§7.1??空間直角坐標系

一、空間點的直角坐標

平面直角坐標系使我們建立了平面上的點與一對有序數組之間的一一對應關系，溝通了平面圖形與數的研究。

為了溝通空間圖形與數的研究， 我們用類似于平面解析幾何的方法，通過引進空間直角坐標系來實現。

1、空間直角坐標系

過空間一定點，作三條互相垂直的數軸，它們以為原點，且一般具有相同的長度單位，這三條軸分別叫軸(橫軸)、軸(縱軸)、軸(豎軸)， 且統稱為坐標軸。

通常把軸，軸配置在水平面上，而軸則是鉛垂線，它們的正方向要符合右手規則：

右手握住軸，當右手的四個指頭從軸的正向以角度轉向軸正向時，大拇指的指向就是軸正向。

三條坐標軸就組成了一個空間直角坐標系， 點叫做坐標原點。

注明：為使空間直角坐標系畫得更富于立體感，通常把軸與軸間的夾角畫成左右。當然，它們的實際夾角還是。

2、坐標面??卦限

三條坐標軸中的任意兩條可以確定一個平面，這樣定出的三個平面統稱為坐標面。

由軸與軸所決定的坐標面稱為面，另外還有面與面。

三個坐標面把空間分成了八個部分，這八個部分稱為卦限。

3、空間點的直角坐標系

取定空間直角坐標系之后，我們就可以建立起空間點與有序數組之間的對應關系。

設為空間的一已知點，過點分別作垂直于軸、軸、軸的三個平面，它們與軸、軸、軸的交點依次為，這三點在軸、軸、軸的坐標依次為，于是：空間點就唯一地確定了一個有序數組，這組數叫點的坐標。

依次稱，，為點的橫坐標、縱坐標和豎坐標，記為。

反過來，若已知一有序數組，我們可以在軸上取坐標為的點，在軸上取坐標為的點，在軸取坐標為的點，然后過、、分別作軸、軸、軸的垂直平面，這三個平面的交點就是以有序數組為坐標的空間點。

這樣，通過空間直角坐標系，我們建立了空間點和有序數組之間的一一對應關系。

注明：

空間點的位置可以由空間直角坐標系中的三個坐標唯一確定， 因此， 常稱我們生活的空間為三度空間或三維空間?”。?事實上，我們的生活空間應該是四度空間，應加上時間變量。即：，它表示在時刻所處的空間位置是。

二、空間兩點間的距離公式

設、為空間的兩點，則兩點間的距離為

證明：

過、各作三個分別垂直于三坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以為對角線的長方體，如圖所示

是直角三角形， 故

是直角三角形， 故

從而??

而????

故????

特別地，點與坐標原點的距離為

§7.2??向量、向量的加減法與向量的數乘

一、向量的概念

既有大小，又有方向的量稱之為向量。

數學上用一條有方向的線段(即有向線段)來表示向量。有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。

以為始點，為終點的有向線段所表示的向量記為。

有時也有粗體字母或一個上面加有箭頭的字母表示向量，如向量、、或?、、?等等。

向量的大小稱作向量的模。

向量與的模記作與。

模等于1的向量稱作單位向量。

模等于0的向量稱作零向量，并記作，并規定：零向量的方向為任意的。

在直角坐標系中，以坐標原點為始點，向一點引向量，這個向量稱作點對于原點??的向徑，常用表示。

實際問題中，有些向量與始點有關，而有些向量與始點無關，但一切向量的共性是：它們都有大小和方向。因此，在數學上我們只研究與始點無關的向量，并稱這種向量為自由向量，簡稱向量。

當遇到與始點有關的向量時(例如：質點運動的速度)，可在一般原則下作特殊處理。

定義兩向量、相等的意義如下：

若向量與向量的模相等，又互相平行，且指向一致，則稱向量與向量相等，并記作。

顯然，若，經過平行移動之后，與能完全重合在一起。

二、向量的加減法

據力學實驗的結果，兩個力的合力可根據平行四邊形法則求出。

我們對向量規定加法運算如下：

設、，以與為邊作一平行四邊形，取對角線向量，記，稱為與之和，并記作

這種用平行四邊形的對角線向量來規定兩個向量之和的方法稱作向量加法的平行四邊形法則。

如果向量與向量在同一直線上，那么，規定它們的和是這樣一個向量：

若與的指向相同時，和向量的方向與原來兩向量相同，其模等于兩向量的模之和。

若與的指向相反時，和向量的模等于兩向量的模之差，其方向與模值大的向量方向一致。

由于平行四邊形的對邊平行且相等，可以這樣來作出兩向量的和向量：

?作，以的終點為起點作，聯接得

。

該方法稱作向量加法的三角形法則。

向量加法的三角形法則的實質是：

將兩向量的首尾相聯，則一向量的首與另一向量的尾的連線就是兩向量的和向量。

據向量的加法的定義，可以證明向量加法具有下列運算規律：

1、交換律??

2、結合律??

與的模相同而方向相反的向量叫的負向量，記作。我們規定兩向量與的差為：。

特別地，

由三角形法則可看出：要從減去，只要把與長度相同而方向相反的向量加到向量上去。由平行四邊形法則，可如下作出向量。

?

三、向量與數量的乘法

設是一個數量，向量與的乘積規定如下：

1、當時，向量的方向與的方向相同，其模等于的倍，

即????；

2、當時，向量是零向量，即?；

3、當時，向量的方向與的方向相反，其模等于的倍，

即????。

特別地，取，則向量的模與的模相等，而方向相反，由負向量的定義知：?。

據向量與數量乘積的定義，可導出數乘向量運算符合下列運算規律：

1、結合律??

顯然，向量、、的方向是一致，

且??=??==?·

2、分配律

一個常用的結論：

若(?為數量?)，則向量與向量平行，記作；反之，若向量與向量平行，則?(?是數量)。

簡言之，。

設是非零向量，用表示與同方向的單位向量。

由于與同方向，從而與亦同方向，而且

。

即????。

我們規定：若，?。于是??。

這表明：一個非零向量除以它的模是一個與原向量同方向的單位向量。

請注意：向量之間并沒有定義除法運算，因此決不能將式子改寫成形式??。

十分顯然，這種錯誤是受實數運算法則的“慣性作用”所造成。

§7.3??向量的坐標

一、向量在軸上的投影與投影定理

1、空間兩向量的夾角

設有兩向量、交于點(若、不相交，可將其中一個向量平移使之相交)，將其中一向量繞點在兩向量所決定的平面內旋轉，使它的正方向與另一向量的正方向重合，這樣得到的旋轉角度(限定)稱為、間的夾角，記作。

若、平行，當它們指向相同時，規定它們之間的夾角為；當它們的指向相反時，規定它們的夾角為。

類似地，可規定向量與數軸間的夾角

將向量平行移動到與數軸相交，然后將向量繞交點在向量與數軸所決定的平面內旋轉， 使向量的正方向與數軸的正方向重合， 這樣得到的旋轉角度稱為向量與數軸的夾角。

2、空間點在軸上的投影

設已知點及軸，過點作軸的垂直平面，則平面與軸的交點叫做點在軸上的投影。

3、向量在軸上的投影

設向量的始點與終點在軸的投影分別為、， 那么軸上的有向線段的值叫做向量在軸上的投影， 記作?， 軸稱為投影軸。

這里，的值是這樣的一個數值。

(1)、即， 數的絕對值等于向量的模。

(2)、當的方向與軸的正向一致時，；當的方向與軸的正向相反時，。

4、投影定理

【定理】向量在軸上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦。即

【證明】過向量的始點引軸，且軸與軸平行且具有相同的正方向，那未軸與向量的夾角等于軸與向量的夾角，而且有

故??

由上式可知：

向量在軸上的投影是一個數值，而不是向量。

當非零向量與投影軸成銳角時， 向量的投影為正；

當與投影軸成鈍角時，向量的投影為負；

當與投影軸成直角時，向量的投影為零。

【定理】兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和，即

證明：如圖所示， 設為投影軸，作折線，

使??，，，

，，，

不論在軸上的位置如何，總有

即?????

【推廣】

二、向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標

向量的研究較復雜，為了溝通向量與數量，需要建立向量與有序數組之間的對應關系，借助向量在坐標軸上的投影可達到此目的。

1、向量在數軸上的投影向量及表示法

設是一空間向量，?為一條數軸。點、在軸上的投影分別為、，而點、在數軸上的坐標依次為、，則

記?，則?????????????????????????????????(1)

設是與軸的正方向一致的單位向量，那么

??????????????????????????????????????(2)

(1)式是向量在軸上的投影的計算公式，而稱為向量在軸上的投影向量，(2)式是它的一種表示法。

2、向量在坐標軸上的分向量

設是一空間向量，其始點為，終點為，過點、各作垂直于三個坐標軸的平面，這六個平面圍成一個以線段為對角線的長方體。

從圖中可以看出

而

向量、、分別是向量在、、軸上的投影向量， 我們稱它們分別是向量在、、軸上的分向量。

若以、、分別表示沿、、軸正向的單位向量， 并稱它們為這一坐標系的基本向量。于是

因此???

或?

此二式稱為向量或按基本向量的分解式。

3、向量的坐標

一方面，由向量可以唯一地定出它在三條坐標軸上的投影； 另一方面，由又可以唯一地定出向量。這樣，向量與有序數組之間建立了一一對應的關系。

故可以把向量在三條坐標軸上的投影叫做向量的坐標，將表達式稱作向量的坐標表示式。

注意：向量的坐標表示式是用花括號{??}表示的，不要與空間點的坐標表示式用圓括號(??)表示相混淆。

以為始點及為終點的向量的坐標式可表示成???

特別地， 空間點對于原點的向徑為

4、用坐標形式表示向量的運算性質

設?，，則

，

于是

最后，我們得到了向量加減與數乘運算的坐標表示式

【例1】定比分點公式

設和為兩已知點，有向線段上的點將它分為兩條有向線段和，使它們的值的比等于數()，即

求分點的坐標。

解：因為與在同一直線上，且同方向，故

?

?

，，

解得

三、向量的模與方向余弦的坐標表示式

向量可以用它的模與方向來表示，也可以用它的坐標式來表示，這兩種表示法之間的是有聯系的。

設空間向量與三條坐標軸的正向的夾角分別為，規定：??

稱為向量的方向角。

因為向量的坐標就是向量在坐標軸上的投影，因此

???????????????????????????(1)

公式(1)中出現的稱為向量的方向余弦。

而??

是與向量同方向的單位向量。

而?

??????????????????????????????????(2)

從而向量的方向余弦為

????????????????????????????????(3)

并且????

(2)、(3)式分別給出了用坐標式給出的向量的模與方向的計算公式。

【例2】已知兩點和，求與同方向的單位向量。

解：

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu1/}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第七章 空间解析几何（1）空间解析几何与向量代数 向量的加减法、数乘、坐标的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

如果覺得生活随笔網站內容還不錯，歡迎將生活随笔推薦給好友。