬蓬勃勃的發展起來。

四、微分的幾何意義

?稱之為萊布尼茲微分三角形
表示自變量的增量
表示函數增量
表示函數的微分
的意義暫時還不知曉（它代表弧的微分）

五、基本初等函數的微分公式與微分的運算法則

由于函數的微分與導數是等價的，因此，函數的求導法則與求導公式，可以照搬到函數的微分。

這里，我們主要介紹復合函數的微分法則?——?一階微分的形式不變。

設，，則復合函數的導數為

它的微分為???????

而????????????

故????????????

當為另一個變量的函數，也就是中間變量時，成立，而當為自變量時，此式顯然成立。

這一性質被稱之為一階微分的形式不變性。它使求函數微分的過程單一，易于計算機來處理。這也正是萊布尼茲符號體系的優越性。

【例1】?， 求?

?解：

【例2】，求

解：

?

§2.8??微分在近似計算中的應用

一、幾個近似計算公式

設函數在處的導數，且充分小時，有

這里：，

故有如下近似公式

??????????????????????????????????????????????(1)

?????????????????????????????????(2)

?????????????????????????????????(3)

(1)、(2)、(3)式在近似計算中的作用：

若，容易計算時，那未

(1)式可用于近似計算函數在處的增量。

(2)式可用于近似計算函數在附近的函數值。

(3)式表明： 只要充分接近，函數可用線性函數

來替代。

用(2)、(3)式來作近似計算，關鍵是選擇點，的選取標準有兩條：

1、、易于計算。

2、?或??盡可能地小。

【例1】有一批半徑為1厘米的球， 為了提高球面光潔度，要鍍上一層銅，厚度定為0.01厘米，試估計每只球需用多少克銅(銅的比重是)?

解：鍍銅前的球半徑為=1 (厘米)

鍍銅后球的半徑的增量為?=0.01 (厘米)

而球的體積公式是 ，， 這里是球的半徑。

鍍銅層的體積為?

每只球的需銅量約為?。

【例2】求?的近似值

解：將化為弧度

這里取函數為?，，

由近似公式(2)計算函數??的近似值

注：值的計算可在MATLAB中鍵入表達式

sin(pi/6)+cos(pi/6)*(pi/360)

然后將結果粘貼到此。

二、幾個工程中常用的近似公式

在(3)式中，取時，形式變為??(充分小)

利用此式， 可以得到幾個工程中常用的近似計算公式。

???

這些公式的證明較容易，僅證第(5)式，其余的留給同學們自行驗證。

取，，

【例3】計算??的近似值。

解：?

由近似公式(1)有：

三、微分用于誤差估計

1、誤差估計中的幾個概念

設某個量的精確值為，它的近似值為，則稱為的絕對誤差。

而比值稱為的相對誤差。

一般說來，某個量的精確值往往是無法知道的，于是絕對誤差和相對誤差就無法求得。因此，在誤差估計中， 常常是確定誤差的范圍。

若?，則??稱為測量的絕對誤差限；

而比值??稱為測量的相對誤差限。

【例4】測得圓鋼截面的直徑，測量的絕對誤差限為
。若利用公式計算圓鋼的截面積，試估計面積
的誤差限。

解：將測量時所產生的誤差當作自變量的增量，

利用計算時的誤差可看作函數的對應增量，

當充分小時，可以用近似代替，

即?????

而的絕對誤差限為毫米，即：?

從而：?

故的絕對誤差限為

?

的相對誤差限為

2、誤差限的計算公式

仿上例，可給出利用測量值，按公式計算值時，其誤差限的確定公式。

設測量的誤差限為，即：?，當??時，

有????????，

的絕對誤差限為：???

的相對誤差限為：

from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第二章 导数与微分（3）函数微分 近似计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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