第一節?矩陣及其運算

一．數學概念

定義1.1?由_??個數_??排成m行n列的數表

稱為m行n列的矩陣，簡稱_??矩陣，記作

二．原理，公式和法則

1．矩陣的加法

(1)?公式

(2)?運算律

2．數乘矩陣

(1)?公式

(2)?運算律

3．矩陣與矩陣相乘

(1)?設_??,

則_??其中_??，且

_?。

(2)　運算符(假設運算都是可行的)：

(3)　方陣的運算

注意：①矩陣乘法一般不滿足交換律。

②一般_?

4.矩陣的轉置

(1)　公式

????

這里_??為A的轉置矩陣。

?

(2)　運算律

5.方陣的行列式

(1)　公式

設A為n階方陣，_??為A的行列式。

(2)　運算律

6.共軛矩陣

(1)公式　設_??為復矩陣，_??表示為_??的共軛復數，則_??為方陣的共軛矩陣。

(2)運算律(設A,B為復矩陣，_??為復數，且運算都是可行的)：

三.　重點，難點分析

本節的重點就是矩陣的各運算及其運算律。它是矩陣運算的基礎，其難點是矩陣的乘法，著重掌握矩陣的運算規律。

四.　典型例題

例1.　已知

解：將(1),(2)等式兩邊相加得　?

所以

例2.設_?

解：由于

而

　?_?

_??

第二節　逆矩陣

一.　數學概念

定義2.1　設A為n階方陣，若存在一個n階方陣B使_??，則稱矩陣A是可逆的，并把矩陣稱為A的逆矩陣。

1.　可逆矩陣又稱為非奇異矩陣。

2.　不可逆矩陣又稱為奇異矩陣。

二.　原理，公式和法則

1.?定理2.1方陣A可逆的充分必要條件是_??,且_??，其中

為A的伴隨矩陣。

推論　若AB＝E(或BA=E)則B＝A^-1。

性質　逆矩陣是唯一的。

2.　運算律

① 若A可逆，則A^-1亦可逆，且_??。

② 若A可逆，數_??,則λA可逆，且_??。

③ 若A,B為同階矩陣且均可逆，則AB亦可逆，且_?

④ 若A可逆，則A^T亦可逆，且_?

三.　重點，難點分析

可逆矩陣的求逆既是本節的重點，也是本節的難點，它也是本章的重點。這是因為求逆矩陣它不僅可以解n個方程n個未知數方程組的求解，也可以解矩陣方程，而且在今后的學習中還要經常遇到求逆矩陣的計算。由關系式求逆和抽象矩陣的求逆對初學者來說是比較困難的。

四.　典型例題

例1.?設A為n階方陣，若_??,試證A-E可逆，并求x。

證明　由_??，得_??，在此兩端同加單位矩陣得

例2.　設

E為4階單位矩陣，且_??,求_??。

解：在_??的兩邊左乘(E+A)得，

例3.　設矩陣A的伴隨矩陣

_?,

且_??,其中E為4階單位矩陣，求B。

解：在_??左乘A^＊，右乘A得

第三節　分塊矩陣

一.　數學概念

分塊矩陣：用若干條橫線和豎線將矩陣A分成若干小塊，每一小塊稱為矩陣的子塊，以子塊為元素的矩陣為分塊矩陣。

二.　原理，公式，法則

1.?分塊矩陣的加法

設A，B為同型矩陣，分法相同，對應子塊相加，即將_??矩陣A，B分塊為

2.?分塊矩陣的數乘

設A為分塊矩陣，_??為數，

3.?分塊矩陣的乘法

設_??，分塊為

其中_??的列數分別等于_??的行數，那末

其中_?

4.?分塊矩陣的轉置

設

5.?分塊對角矩陣

都是方陣。

注?1.?以上分塊矩陣運算律與矩陣的相應的運算律相同。

2.?對分塊對角矩陣有

三.?重點，難點分析

本節的重點是分塊矩陣的按行分塊或按列分塊或分塊成對角矩陣。這對討論矩陣與向量組的關系;討論線性方程組的解是非常有用的。難點是分塊矩陣的乘法。熟練掌握分塊矩陣的乘法和分塊對角矩陣的各種運算是非常必要的。

四.典型例題

例1.　設

_?,求A^-1。

解：

由于

所以

例2.?設矩陣

求A+B和AB

解：由A的特點，可將A分塊為

B按運算要求分塊為

于是　

_{from: http://dec3.jlu.edu.cn/webcourse/t000022/teach/index.htm}

總結

以上是生活随笔為你收集整理的线性代数：第二章 矩阵及其运算：逆矩阵、分块矩阵的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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