§11.9??正弦級數和余弦級數

一、奇函數偶函數的傅立葉級數

一般說來，一個函數的傅立葉級數既含有正弦項，又含有余弦項。但是，有些函數的傅立葉級數只含有正弦項或只含有余弦項，究其原因，它與所給函數的奇偶性有關。

【定理】以為周期的奇函數展開成傅立葉級數時，它的傅立葉系數適合：

而以為周期的偶函數展開成傅立葉級數時，它的傅立葉系數適合：

證?設是以為周期的偶函數，則，從而

又因是上的奇函數，故

類似地可證明定理的第二部分。

該定理告訴我們：

1、如果為奇函數，那么它的傅立葉級數是只含有正弦項，不含常數項和余弦項的正弦級數

2、如果為偶函數，那么它的傅立葉級數是只含有常數項和余弦項，不含正弦項的余弦級數

【例1】設是周期為的周期函數，它在上的表達式為，將它展開成傅立葉級數。

解：函數的圖形如下：

是周期為的奇函數，因此

在點??不連續，據收斂定理，的傅立葉展開式為

二、函數展開成正弦級數或余弦級數

如果僅給出函數在上的定義，如何將它展開成正弦級數或余弦級數呢？

解決該問題的具體步驟如下：

1、在上重新定義新函數，且在上成為奇函數（或偶函數），這種定義的方式稱為是對的奇延拓（或偶延拓）。

2、將以為周期進行周期延拓，所得函數的傅立葉展開式必為正弦級數（或余弦級數）。

3、據的傅立葉展開式的成立區間，限制屬于、、中的某一個，此時，這樣便得到了的正弦級數（或余弦級數）。

【例2】將函數分別展開成正弦級數和余弦級數。

解：對進行奇延拓，得函數

其傅立葉系數如下：

傅立葉級數為??，據收斂定理有：

在處，它收斂于；

在處，它收斂于

；

在內，它收斂于。

故的傅立葉正弦級數展開式為

對進行偶延拓，可得函數

其傅立葉系數為

傅立葉級數為??， 據收斂定理有：

在處，它收斂于

；

在內，它收斂于。

故的傅立葉余弦級數展開式為

§11.10??周期為2L的周期函數的傅里葉級數

對于周期為的周期函數的傅立葉級數展開，根據已有的結論，借助變量替換，可得到下面定理。

【定理】設周期為的周期函數滿足收斂定理的條件，則它的傅立葉級數展開式為

其中系數的計算式為

如果為奇函數，則有

其中系數??

如果為偶函數，則有

其中系數??

證：作變量替換，當時，，函數可重新表示成，從而是周期為的周期函數且滿足收斂定理的條件，因此，可以展開成為傅立葉級數

其傅立葉系數的計算表達式為

由于，，上式可分別改寫成

類似地，可以證明定理的其余部分。

【例1】設是周期為的周期函數，它在上的表達式為

將它展開成傅立葉級數。

解：的圖象如下：

其傅立葉系數為

據收斂定理，有

因此，的傅立葉展開式為

這里，

【例2】將函數展開成正弦級數和余弦級數。

解：將作奇延拓，得到函數，且

再將以4為周期進行周期延拓，便可獲到一個以4為周期的周期函數，其圖象如下：

其傅立葉系數為

由于函數在處間斷，故的正弦級數展開式為

這里：??

再將作偶延拓，得到函數，且

將以4為周期進行周期延拓，便可獲到一個以4為周期的周期函數，其圖象如下：

其傅立葉系數為

由于函數在上連續，故的余弦級數展開式為

這里：??

如果令，得

對定義在任意區間上的函數，若它滿足收斂定理所要求的條件，也可將它展開成傅立葉級數，其方法如下：

作變量替換?，即?，

當時，，將函數改寫成

則是定義在上，且滿足收斂定理條件的函數，從而可將其展開成傅立葉級數。

【例3】將函數展開成傅立葉級數。

解：作變量替換??，當時，則?，而

將以為周期進行周期延拓，可得到一個周期函數，其圖象如下：

其傅立葉系數為

顯然，點是函數的間斷點，函數在其它點均連續，故的傅立葉展開式為

將代入上式，得

_{from: http://sxyd.sdut.edu.cn/gaoshu2/}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第十一章 无穷级数（3）正弦级数、余弦级数、周期为2L的周期函数的傅里叶级数的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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