§10.6??高斯公式??通量與散度

一、高斯公式

格林公式表達了平面閉區域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系,而高斯公式表達了空間閉區域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關系，這個關系可陳述如下：

【定理】設空間閉區域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數、、在上具有一階連續偏導數，則有

????????????????(1)

或?????????????????()

?

這里是的整個邊界曲面的外側，是上點處的法向量的方向余弦,公式(１)或()叫做高斯公式。

證：由兩類曲面積分的關系，公式(1)與()的右端是相等的，因此這里只要證明公式(1)就可以了。

設閉區域在面上的投影區域為，假定穿過內部且平行軸的直線與的邊界曲面的交點恰好是兩個。這樣，可設由，和三部分組成，其中和分別由方程和給定，這里，取下側，取上側；是以的邊界曲線為準線而母線平行于軸的柱面上的一部分，取外側。

根據三重積分的計算法，有

??(2)

因為上任意一塊曲面在面上的投影為零，所以直接根據對坐標的曲面積分的定義可知

把以上三式相加，得

???????????(3)

比較(2)、(3)兩式，得

如果穿過內部且平行于軸的直線以及平行于軸的直線與的邊界曲面的交點恰好有兩點，那么類似地可得

把以上三式兩端分別相加，即得高斯公式(1)。

在上述證明中，我們對閉區域作了這樣的限制，即穿過內部且平行于坐標軸的直線與的邊界曲面的交點恰好是兩點。如果??不滿足這樣的條件，可以引進幾張輔助曲面把分為有限個閉區域，使得每個閉區域滿足這樣的條件，并注意到沿輔助曲面相反兩側的兩個曲面積分的絕對值相等而符號相反，相加時正好抵消，因此公式(1)對于這樣的閉區域仍然是正確的。

【例1】利用高斯公式計算曲面積分

其中為柱面及，所圍成的空間區域的整個邊界曲線的外側。

解：這里，，

，，，

利用高斯公式把所給曲面積化為三重積分，再利用柱面坐標計算三重積分：

【例2】利用高斯公式計算曲面積分

其中為錐面介于平面及之間的部分的下側，、、是在點處的法向量的方向余弦。

解：曲面不是封閉曲面，不能直接利用高斯公式，補充曲面

則與一起構成一個封閉曲面，記它們所圍成的空間閉區域為，利用高斯公式，便有

其中，注意到

即得

而

因此

【例3】設函數和在閉區域上具有一階及二階連續偏導數，試證明

其中是閉區間的整個邊界曲面，為函數沿的外法線方向的方向導數，這個公式叫做格林第一公式。

證：在高斯公式

中，令，，，并分別代入上式的左右兩邊，便得到

上述兩式結合便是所要證明的格林第一公式。

*二、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件

設是起點為、終點為的光滑曲線，對于曲線積分

若被積函數滿足，上述曲線積分與無關而只與、坐標有關。

很自然地，我們會想到這樣的一個問題，在怎樣的條件下，曲面積分

與曲面無關而只與的邊界曲線有關？這問題相當于在怎樣條件下，沿任意封閉曲面的曲面積分為零？這個問題可用高斯公式來解決。

先介紹空間二維單連通及一維單連通區域的概念。

對空間區域，如果內任一閉曲面所圍成的區域全屬于，則稱是空間二維單連通區域；如果內任一閉曲線總可以張一片完全屬于的曲面，則稱為空間一維單連通區域。

對于沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件，我們有以下結論：

【定理】設是空間二維單連通區域，函數、、在內具有一階連續偏導數，則曲面積分

在內與所取曲面無關而只取決于的邊界曲線(或沿內任一閉曲面的曲面積分為零)的充分必要條件是等式

????????????????????????????????????????????(4)

在內恒在成立。

證：若等式(4)在內恒成立，則由高斯公式(1)立即可看出沿內的任意曲面的曲面積分為零，因此條件(４)是充分的。

反之，設內的任一閉曲面的曲面積分為零，若等式(4)在內不恒成立，就是說在內至少有一點使得

仿照第10.3節第二目中所用的方法，就可得出內存在著閉曲面使得沿該閉曲面的曲面積分不等于零，這與假設相矛盾。因此條件(4)是必要的。

三、通量與散度

下面來解釋高斯公式

??????????????????(1)

的物理意義。

設穩定流動的不可壓縮液體(假定密度為1)的速度場由

給出，其中、、假定具有一階連續偏導數，是速度場中一片有向曲面，又是在點處的單位法向量，由第10.5節的討論知道，單位時間內流體經過流向指定側的流體總質量可用曲面積分來表示：

如果是高斯公式(1)中閉區域的邊界曲面的外側，那么公式(1)的右端可解釋為單位時間內離開閉區域的流體的總質量。

由于我們假定流體是不可壓縮的，且流體是穩定的，故當流體離開時，內部必須有產生流體的“源頭”產生出同樣多的流體來進行補充。因此，高斯公式左端可解釋為分布在內的源頭在單位時間內產生的流體的總質量。

為了簡便起見，把高斯公式(1)改寫成

以閉區域的體積除上式兩端，得

上式左端表示內的源頭在單位時間單位體積內所產生的流體質量的平均值。應用積分中值定理于上式左端，得

這里是內的某個點。

令縮向一點，對上式取極限，得

上式左端稱為在點的散度，記作，即

在這里可看作穩定流動的不可壓縮流體在點的源頭強度?—?單位時間單位體積內所產生的流體質量。如果為負，表示點處流體在消失。

一般地，設某向量場由

給出，其中、、具有一階連續偏導，是場內的一片有向曲面，是上點處的單位法向量，則叫做向量場通過曲面向著指定側的通量(或流量)，而叫做向量場的散度，記作，即

高斯公式現在可寫成

其中是空間閉區域的邊界曲面，而

是向量在曲面的外側法向量上的投影。

§10.7??斯托克斯公式??環流量與旋度

一、斯托克斯公式

斯托克斯公式是格林公式的推廣。格林公式表達了平面閉區域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關系，而斯托克斯公式則把曲面上的曲面積與沿著的邊界曲線的曲線積分聯系起來。

我們首先介紹有向曲面的邊界曲線的正向的規定，然后陳述并證明斯托克斯公式。

【定理】設為分段光滑的空間有向閉曲線，是以為邊界的分片光滑的有向曲面，的正向與的側符合右手規則，函數、、在包含曲面在內的一個空間區域具有一階連續偏導數，則有

????(1)

公式(1)叫做斯托克斯公式。

證：先假定與平行于軸的直線相不多于一點，并設為曲面的上側，的正向邊界曲線在面上的投影為平面有向曲線，所圍成的閉區域為。

我們設法把曲面積分

化為閉區域上的二重積分，然后通過格林公式使它與曲線積分聯系。

根據對面積的和對坐標的曲面積分間的關系，有

??????????????????(2)

由第8.6節知道，有向曲面的法向量的方向余弦為

，，

因此，把它代入(2)式得

即

??????????????????(3)

上式右端的曲面積分化為二重積分時，應把中的用來代替，因為由復合函數的微分法，有

所以，(3)式可寫成

根據格林公式，上式右端的二重積分可化為沿閉區域的邊界的曲線積分

于是

因為函數在曲線上點處的值與函數在曲線上對應點處的值是一樣的，并且兩曲線上的對應小弧段在軸上的投影也是一樣，根據曲線積分的定義，上式右端的曲線積分等于曲線上的曲線積分,因此，我們證得

????????????????????????????(4)

如果取下側，也相應地改成相反的方向，那末(4)式兩端同時改變符號，因此(4)式仍成立。

其次，如果曲面與平行于軸的直線的交點多于一個，則可作輔助曲線把曲面分成幾部分，然后應用公式(4)并相加。因為沿輔助曲線而方向相反的兩個曲線積分相加時正好抵消，所以對于這一類曲面公式(4)也成立。

同樣可證

把它們與公式(4)相加即得公式(1)。

為了便于記憶，利用行列式記號把斯托克斯公式(1)寫成

把其中的行列式按第一行展開，把與的“積”理解為，與的“積”理解為等等，于是這個行列式就“等于”

這恰好是公式(1)左端的被積表達式。

利用兩類曲面積分間的聯系，可得斯托克斯公式的另一形式：

其中為有向曲面的單位法向量。

如果是面上的一塊平面閉區域，斯托克斯公式就變成格林公式。因此，格林公式是斯托克斯公式的一個特殊情形。

【例1】利用斯托克斯公式計算曲線積分

圖10-28 ?

(b) ?

(a) ?

?

其中是用平面截立方體：，，的表面所得截痕，若從軸的正向看去，取逆時針方向。

解：取為平面的上側被所圍成的部分，的單位法向量，即，按斯托克斯公式，有

因為在上，，故

其中為在平面上的投影區域，為的面積，因此

故

http://home.microsoft.com/intl/cn/

^*二、空間曲線積分與路徑無關的條件

在第10.3節，利用格林公式推得了平面曲線積分與路徑無關的條件。完全關似地，利用斯托克斯公式，可推得空間曲線積分與路徑無關的條件。

首先我們指出，空間曲線積分與路徑無關相當于沿任意閉曲線的曲線積分為零。關于空間曲線積分在什么條件下與路徑無關的問題，有以下結論：

【定理】設空間開區域是一維單連通域，函數、、在內具有一階連續偏導數，則空間曲線積分在內與路徑無關(或沿任意閉曲線的曲線積分為零)的充分條件是等式

，，???????????????????????????????(5)

在內恒成立。

證：如果等式(5)在內恒成立，則由斯托克斯公式(1)立即可看出，沿閉曲線的曲線積分為零，因此條件是充分的。反之，設沿內任意閉曲線的曲線積分為零，若內有一點使(5)式中的三個等式不完全成立，例如。不妨假定

過點作，并在這個平面上取一個以為圓心，半徑足夠小的圓形區域，使得在上恒有

因為在上而，于是由(1)式有

設是的正向邊界曲線，是的面積，因為，，從而

這結果與所設不合，從而(5)式在內恒成立。

應用上述定理并仿照第10.3節定理3的證法，便可以得到

【定理】設區域是空間一維單連通區域，函數、、在內具有一階連續偏導數，則表達式在內成為某一函數的全微分的充分必要條件是等式(5)在內恒成立；當條件(5)滿足時，這函數(不計－常數之差)可用下式求出:

圖10-29 ?

???????????????????????????(6)

或用定積分表示為(依下圖所取積分路徑)

其中為內某一定點，點。

三、環流量與旋度

設斯托克斯公式中的有向曲面上點處的單位法向量為

而的正向邊界曲線上點處的單位切向量為

則斯托克斯公式可用對面積的曲面積分及對弧長的曲線積分表示為

??????????(7)

設有向量場

在坐標軸上的投影為

，，

的向量叫做向量場的旋度，記作，即

?????????????????(8)

現在，斯托克斯公式可寫成向量的形式

其中

為在的法向量上的投影，而

為向量在的切向量上的投影。

沿有向閉曲線的曲線積分

叫做向量場沿有向閉曲線的環流量。

斯托克斯公式(9)現在可敘述為：向量場沿有向閉曲線的環流量等于向量場的旋度場通過所張的曲面的通量，這里的正向與的側應符合右手規則。

為了便于記憶，的表達式(8)可利用行列式記號形式地表示為

最后，我們從力學角度來對的含義作些解釋。

設有剛體繞定軸轉動，角速度為，為剛體內任意一點。在定軸上任取一點為坐標原點，作空間直角坐標系，使軸與定軸重合，則，而點可用向量來確定。由力學知道，點的線速度可表示為

。

由此有

，

而

。

從速度場的旋度與旋轉角速度的這個關系，可見“旋度”這一名詞的由來。

^*四、向量微分算子

引進一些特有的微分算子運算，可以使復雜的高斯公式和斯托克斯公式被表示得更簡明。

向量微分算子定義為

，

它稱為哈密頓算子，運用向量微分算子，我們有

(1)、設，則

其中，稱為拉普拉斯算子。

(2)、設，則

現在，高斯公式和斯托克斯公式可分別寫成

from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第十章 曲线积分与曲面积分（3）高斯共识、通量、散度、斯托克斯共识、环流量、旋度的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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