§6.4??平面曲線的弧長

一、直角坐標情形

設函數在區間上具有一階連續的導數，計算曲線的長度。

取為積分變量，則,在上任取一小區間，那么這一小區間所對應的曲線弧段的長度可以用它的弧微分來近似。

于是，弧長元素為

弧長為

【例1】計算曲線的弧長。

解：

二、參數方程的情形

若曲線由參數方程

給出，計算它的弧長時，只需要將弧微分寫成

的形式，從而有

【例2】計算半徑為的圓周長度。

解： 圓的參數方程為

????

三、極坐標情形

若曲線由極坐標方程

給出，要導出它的弧長計算公式，只需要將極坐標方程化成參數方程，再利用參數方程下的弧長計算公式即可。

曲線的參數方程為

此時變成了參數，且弧長元素為

從而有

【例3】計算心臟線的弧長。

解：

?

?

§6.5??功、水壓力和引力

一、變力沿直線所作的功

【例1】半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切，球的比重為?1?，現將這球從水中取出，需作多少功?

解：建立如圖所示的坐標系

將高為的球缺取出水面，所需的力為：

其中：是球的重力，表示將球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺所受的浮力。

由球缺公式??有

從而????

十分明顯，表示取出水面的球缺的重力。即：僅有重力作功，而浮力并未作功，且這是一個變力。從水中將球取出所作的功等于變力從改變至時所作的功。

取為積分變量，則，對于上的任一小區間，變力從到這段距離內所作的功。

這就是功元素，并且功為

?

?

另解??建立如圖所示的坐標系

取為積分變量， 則?，

在??上任取一個小區間，則此小區間對應于球體上的一塊小薄片，此薄片的體積為

由于球的比重為?1?， 故此薄片質量約為

將此薄片取出水面所作的功應等于克服薄片重力所作的功，而將此薄片取出水面需移動距離為?。

故功元素為??

二、水壓力

在水深為處的壓強為，這里是水的比重。

如果有一面積為的平板水平地放置在水深處，那未，平板一側所受的水壓力為

?

若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之處的壓強不相等。此時，平板一側所受的水壓力就必須使用定積分來計算。

?

【例2】邊長為和的矩形薄板，與水面成角斜沉于水中，長邊平行于水面而位于水深處。設，水的比重為，試求薄板所受的水壓力。

解：由于薄板與水面成角斜放置于水中，則它位于水中最深的位置是

取為積分變量， 則???(注意：?表示水深)

在中任取一小區間，與此小區間相對應的薄板上一個小窄條形的面積是??

它所承受的水壓力約為?

于是，壓力元素為

這一結果的實際意義十分明顯

正好是薄板水平放置在深度為的水中時所受到的壓力；

而是將薄板斜放置所產生的壓力，它相當于將薄板水平放置在深度為處所受的水壓力。

三、引力

由物理學知道：質量為、，相距為的兩質點間的引力大小為

為引力系數。引力的方向沿著兩質點的連線方向。

如果要計算一根細棒對一個質點的引力，由于細棒上各點與該質點的距離是變化的，且各點對該質點的引力方向也是變化的，便不能簡單地用上述公式來作計算了。

?

【例3】設有一半徑為， 中心角為的圓弧形細棒， 其線密度為常數， 在圓心處有一質量為的質點， 試求這細棒對質點的引力。

解決這類問題，一般來說，應選擇一個適當的坐標系。

解：建立如圖所示的坐標系，質點位于坐標原點，該圓弧的參方程為

在圓弧細棒上截取一小段，其長度為，它的質量為，到原點的距離為，其夾角為，它對質點的引力的大小約為

在水平方向(即軸)上的分力的近似值為

而?

于是，我們得到了細棒對質點的引力在水平方向的分力的元素，

故??????

類似地??

因此，引力的大小為，而方向指向圓弧的中心。

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第六章 定积分的应用（2）平面曲线的弧长 做功 水压力 引力的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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