§12.1??微分方程的基本概念

凡表示未知函數、未知函數導數與自變量之間關系的方程，稱之為微分方程。微分方程中所出現的未知函數的最高階導數的階數，叫做微分方程的階。

一般地，階微分方程的形式是

?????????????????????????????????

其中是個變量的函數，在方程?式中，是必須出現的，而等變量可以出現，也可以不出現。

在以后的討論中，我們主要討論?式的特殊形式

????????????????????????????????

設函數在區間上有階導數，如果在區間上

那未函數就叫做微分方程?在區間上的解。

如果微分方程的解含有任意常數，且任意常數的個數與微分方程的階數相同(這里的任意常數應相互獨立，即：它們不能合并而使得任意常數的個數減少)，這樣的解稱之為微分方程的通解。

設微分方程為，其通解為，其中：為任意常數。為了確定任意常數的具體取值，通常給出條件

當???時，

或??????????????????????????????????????????????

這里都是給定的值。

設二階微分方程為，其通解為，其中：為獨立的任意常數。為了確定的值，通常給出條件

當??時，??，?， 即

??????????????????????????????????????????????

這里?都是給定的值。

上面所給出的這種條件?、?叫做初始條件；

確定了通解中的任意常數之后所得到的解稱作微分方程的特解。

求微分方程滿足初始條件的特解，又稱之為一階微分方程的初值問題，記作

???????????????????????????????????????????????

一般地講，微分方程特解的圖形是一條曲線，這一曲線稱之為積分曲線。

初值問題?的幾何意義為：求微分方程通過點的那條積分曲線。

【例1】一曲線過點，且在該曲線上任一點處的切線斜率為，求該曲線的方程。

解：設所求曲線的方程為，則它滿足

把方程兩端積分，得??????(是任意常數?)

由初始條件，有??????

由此定出????????????

故所求曲線的方程為?

【例2】驗證：函數

(是任意常數)

是微分方程????的通解。

解：??

，

顯然?

故???是微分方程的解。因是相互獨立的兩個任意常數，而微分方程的階數是二階的，故它微分方程的通解。

§12.2??可分離變量的微分方程

【定義】如果一階微分方程能化成

?????????????????????????????????????????

的形式，那么原方程稱之為可分離變量的微分方程。

為討論這類微分方程的求解，我們先看兩個引例

對于一階微分方程

只需將上式兩端積分就得到了這個方程的通解

但是，并非所有的一階微分方程都能這樣求解。

例如，對于一階微分方程

?

就不能直接兩端取積分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函數，積分求不出來。為了解決這個困難，在方程的兩端同乘以，使方程變為?????

這樣，變量與被分離在等式的兩端，然后兩端積分得

如此得到的函數是原來的微分方程的解嗎?

直接驗證：對方程兩邊關于求導，有

可見，它確實是原方程的通解。

下面討論可分離變量微分方程

???????????????????????????????????????

的求解。

假定函數和是連續的。

設是方程?的解，將它代入方程得到恒等式

將上式兩端積分有

引入變量替換，得

設及依次為及的原函數，于是有

???????????????????????????????????????????

因此，方程?的解滿足關系式?。

反之，如果是?式所確定的隱函數，那未在的條件下，據隱函數的直接求導法有

因此，函數滿足方程?。

綜合上述討論有

如果可分離變量方程?中的和連續，且，那么?式兩端積分后得到的關系式?，它用隱式的形式給出了方程?的解。

由于?式含有任意常數，故?式叫做微分方程的隱式通解(?當時，?式所確定的隱函數也可認為是方程?的解)。

【例1】設降落傘從跳傘塔下落后，所受空氣阻力與速度成正比，并設降落傘離開跳傘塔時()速度為零，求降落傘下落速度與時間的函數關系。

解：設傘下落速度為，在下落時，同時受到重力與阻力的作用，重力大小為，方向與一致;阻力大小為(為比例系數?)，方向與相反，從而傘所受外力為

據牛頓第二運動定律?，得到函數應滿足微分方程

方程是可分離變量的，分離變量得

兩端積分，有

其中???

由初始條件??，有?

于是所求的函數為

【例2】有高為100厘米的半球形容器，水從它的底部小孔流出，小孔橫截面面積為1平方厘米，開始時容器內盛滿了水，求水從小孔流出過程中容器里的水面的高度(水面與孔口中心間的距離?)隨時間變化的規律。

解：由水力學知道，水從孔口流出的流量(?即通過孔口橫截面的水的體積對時間的變化率?)可用下列公式計算

這里，為流量系數，為孔口橫截面面積，為重力加速度。

現在，孔口橫截面面積為

另一方面，設在微小時間間隔內，水面高度由降至，可得到?????

其中是時刻時的水面半徑，右端置負號是由于，而。

如圖，

得到微分方程??

及初始條件????

方程是可分離變量的方程

將初始條件代入，定出常數。

把值代入并化簡，得

【注記】

本例通過對微小量的分析，得到了微分方程。這種微小量分析法，是建立微分方程的一種常用方法。

§12.3??齊次方程

如果一階微分方程

中的可寫成的函數，即，稱此方程為齊次方程。

例如??是齊次方程，因為

在齊次方程

?

中，引入變量替換

有??，

將它們代入齊次方程，得

分離變量，得

兩邊積分，得

求出積分后，再用代替，便得所給齊次方程的隱式通解。

【例1】解方程

解：?原方程可寫成

因此是齊次方程，令?，則

于是原方程變為

分離變量， 得

兩邊積分，得

以代替， 得到原方程的通解

注記:

齊次方程的求解實際上是通過變量替換，將方程化為可分離變量的方程。

變量替換法在解微分方程中，有著特殊的作用。但困難之處是如何選擇適宜的變量替換。一般來說，變量替換的選擇并無一定之規，往往要根據所考慮的微分方程的特點而構造。對于初學者，不妨多試一試，嘗試幾個直接了當的變量替換。

【例2】求下列微分方程的通解

1、

2、

解1、令,則??

?

原方程化為?

即??

解2、

令?，原方程可化為

(其中??)

【例3】設河邊點的正對岸為點，河寬，兩岸為平行直線，水流速度為。有鴨子從點游向點，設鴨子(在靜水中)的游速為，且鴨子游動方向始終朝著點，求鴨子游過的跡線。

解：設水流速度為，鴨子游速為，則鴨子實際運動速度為。

取為坐標原點，河岸朝順水方向為軸，軸指向對岸，設在時刻鴨子位于點。

設鴨子運動速度為

，

故有??

而??，

從而?

由此得到微分方程

即??

令?，則?，，代入上面的方程有

分離變量得??

積分得??

?，?

?

?，?

以條件時代入上式，得?，故鴨子游過的跡線為

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總結

以上是生活随笔為你收集整理的高等数学：第十二章 微分方程（1）微分方程的概念，可分离变量的微分方程，齐次方程的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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