§6.4??平面曲線的弧長(zhǎng)

一、直角坐標(biāo)情形

設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有一階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算曲線的長(zhǎng)度。

取為積分變量，則,在上任取一小區(qū)間，那么這一小區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線弧段的長(zhǎng)度可以用它的弧微分來(lái)近似。

于是，弧長(zhǎng)元素為

弧長(zhǎng)為

【例1】計(jì)算曲線的弧長(zhǎng)。

解：

二、參數(shù)方程的情形

若曲線由參數(shù)方程

給出，計(jì)算它的弧長(zhǎng)時(shí)，只需要將弧微分寫成

的形式，從而有

【例2】計(jì)算半徑為的圓周長(zhǎng)度。

解： 圓的參數(shù)方程為

????

三、極坐標(biāo)情形

若曲線由極坐標(biāo)方程

給出，要導(dǎo)出它的弧長(zhǎng)計(jì)算公式，只需要將極坐標(biāo)方程化成參數(shù)方程，再利用參數(shù)方程下的弧長(zhǎng)計(jì)算公式即可。

曲線的參數(shù)方程為

此時(shí)變成了參數(shù)，且弧長(zhǎng)元素為

從而有

【例3】計(jì)算心臟線的弧長(zhǎng)。

解：

?

?

§6.5??功、水壓力和引力

一、變力沿直線所作的功

【例1】半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為?1?，現(xiàn)將這球從水中取出，需作多少功?

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系

將高為的球缺取出水面，所需的力為：

其中：是球的重力，表示將球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。

由球缺公式??有

從而????

十分明顯，表示取出水面的球缺的重力。即：僅有重力作功，而浮力并未作功，且這是一個(gè)變力。從水中將球取出所作的功等于變力從改變至時(shí)所作的功。

取為積分變量，則，對(duì)于上的任一小區(qū)間，變力從到這段距離內(nèi)所作的功。

這就是功元素，并且功為

?

?

另解??建立如圖所示的坐標(biāo)系

取為積分變量， 則?，

在??上任取一個(gè)小區(qū)間，則此小區(qū)間對(duì)應(yīng)于球體上的一塊小薄片，此薄片的體積為

由于球的比重為?1?， 故此薄片質(zhì)量約為

將此薄片取出水面所作的功應(yīng)等于克服薄片重力所作的功，而將此薄片取出水面需移動(dòng)距離為?。

故功元素為??

二、水壓力

在水深為處的壓強(qiáng)為，這里是水的比重。

如果有一面積為的平板水平地放置在水深處，那未，平板一側(cè)所受的水壓力為

?

若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之處的壓強(qiáng)不相等。此時(shí)，平板一側(cè)所受的水壓力就必須使用定積分來(lái)計(jì)算。

?

【例2】邊長(zhǎng)為和的矩形薄板，與水面成角斜沉于水中，長(zhǎng)邊平行于水面而位于水深處。設(shè)，水的比重為，試求薄板所受的水壓力。

解：由于薄板與水面成角斜放置于水中，則它位于水中最深的位置是

取為積分變量， 則???(注意：?表示水深)

在中任取一小區(qū)間，與此小區(qū)間相對(duì)應(yīng)的薄板上一個(gè)小窄條形的面積是??

它所承受的水壓力約為?

于是，壓力元素為

這一結(jié)果的實(shí)際意義十分明顯

正好是薄板水平放置在深度為的水中時(shí)所受到的壓力；

而是將薄板斜放置所產(chǎn)生的壓力，它相當(dāng)于將薄板水平放置在深度為處所受的水壓力。

三、引力

由物理學(xué)知道：質(zhì)量為、，相距為的兩質(zhì)點(diǎn)間的引力大小為

為引力系數(shù)。引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向。

如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，便不能簡(jiǎn)單地用上述公式來(lái)作計(jì)算了。

?

【例3】設(shè)有一半徑為， 中心角為的圓弧形細(xì)棒， 其線密度為常數(shù)， 在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)， 試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力。

解決這類問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，該圓弧的參方程為

在圓弧細(xì)棒上截取一小段，其長(zhǎng)度為，它的質(zhì)量為，到原點(diǎn)的距離為，其夾角為，它對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力的大小約為

在水平方向(即軸)上的分力的近似值為

而?

于是，我們得到了細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力在水平方向的分力的元素，

故??????

類似地??

因此，引力的大小為，而方向指向圓弧的中心。

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/}

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第六章 定积分的应用（2）平面曲线的弧长 做功 水压力 引力的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問(wèn)題。

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