第三節(jié)?行列式按行(列)展開

一．數(shù)學(xué)概念

余子式和代數(shù)余子式

在n階行列式中，把元素_??所在第i行和第j列劃去后，留下來的n-1階行列式叫做元素_??的余子式，記作_??，記

_?,

_?叫做元素_??的代數(shù)余子式。

二．原理，公式

引理??一個(gè)n階行列式，如果其中第i行所有元素除_??外都為零，那么這行列式等于_??與它的代數(shù)余子式的乘積。

定理3.1??行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即

??????????????????

或?????????????????????

推論??行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即

_??????????????????

范德蒙德(Vandermonde)行列式

三．重點(diǎn)，難點(diǎn)分析

本節(jié)重點(diǎn)是行列式按行(列)展開的引理、定理、推論。靈活準(zhǔn)確的應(yīng)用行列式的性質(zhì)和展開定理及其引理是快速、準(zhǔn)確計(jì)算行列式的關(guān)鍵。而行列式展開定理的推論不僅告訴我們計(jì)算行列式時(shí)必須用某一行(列)的元素分別乘以該行(列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和時(shí)才是該行列式的值。否則乘以其它行(列)對(duì)應(yīng)的元素的代數(shù)余子式的乘積之和則為零，而且該推論和展開定理并用可以計(jì)算行列式中的參數(shù)。

Vandermonde行列式雖然給出了一個(gè)計(jì)算公式，但是對(duì)于某些特殊的行列式怎么變成Vandermonde行列式的形式確是比較困難，當(dāng)然用Vandermonde行列式能夠計(jì)算一些難度較大的行列式的計(jì)算。

四．典型例題分析

例2．設(shè)4階行列式的第2列元素依次為2，m,k,3，第2列元素的余子式依次為1,-1,1,-1,第4行元素的代數(shù)余子式依次為3,1,4,2,且行列式值為1，求m,k。

解：這是一道用行列式的展開定理和推論并用的計(jì)算行列式中的參數(shù)m,k的題型。由行列式的展開定理及其推論得

即?????????????????????????

解得_?

例3．計(jì)算

解：本題從表面上它不是Vandermonde行列式，但是我們可以用行列式的性質(zhì)將其變成行列的形式，將D的第1列分別乘_??加到第3列，得

第四節(jié)?克拉默法則

一．數(shù)學(xué)概念

1．非齊次線性方程組

其中右端的常數(shù)項(xiàng)_??不能全為零。

2．齊次線性方程組

二．原理，公式和法則

克拉默法則

設(shè)非齊次線性方程組

若方程組(1)的系數(shù)行列式

則方程組(1)有唯一解

其中_??是把系數(shù)行列式D中的第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即

定理4.1??如果線性方程組(1)的系數(shù)行列式D≠0，則(1)一定有解，且解是唯一的。

定理4.1’??如果線性方程組(1)無解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式必為零。

定理4.2??如果齊次線性方程組(2)的系數(shù)行列式D≠0，則齊次線性方程組(2)沒有非零解。

定理4.2’??如果齊次線性方程組(2)有非零解，則它的系數(shù)行列式必為零。

三．重點(diǎn)，難點(diǎn)分析

我們用行列式的性質(zhì)和展開定理計(jì)算各種形式的行列式，其最終目的是解未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程組的個(gè)數(shù)相同的線性方程組。我們要重點(diǎn)掌握克拉默法則，會(huì)用克拉默法則解線性方程組。在使用中注意定理4.1，4.2及其逆否定理的區(qū)別，聯(lián)系和應(yīng)用。

四．典型例題分析

例1．解線性方程組

解：

???????

于是得_?

例2．問_??取何值時(shí)，齊次線性方程組

有非零解？

解：由定理4.2’可知，若齊次線性方程組有非零解，則上式的系數(shù)行列式D＝0。而

由D=0，得_??=2,?_?=5或_??=8。不難驗(yàn)證，當(dāng)_??＝2,5或8時(shí)，題給齊次線性方程組確有非零解。

本章小節(jié)

行列式的概念是基礎(chǔ)。

行列式的性質(zhì)是關(guān)鍵。

行列式的計(jì)算是重點(diǎn)。

用行列式解線性方程組是目的。

?

_{from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm}

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第一章 行列式（2）行列式按行（列）展开 克拉默法则的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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