§3.4??函數(shù)的單調(diào)性

一、從幾何圖形上看函數(shù)的單調(diào)性

運行matlab程序gs0303.m，可得到函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)在上的圖象，從圖形上可以觀察到：

函數(shù)在上是單調(diào)減少，在上是單調(diào)增加；

其導(dǎo)函數(shù)在上小于零，在上大于零。

函數(shù)的單調(diào)性是否與導(dǎo)函數(shù)的符號有關(guān)呢?為此，我們進(jìn)一步地作圖，希望從中獲得更多的感性認(rèn)識。

函數(shù)在上單調(diào)增加(減少)，則它的圖形是一條沿軸正向上升(下降)的曲線， 曲線上各點處的切線之斜率均為正的(負(fù)的)，即：

??()

這表明：函數(shù)的單調(diào)性確實與其導(dǎo)數(shù)的符號有關(guān)，因此，可以利用導(dǎo)數(shù)的符號來判定函數(shù)的單調(diào)性。

二、函數(shù)單調(diào)性的判別法

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在上可導(dǎo)，，則

若在內(nèi)，則，從而?；

即：???函數(shù)在上單調(diào)增加；

若在內(nèi)，則，從而?，

即：???函數(shù)在上單調(diào)減少。

綜上討論， 我們有如下結(jié)論：

【函數(shù)單調(diào)性判別法】

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在上可導(dǎo)，

(1)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)增加；

(2)、若在內(nèi)， 則在上單調(diào)減少。

注明：

1、判別法中的閉區(qū)間若換成其它各種區(qū)間（包括無窮區(qū)間），結(jié)論仍成立。

2、以后把函數(shù)單調(diào)的區(qū)間稱之為函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

【例1】討論函數(shù)的單調(diào)性。

?解：函數(shù)的定義域為， 且

當(dāng)時，?， 故函數(shù)在上單調(diào)減少；

當(dāng)時，?， 故函數(shù)在上單調(diào)增加。

【例2】討論函數(shù)的單調(diào)性。

解：?函數(shù)的定義域為，

當(dāng)時，?，?，??故函數(shù)在上單減；

當(dāng)時，???，??，??故函數(shù)在上單增。

因此，可以通過求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)其符號不確定的點，將函數(shù)的定義域分劃成若干個部分區(qū)間，再判定函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)在這些部分區(qū)間上的符號，繼而可決定函數(shù)在這些部分區(qū)間上的單調(diào)性。

【例3】試確定函數(shù)??的單調(diào)區(qū)間。

解：?當(dāng)時，函數(shù)無定義， 故函數(shù)在處不可導(dǎo)；

當(dāng)時， 導(dǎo)函數(shù)為?

令?得：?

于是， 點將函數(shù)定義域(??)分劃成四個區(qū)間?、、、，函數(shù)在這四個區(qū)間上的單調(diào)性如下：

在上，?，???函數(shù)單增；

在???上，?，??函數(shù)單減；

在?????上，?，??函數(shù)單減；

在??上，??，??函數(shù)單增。

【例4】討論函數(shù)的單調(diào)性。

【結(jié)論】

一般地，如果在某區(qū)間上的有限個點處為零， 而在其余各點處均為正(或負(fù))時，那么在該區(qū)間上仍是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的。

利用函數(shù)的單調(diào)性可以證明較為復(fù)雜的函數(shù)不等式。

【例5】試證明：當(dāng)時， 有?

解：作輔助函數(shù)?，

，

，

當(dāng)時，???，??，

故??，

在上單調(diào)增加，從而有?，

而?，

于是?，在上也單調(diào)增加。

從而有?，

即?????。

該證明方法十分典型，對于一些較精細(xì)的函數(shù)不等式的證明可借助些法。

§3.5??函數(shù)的極值及其求法

一、極值的定義

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，點是內(nèi)的一點。若存在點的一個鄰域，對于該鄰域內(nèi)任何異于的點，不等式

???()

成立，稱是函數(shù)的一個極大值(極小值)；稱點是函數(shù)?的極大值點(極小值點)。

函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值；

使函數(shù)取得極值的點統(tǒng)稱為極值點。

關(guān)于函數(shù)的極值，如下幾點注記是十分重要的。

1、函數(shù)的極值概念是一個局部概念。

如果是函數(shù)的一個極大值，那只是對的一個局部范圍來說是的一個最大值。但對于整個函數(shù)的定義域來說，就不一定是最大值了。

對于極小值也是類似的。

2、極小值有可能較極大值更大。

如圖：?(?是極大值， 而是極小值?)

從圖中可看出，在函數(shù)取得極值之處，曲線具有水平的切線。換句話說：函數(shù)在取得極值的點處，其導(dǎo)數(shù)值為零。

二、函數(shù)取得極值的幾個重要定理

【定理一】(可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件)

設(shè)函數(shù)在點處具有導(dǎo)數(shù)，且在處取得極值，則。

證明：不妨設(shè)是極大值?(極小值的情形也可類似地證明)

據(jù)極大值定義， 在的某個鄰域內(nèi)， 對一切異于的點，

均有??????????成立。

當(dāng)時，，

因此?；

當(dāng)時，，

因此?，

從而???。

使導(dǎo)數(shù)為零的點(即方程的實根)稱為函數(shù)的駐點。

定理一的結(jié)論可換成等價的說法：

可導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是為駐點。

反過來，函數(shù)的駐點不一定就是函數(shù)的極值點,它最多只是可能的極值點。

【定理二】(?函數(shù)取得極值的第一充分條件?)

設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且

(1)、當(dāng)取左側(cè)的值時，恒為正；當(dāng)取右側(cè)的值時，恒為負(fù)，那么，在處取得極大值；

(2)、當(dāng)取左側(cè)的值時，恒為負(fù)；當(dāng)取右側(cè)的值時，恒為正，那么，在處取得極小值；

(3)、當(dāng)取左右兩側(cè)的值時，恒正或恒負(fù)，那么，在處沒有極值。

下面，我們給出第一充分條件的記憶方法：

一般?+?號往往表示得分，盈利等吉利的事情，蘊含有增加的意思，我們可解釋?+?號表示走好運，走上坡路。

而?-?號又往往表示扣分、虧損等不吉利的事情，它含有減少的意思，我們可解釋?-?號為走背運，走下坡路。

當(dāng)在附近由左變到右時，符號由正變到負(fù)()，則曲線是先走上坡路，再走下坡路，呈??型，故是極大值；

當(dāng)在附近由左變到右時，符號由負(fù)變到正()，則曲線是先走下坡路，再走上坡路，呈??型，故是極小值。

【例1】求函數(shù)的極值。

解：函數(shù)的定義域為，且

，

令?， 可得到函數(shù)的可能極值點(駐點)：。

當(dāng)?時，??，

當(dāng)????時，??，

故?是函數(shù)的極大值點，且函數(shù)的極大值為

。

當(dāng)??時，，

故??是函數(shù)的極小值點，且函數(shù)的極小值為

。

【定理三】(函數(shù)取得極值的第二充分條件)

設(shè)函數(shù)在點處具有二階導(dǎo)數(shù)， 且、，??則

(1)、當(dāng)時， 函數(shù)在處取得極大值；

(2)、當(dāng)時， 函數(shù)在處取得極小值。

下面對情形(1)給出證明， 情形(2)的證明完全類似。

由于??，有

據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)， 當(dāng)在的一個充分小的鄰域內(nèi)且時，

而??，即

于是，對于這鄰域內(nèi)不同于的來說，?與的符號相反，

即：當(dāng)，?時，??，

當(dāng)，?時，??，

據(jù)定理二知：在點處取極大值。

對極值判定的第二充分條件來說，如下注記是重要的。

1、對于二階可導(dǎo)的函數(shù)，它在駐點的二階導(dǎo)數(shù)的符號可判定函數(shù)值為何種極值。

如果，則第二充分條件失效。請看下述反例：

這三個函數(shù)在原點處的一階、二階導(dǎo)數(shù)均為零，它們分別有極小值、極大值，無極值。

2、極值判定的第二充分條件的記憶方法

【例2】求函數(shù)的極值。

解：，

令， 得駐點???????

，

， 函數(shù)有極小值?

而?，?用第二充分條件無法進(jìn)行判定， 考察函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)在的左右兩側(cè)鄰近值的符號。

當(dāng)取的左右側(cè)鄰近的值時，；

當(dāng)取?1?的左右側(cè)鄰近的值時，，

故函數(shù)在處沒有極值。

三、函數(shù)在不可導(dǎo)點處的極值判定

前面的討論中， 都假定了函數(shù)在所討論的區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的這一條件。如果函數(shù)在某些點處的導(dǎo)數(shù)不存在， 函數(shù)在這些點處有可能取得極值嗎?

換句話說，使函數(shù)不可導(dǎo)的點，是可疑的極值點嗎?

【例4】討論函數(shù)的極值。

這兩例所反映的事實說明：

函數(shù)的不可導(dǎo)點，也是函數(shù)可疑的極值點，在討論函數(shù)的極值時，應(yīng)予以考慮。

六、結(jié)論

求函數(shù)在定義區(qū)間上的極值，先找出函數(shù)在該區(qū)間上的可疑極值點(使函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點)，再運用極值判定的第一或第二充分條件，對這些可疑極值點是否確實為極值點進(jìn)行判定。

§3.6??最小值與最大值問題

一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值

綜上討論，函數(shù)取得最值的點只能是區(qū)間的端點或開區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)為零、導(dǎo)數(shù)不存在的點。計算函數(shù)在這些點處的函數(shù)值，比較它們的大小就可得到函數(shù)的最值。

【例1】求函數(shù)在上的最值。

二、非閉區(qū)間上定義的函數(shù)最值

對于非閉區(qū)間上定義的函數(shù)，它有可能存在著最值，也有可能不存在著最值，這就給求函數(shù)最值帶來了困難。

探討函數(shù)最值，可先求函數(shù)的可疑極值點(駐點，導(dǎo)數(shù)不存在的點)，并討論由這些點所形成的區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的性態(tài)來判斷函數(shù)在這些可疑點處是否有最值。

下面以例子來說明具體求法。

【例2】求函數(shù)?在定義區(qū)間?上的最值。

【例3】求函數(shù)在?的最值。

三、實用最值應(yīng)用問題

利用求函數(shù)的最值來處理實際問題，有如下幾個步驟：

1、據(jù)實際問題列出函數(shù)表達(dá)式及它的定義區(qū)間；

2、求出該函數(shù)在定義區(qū)間上的可能極值點(駐點和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點)；

3、討論函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)在可能極值點處是否取得最值。

【例4】試求單位球的內(nèi)接圓錐體體積最大者的高，并求此體積的最大值。

解：設(shè)球心到錐底面的垂線長為，則圓錐的高為，圓錐面底面半徑為，圓錐體積為

由?,得駐點，

在上，，函數(shù)單增；

在上，，函數(shù)單減，

故是函數(shù)的最大值點，是函數(shù)的最大值。

于是最大的體積為，此時的高為。

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（2）函数单调性 极值 最大值 最小值的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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