§3.7??曲線的凹凸與拐點(diǎn)

一、引例

研究了函數(shù)的單調(diào)性、極性，對(duì)于函數(shù)的性態(tài)有了更進(jìn)一步的了解。為了描繪出函數(shù)的圖象的主要特征，僅憑此兩點(diǎn)還是不夠的。

【引例】作函數(shù)與在??上的圖象。

曲線的凹凸的特性可由下面的幾何圖形所反映出的事實(shí)看出：

二、凹凸的定義

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 如果對(duì)上任意、兩點(diǎn)， 恒有

則稱曲線在上的是凹的(或凹弧)，也稱函數(shù)是上的凹函數(shù)。

如果恒有

則稱曲線在上是凸的(或凸弧)，也稱函數(shù)是上的凸函數(shù)。

函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)又能確定函數(shù)的何種屬性呢?一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子，給我們以啟迪。

拋物線的二階導(dǎo)數(shù)為，

若， 即，拋物線是開口向上的凹弧；

若， 即，拋物線是開口向下的凸弧。

三、凹凸性的判別法

【定理】

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)， 在內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù)，那未

(1)、若在內(nèi)，?，則在上的圖形是凹的；

(2)、若在內(nèi)，?，則在上的圖形是凸的。

證明(僅證(2))：

， 且?，??記??，

，

由拉氏中值公式有

兩式相減得：

對(duì)在區(qū)間上再一次地使用拉氏中值公式有：

其中：?。

依定理情形(2)的假設(shè)條件有， 從而

，即

，亦即

所以， 函數(shù)在上是凸的。

對(duì)此定理，我們給出兩點(diǎn)注釋。

1、定理的記憶方法

2、函數(shù)在任意區(qū)間上凹凸性的定義與判定與之相類似。

四、曲線的拐點(diǎn)

業(yè)已知道，函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)，是函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，且函數(shù)在它左右兩側(cè)的單調(diào)性往往是相反的。

能否猜想：函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)，它所對(duì)應(yīng)的曲線上的點(diǎn)是曲線弧的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)。

【拐點(diǎn)定義】連續(xù)曲線上的凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為該曲線的拐點(diǎn)。

依拐點(diǎn)的定義， 不難給出確定曲線拐點(diǎn)的方法：

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)

1、求出在上為零或不存在的點(diǎn)；

2、這些點(diǎn)將區(qū)間劃分成若干個(gè)部分區(qū)間，然后考察在每個(gè)部分區(qū)間上的符號(hào)，確定曲線的凹凸性；

3、若在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相反，則此分界點(diǎn)是拐點(diǎn)；若在兩個(gè)相鄰的部分區(qū)間上，曲線的凹凸性相同，則此分界點(diǎn)不是拐點(diǎn)。

【例1】求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)。

解：函數(shù)的定義區(qū)間為?，，

，令??得：。

將定義區(qū)間分為三個(gè)區(qū)間

當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)也是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)。

【例2】討論曲線的凹凸性與拐點(diǎn)。

§3.9??曲率

一、弧微分

1、有向曲線與有向線段的概念

給定曲線，取曲線上一固定點(diǎn)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn)。規(guī)定：曲線的正向?yàn)橐?sub>增大的方向。

對(duì)曲線上任一點(diǎn)，弧段是有向弧段,它的值規(guī)定如下：

(1)、的絕對(duì)值等于該弧段的長(zhǎng)度。

(2)、當(dāng)有向弧段的方向與曲線正向一致時(shí)，,相反時(shí)?。

有向弧段以后簡(jiǎn)稱弧。顯然,弧是的函數(shù),即，而且是的單調(diào)增加函數(shù)。

【例1】求曲線的弧。

解：選擇，對(duì)其上任一點(diǎn)，弧的長(zhǎng)度是?。依弧的規(guī)定有：

若在的右側(cè)，即，則，應(yīng)取?；

若在的左側(cè)，即，則，應(yīng)取?。

總之，，顯然弧確為的單增函數(shù)。

2、弧的導(dǎo)數(shù)與微分

?設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在上連續(xù)，又設(shè)，?為內(nèi)兩點(diǎn)，在曲線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為與，取為曲線上的一固定點(diǎn)為。再設(shè)對(duì)應(yīng)于的增量，弧的增量為,有

令，則，，,?

故?????

因是的單調(diào)函數(shù)，根號(hào)前應(yīng)取正號(hào)，于是

???或??????

進(jìn)一步地改寫可得弧微分公式

所代表的幾何意義如下圖所示：

二、曲率及其計(jì)算公式

1、曲率的概念

直覺與經(jīng)驗(yàn)告訴我們：直線沒有彎曲，圓周上每一處的彎曲程度是相同的，半徑較小的圓彎曲得較半徑較大的圓要厲害些，拋物線在頂點(diǎn)附近彎曲得比其他位置厲害些。

何為彎曲得厲害些??即：?用怎樣的數(shù)學(xué)量來(lái)刻劃曲線彎曲的程度呢??讓我們先弄清曲線的彎曲與哪些因素有關(guān)。

下面，我們給出刻劃曲線彎曲程度的數(shù)學(xué)量 －?曲率的定義。

設(shè)曲線具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的切線，在上選定一點(diǎn)作為度量弧的基點(diǎn)。

設(shè)曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于弧，切線的傾角為，曲線上的另一點(diǎn)對(duì)應(yīng)于弧，切線的傾角為。那么，弧段的長(zhǎng)度為?，當(dāng)切點(diǎn)從移到點(diǎn)時(shí)，切線轉(zhuǎn)過的角度為?。

比值表示單位弧段上的切線轉(zhuǎn)角，刻劃了弧的平均彎曲程度。稱它為弧段的平均曲率。記作?。

當(dāng)時(shí)(即：)，上述平均曲率的極限就稱著曲線在點(diǎn)處的曲率，記作。

?????????????????????????????????????????????(1)

當(dāng)存在時(shí)，有?。

由上述定義知，曲率是一個(gè)局部概念，談曲線的彎曲應(yīng)該具體地指出是曲線在哪一點(diǎn)處的彎曲，這樣才準(zhǔn)確。

2、曲率的計(jì)算

【例2】求半徑為的圓上任一點(diǎn)處的曲率。

圓周上的任一點(diǎn)處的曲率均為，這表明：圓周的彎曲程度處處一樣， 且半徑較小的圓周彎曲得更厲害些。

由例一可發(fā)現(xiàn)，利用曲率定義來(lái)計(jì)算曲率十分不便。下面，我們來(lái)推導(dǎo)曲線的曲率計(jì)算公式。

設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程為?，且具有二階導(dǎo)數(shù)。

（是曲線的切線與??軸正向夾角）

兩邊對(duì)??求導(dǎo)得?????

，???

又??

據(jù)曲率計(jì)算公式(1)有：

????????????????????????????????????(2)

若曲線為直線，因，那么?。故直線的曲率為零。亦即：直線無(wú)彎曲。這與我們的常識(shí)是一致的。

假設(shè)曲線方程是參數(shù)方程????給出

則(2)式可相應(yīng)地改成形式：

，，

?????????????????????????????(3)

【例3】求拋物線上任一點(diǎn)的曲率。

運(yùn)行程序gs0304.m,可獲得拋物線與其曲率函數(shù)的圖象。

【例4】求立方拋物線上任一點(diǎn)的曲率。

運(yùn)行程序gs0305.m,可得立方拋物線與它的曲率函數(shù)的圖象。

三、曲率圓與曲率半徑

據(jù)上述定義有：

1、曲率與曲率半徑的關(guān)系為：

2、曲線與它的曲率圓在同一點(diǎn)處有相同的切線，曲率，凹向。因此，可用圓率圓在點(diǎn)處的一段圓弧來(lái)近似地替代曲線弧。

下面推導(dǎo)曲率圓中心的坐標(biāo)計(jì)算公式。

設(shè)的坐標(biāo)為，曲線在點(diǎn)處的曲率圓方程為

其中：是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)， 而?????????(1)

因點(diǎn)在曲率圓上，故

?????????????????????????????(2)

又曲線在點(diǎn)處的切線與曲率圓的半徑垂直，故有

，

亦即：???????????????????????????????(3)

???????????????????????????(4)

由式(2)與式(4)消去得：

注意到：當(dāng)，即曲線為凹弧時(shí)，；

當(dāng)，即曲線為凸弧時(shí)，，

總之與異號(hào)，因此，上式兩邊開方應(yīng)取“?-?”號(hào)，有

將此式代入(3)式，有??，從而得

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總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第三章 微分中值定理与导数的应用（3）曲线的凹凸 拐点 曲率的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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