Comzyh?，計算機(jī)專業(yè)在讀 126 人贊同 看到?@林木然?的答案，用Mathematica 做了下試驗，效果沒有有這么好。
首先輸入圖像

做離散傅里葉變換：
data = ImageData[ColorSeparate[image][[1]]]; {nRow, nCol} = Dimensions[data] fw = Fourier[data]; ListDensityPlot[Abs@fw] 結(jié)果是這樣的：
然后我們?nèi)€低通，先做個掩模，這里只取整個圖片低頻的1/16部分：
low = 0.25; mask = Table[ If[Abs[(row - (nRow/2))/nRow] > low && Abs[(col - (nCol/2))/nCol ] > low, 1, 0], {row, 1, nRow}, {col, 1, nCol}]; 掩模（Mask）如下：
只要白的部分不要藍(lán)的部分
好了，對這個取過低通的圖像做逆傅里葉變換并畫出來：
Image[Abs@ InverseFourier[fw*mask]]

• 原圖

• low = 0.25
  

• low = 0.3
  

• low = 0.4
  

用一個二維高斯對DFT后的圖像濾波，壓制低頻，結(jié)果如下
mask2 = ImageData[ImageResize[Image[RotateLeft[Transpose[RotateLeft[GaussianMatrix[100]*14341.83641834123 , 100]], 100]], {nCol, nRow}]];

可以看出用傅里葉方法做低通，效果并沒有那么好，當(dāng)然也可能是我姿勢不對。

如果想自己試試的話，源碼（Mathematica）如下：
data = ImageData[ColorSeparate[image][[1]]]; {nRow, nCol} = Dimensions[data] fw = Fourier[data]; ListDensityPlot[Abs@fw] low = 0.3; mask = Table[If[Abs[(row - (nRow/2))/nRow] > low && Abs[(col - (nCol/2))/nCol ] > low, 1, 0], {row, 1, nRow}, {col, 1, nCol}]; ListDensityPlot[mask] ListDensityPlot[abs*mask] Image[Abs@ InverseFourier[fw*mask]] 代碼參考了以下回答，有興趣可以自己看看：
Calculate the 2D Fourier transform of an Image
How to use 2D Fourier analysis to clean the noise in an image

做了一點微小的工作，歡迎指正。 編輯于 03:29?29 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 79贊同 反對，不會顯示你的姓名 凌晨曉驥?，PhD student in Astronomy and Astrophys… 79 人贊同 一般FFT修復(fù)圖片都是些規(guī)則的花紋和特殊的污染，像?@林木然的那種圖片我很好奇如何修復(fù)。比如如下的照片，可見照片上面有著很有規(guī)律的條紋。那么其FFT頻譜圖上面就會有非常規(guī)則的點。這些點就是條紋在頻域空間的對應(yīng)。
如果擦掉這些點，做一次FFT反變換，那么就能夠很好地恢復(fù)原圖像。但是，不可避免的，圖像變得有點模糊了~
一般而言，高頻率留下的是圖像細(xì)節(jié)。低頻率留下的是圖像整體。通過濾波永遠(yuǎn)只會使圖像失去更多的信息，而不是增加細(xì)節(jié)。


然而對于下面這張圖，其頻率圖太奇怪了，噪聲根本沒有規(guī)律。傳統(tǒng)的FFT根本沒辦法消除噪聲的。

經(jīng)過多次嘗試和?@Comzyh?一致。通過濾過高頻信號根本無法消除噪聲。

比較原答案先后兩張圖片的FFT值，可見，所謂的濾波結(jié)果的圖片反而多出了很多高頻率信號信息（黑色條紋）。因此，我推測結(jié)果下面第二幅圖是原圖，而第一張是加噪聲之后的圖片。這種噪聲并不是FFT擅長處理的，如前文所述，FFT擅長的是消除有規(guī)律的污染和噪聲。


林木然圖片中的女主是在《夏日香氣》出演的韓國女星孫藝珍，明顯是大光圈單反或者高清攝像機(jī)拍出的照片。說是FFT能修復(fù)噪聲達(dá)到如此的細(xì)節(jié)，也是在太為難這個技術(shù)了。
最后，使用的軟件是imageJ，其實現(xiàn)在photoshop 插件也支持FFT了。

PS：在宇宙學(xué)里面，離散傅里葉變換在數(shù)值模擬方法中有很重要的應(yīng)用，是Particle Mesh 方法的核心算法。核心思想是將不規(guī)則粒子規(guī)劃到正規(guī)網(wǎng)格上，用傅里葉變化快速計算粒子之間相互的力和引力勢，通過這種方法可以極大地壓縮N體粒子運(yùn)算量。 編輯于 13:56?13 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 71贊同 反對，不會顯示你的姓名 蘇小毛?，由碳水化合物及少量的金屬雜質(zhì)組成? 71 人贊同 對不起，請容許我不友善一次：@林木然?這篇榜首回答是有問題的，至少配圖假的。

其實搞過圖像處理的人應(yīng)該都知道，噪點特征提取一定不是簡單就能算出來的，降噪后圖像一般是變模糊，不可能噪點沒了圖反而比原圖更大更清晰。還有，時域到頻域再到時域的轉(zhuǎn)換，中間又做了數(shù)據(jù)處理，必然會發(fā)生失真的現(xiàn)象，配圖也沒有體現(xiàn)，所以我斷定這是一篇有水分的回答。

打算有時間再來梳理下FFT的一些應(yīng)用場景：包括聲音識別的連續(xù)信號采樣，圖像處理的特征分析，電路的濾波和諧波分析等。


* 更新于次日
@Comzyh?同學(xué)十分認(rèn)真！存在懷疑就動手去試驗，這就是技術(shù)人應(yīng)有的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度，大家感興趣的請移步去這里看一下 -
http://zhihu.com/question/20460630/answer/105852333

最后，希望對技術(shù)的回答盡量不要摻假，因為很多學(xué)子都會把知乎當(dāng)真。 編輯于 07:23?32 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???禁止轉(zhuǎn)載 70贊同 反對，不會顯示你的姓名 張榮杰?，碼農(nóng) 70 人贊同 不知道題主問這個問題的出發(fā)點是什么？

如果是作為一個普通民眾想了解一下這個數(shù)學(xué)方法的話，那么可以參看網(wǎng)絡(luò)上很多的已有文獻(xiàn)，例如這里，?http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2?

如果題主是想問，為什么傅立葉變換能夠變？其實這個問題我之前也糾結(jié)過，在課上，我們老師都會說，使用傅立葉變換可以把信號從時域變換到頻域，并且還是等價的，然后給我們羅列一堆常用變換公式，然后就是做題了，我們努力的刷題，終于練到可以一見到常見形式的表達(dá)式就迅速的計算得到它的傅立葉變換式，但是，很少老師會努力給我們講懂，為什么可以這么變。反正我是看著那些時域圖和頻域圖任憑怎么聯(lián)想也沒辦法把他們聯(lián)系到一起。總覺得這兩個圖差遠(yuǎn)了。于是就一直在糾結(jié)這個問題，慢慢也有些理解。


原理其實在教材中也有講，但是老師和同學(xué)好像都不怎么重視，因為考試也不考，（這種理解性的東西也不好考）。要理解傅立葉變化，最重要的是要認(rèn)同到，任何連續(xù)周期信號都可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成，也就是說，任何連續(xù)周期信號都可以由很多個正弦曲線疊加去逼近，直到他們的誤差可以忽略，而對于一條正弦曲線來說，決定因素是什么呢，y = A sin (ωt + θ)，可以看到，是振幅，頻率，和相位，那么，我們可以想到，如果我們畫一張圖，以這些很多正弦曲線的振幅為縱軸，頻率為橫軸，那么，就可以把這些很多的正弦曲線用另外一種形式表達(dá)出來啦，事實就是這樣。這就是傅立葉變換了。

但是，相位呢？其實，真正的傅立葉變換，一張時域圖，是應(yīng)該變出兩張頻域圖的，一張是像上面講的，振幅為縱軸，頻率為橫軸，而另外一張，就是相位為縱軸，頻率為橫軸了，只不過我們通常都是使用前者罷了，至于為什么不關(guān)心相位？這個我還沒想通。。 編輯于 2015-10-09?20 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 3贊同 反對，不會顯示你的姓名 cava 3 人贊同 傅里葉變換是一種非常重要的工具，更重要的是它提供了一種看待信號的不同視角。

傅里葉變換將信號視為高頻和低頻的加和性混合。但是對于初學(xué)者，“高頻”和“低頻”的說法恐怕并不直觀，唯一能夠聯(lián)系上的也就是相應(yīng)的正弦信號的頻率，但是這個正弦信號的頻率有什么意義呢？其實，更直觀一點的說法，應(yīng)該是信號變換的快慢：同樣幅值的高頻的正弦信號的導(dǎo)數(shù)絕對值大于低頻正弦信號的導(dǎo)數(shù)絕對值，即高頻正弦信號變化得比低頻正弦信號要快。信號中的突變就包含了高頻分量，而信號如果是緩慢變化的，特別是用接近于正弦曲線的周期起伏方式緩慢變化的，那這個信號就主要由低頻分量構(gòu)成。

將信號的不同部分用頻率的方式來區(qū)分，這種方法之所有有效，很大程度上是由于不同頻率的分量往往具有明確的物理意義：當(dāng)我們處理的是聲音信號時，信號頻率對應(yīng)的就是相應(yīng)的音調(diào)，低頻信號對應(yīng)低沉的低音，而高頻信號對應(yīng)尖銳的高音。讓我們感覺不快的噪音，更多的是尖銳刺耳的那種聲音，因此主要體現(xiàn)為高頻分量；當(dāng)我們處理的是比如說股票價格的時間序列時，高頻分量對應(yīng)的就是短期內(nèi)股價的波動，而低頻分量對應(yīng)的就是長時間內(nèi)變化平緩的總體股價走勢；當(dāng)我們處理的是二維圖像時，高頻分量就體現(xiàn)為隨空間位置的改變而急劇變化的圖像灰度，從視覺的直觀效果來看就是圖像中明顯的邊緣輪廓，而低頻分量就體現(xiàn)為灰度隨空間位置逐漸地、柔和地變化，比如很多人頗為欣賞的所謂的“虛化”的效果。此外，被加性隨機(jī)噪聲污染的圖像，即圖像中的每個像素的灰度值被隨機(jī)地增大或減少，從視覺效果上來看，就是局部的各種“麻麻點點”，而這些噪聲主要被作為高頻污染被人們所察覺。當(dāng)然，要注意的一點是，如果疊加的噪聲是“白噪聲”，那么噪聲分量將遍布整個頻段。實際上，白噪聲名字的由來，就是因為噪聲具有均勻的頻譜（從低頻到高頻的整個頻段上噪聲的幅值相同），與理想的白光的特性相同。

那為什么要將信號轉(zhuǎn)化為頻率分量來處理，或者說為什么要把信號處理的工作由時域（空間域）轉(zhuǎn)化到頻域進(jìn)行呢？這是因為，不同頻率的信號分量在時域（空間域）中的每個時刻（位置）都是完全混疊在一起，從時域的角度來看難以區(qū)分，但是在頻域中，它們則是完全分離的：不同的頻率分量獨(dú)立地位于頻域中的不同位置（頻率）處，因此我們可以有選擇性地單獨(dú)針對某個或某些頻率分量進(jìn)行處理。比如我們現(xiàn)在覺得聲音信號中有高頻噪音，那么通過傅里葉變換，我們便將噪聲主要集中于高頻段，而與中、低頻段的有用信號分離開來，然后通過將高頻段的信號分量設(shè)為0，即取消或”濾除“掉高頻分量，便能夠消除高頻噪聲的影響。

頻域處理尤為有效的領(lǐng)域，是對周期性噪聲的處理。因為隨機(jī)白噪聲遍布整個頻段，而且對于圖像而言，大量有效的視覺信息（邊緣輪廓）本身就主要處于高頻段，因此使用一般的低通或高通濾波，總是會在濾波的同時模糊掉輪廓，或者在增強(qiáng)輪廓附近的圖像對比度的同時強(qiáng)化了噪聲。對于位置不變的線性濾波器而言，這是一對不可調(diào)和的矛盾。但是對于周期性噪聲，它往往集中于某個或某幾個孤立的頻段，因此有可能在不影響大部分有用信號分量的同時，采用”斬首攻擊“的方式去除掉這些噪聲分量。例如?@凌晨曉驥?就給出了典型的例子。而周期性噪聲在時域（空間域）中的處理則很不容易：因為周期性噪聲本身并非”隨機(jī)“噪聲，而是一種確定性的信號成分，因此完全有理由利用這種確定性來盡可能準(zhǔn)確地還原出真實的信號，但是怎么樣選擇適當(dāng)?shù)臑V波鄰域（即參與濾波運(yùn)算的信號采樣點），并采用適當(dāng)?shù)臋?quán)值來進(jìn)行加權(quán)和以完成濾波，在時域中并非顯而易見。相比之下，對于隨機(jī)噪聲的常用時域（空間域）平滑操作則更易于理解和分析：取一個適當(dāng)大小的鄰域，在該鄰域內(nèi)信號的真實值認(rèn)為基本不變，而鄰域所包含的采樣點的數(shù)量又足以通過平均的運(yùn)算來將均值中的噪聲方差降低到所需要的程度，這些都是可以根據(jù)噪聲的分布特性來確定的。

從我個人的工作來看，現(xiàn)在直接利用頻域濾波的情況比較少，更多還是在圖像域（空間域）上來進(jìn)行卷積。當(dāng)然，針對周期噪聲，一種非常好的濾波器設(shè)計思路是首先在頻域中設(shè)計頻域濾波器，然后求該濾波器的逆傅里葉變換，得到其空間形式，然后在空間利用卷積操作完成濾波。這是由于常用的濾波器常常具有緊致的空間分布，即主要的少量權(quán)值都集中在較小的空間范圍內(nèi)，因此可以構(gòu)造出一個較小的空間濾波器，而空間域的卷積操作也可以通過硬件快速實現(xiàn)，例如DSP芯片就專門針對卷積濾波操作優(yōu)化了數(shù)據(jù)存取的流水線結(jié)構(gòu)。

希望上面所說的有助于說明頻域處理的用處。其實應(yīng)該加上些示意圖的，不過最近實在時間緊，以后再補(bǔ)吧。

另外，針對?@林木然?所給出的例子，?@Comzyh?等知友都已經(jīng)指出了其中圖片的不可信。我個人也認(rèn)為，利用頻域的線性低通濾波，不管是對高斯噪聲還是椒鹽噪聲，都不可能取得那樣的去噪效果。實際上，我個人幾乎可以確定，原圖是經(jīng)過椒鹽噪聲污染后，利用中值濾波所得的。而中值濾波作為一種基于排序的非線性濾波器，沒有頻域表達(dá)，因此用在這個題目下面，是完全具有誤導(dǎo)性的。 發(fā)布于 16:58?添加評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 435贊同 反對，不會顯示你的姓名 賀小狗?，1949年山東藍(lán)翔畢業(yè) 435 人贊同 本人非常非常討厭國內(nèi)教材那種很惡心的表達(dá)方式，總之就是要寫得鬼都看不懂，一上來就跟你掰公式，完全不告訴你這是什么東西，為什么要這么做，有什么用，基本原理是怎樣的，對初學(xué)者非常不友好。清華大學(xué)出版社嘛，一群老頭子在編的書，編。既然是編的書，肯定無需對讀者負(fù)責(zé)，作者只需要寫好他要寫的章節(jié)，結(jié)果到頭來整一本書像字典，要不然也體現(xiàn)不了他們水平。

你看看樓上那些表達(dá)，基本都是深受這類所謂教材毒害的表現(xiàn)。

信號，比如生活中一個聲音信號，整個波形是混亂看不出規(guī)律的。但是傅立葉就說，其實一個信號再怎么亂，也不過是由簡單波形的組合而來的，比如正弦波。高頻率，低頻率的正弦波，按不同比例調(diào)配起來能得到你最終要的那個混亂不堪的聲音信號（就是這么神奇）。聲音信號千千萬，只是取決于比例有千千萬。

也就是說，信號是可以分解的，分解成一組簡單信號。比如你站在汽車旁邊，發(fā)動機(jī)發(fā)出低沉的聲音，而此時有只蜜蜂在你耳邊嗡嗡嗡發(fā)出高頻率的聲音。那你此時耳朵聽到的不是兩個，而是一個聲音，即蜜蜂的高頻跟發(fā)動機(jī)的低頻混合在一起的一個聲音。

這個信號混亂不堪，但是傅立葉說，其實可以用一個方法，分析出這個信號各個頻率的比例是多少的。

傅立葉變換，就是這個方法了。

學(xué)過高中物理的同學(xué)都知道了，電路中電感跟電容有兩個很特別的屬性，電感是高通低不通，高頻電流過得去，低頻電流被過濾掉，電容則相反。電感跟電容可以組合起來，用來過濾信號，但是怎么組合呢，濾掉多高的頻率，濾掉多低的頻率，數(shù)值從哪里去取呢，看傅立葉變換一個信號后得到的頻率比例圖，你就好做決定了。

有什么用呢，比如你在錄音，麥克風(fēng)質(zhì)量不大好，始終有個固定的高頻電流聲（吱吱吱），于是最終的音頻文件記錄下來的信號就是你的聲音跟電流聲混在一起的那么一個信號。這個時候你就可以在電腦上用傅立葉來分析看看，過濾掉頻率過高的不可能是人發(fā)出的，然后提取出純粹的人聲。

數(shù)字圖片中，一個顏色有一個值，比如紅色跟藍(lán)色就是用不同值表示。你拍了一張藍(lán)天的照片，畫面基本就是藍(lán)的，但相機(jī)不大好，出現(xiàn)噪點，噪點是紅色的。把這張照片的像素從左到右從上到下一個個，類似柱狀圖那樣把顏色值表示出來，就變成了一個信號波形（Photoshop 有提供這功能），波形總體就是平緩的一個波形，因為都是差不多的顏色，顏色值差不遠(yuǎn)。但就是有一個尖峰，尖峰其實就是那個紅色噪點。一個信號會出現(xiàn)尖峰，說明這個地方混入了高頻率信號。這時傅立葉分離高低頻率的能力就可以拿來圖片降噪了。 編輯于 2014-11-19?63 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 1贊同 反對，不會顯示你的姓名 hearts zh 1 人贊同 目前的回答大部分都是應(yīng)用。本質(zhì)感覺都沒有很直白的解釋出來。容我嘗試講解一下。

1. 傅里葉級數(shù) (Fourier Series)

要理解傅里葉變換，就要從傅里葉級數(shù)說起。

傅里葉級數(shù)說：任何周期性函數(shù)（周期為T），都可以看成無數(shù)正弦波（sine wave）相加。公式如下。



其中?,?,?, 根據(jù)不同而不同（可以算出來）。

可以看出，這無數(shù)的正弦波的頻率分別為，。

目前為止應(yīng)該容易理解，不深入了。

要注意的是，以上公式可以寫成以下形式，



虛數(shù)的引入是什么鬼？只是為了表達(dá)/計算方便而已，其實2個公式是等價的。是一個復(fù)數(shù)， 當(dāng)n<0時，我們規(guī)定，從負(fù)無窮大到正無窮大相加的時候，i的系數(shù)（也就是虛部）加起來等于0。虛部就沒有了。

,?,?等全部包含在的實部和虛部里了。有轉(zhuǎn)換公式，稍微推一下就能推出來。

當(dāng)n>0時，?


2. 傅里葉變換 (Fourier Transform)

傅里葉級數(shù)其實不難理解了，傅里葉變換又是什么？ 事實上，現(xiàn)實生活中的信號，聲音也好，電視手機(jī)信號也好，很少有周期為T的周期函數(shù)。如果一個函數(shù)是非周期函數(shù)，又如何？

我們想象非周期函數(shù)，可以等價于周期T是無窮大的一個周期函數(shù)。

當(dāng)周期T無窮大時，意味著上面的公式?其實變成了一個積分。

事實上，你也確實可以找到一個公式，讓左右兩邊相等。



其中，f是實數(shù)，x是實數(shù)，c(f)是f的函數(shù)，是復(fù)數(shù)。很容易理解，傅里葉級數(shù)公式里的n/T變成了連續(xù)的f，也變成了連續(xù)的函數(shù)c(f)。

其中，我們定義 c(f)為 s(x)的傅里葉變換。

3. 頻域是什么？

是什么？是的系數(shù)。

是什么？

， 代表了頻率是f的正弦/余弦波。

就是說，s(x)可以看成無數(shù)正弦余弦波積分而成，頻率是f的波的系數(shù)是 c(f)。?

（其實并不是，例比傅里葉級數(shù)中才是真正的系數(shù)，而只是為了計算方便而引出的一個系數(shù)。當(dāng)然在實際應(yīng)用中如果不變，對的縮放其實相當(dāng)于對等比例縮放）。

我們一般將傅里葉變換后的c(f)稱作頻域（復(fù)數(shù)值）。

對于聲音（時域信號），c(f)可以看成不同聲音頻率段的相對強(qiáng)弱。

對于任意其他非時域信號（x不是時間t），我們?nèi)匀豢梢钥闯稍盘杝(x)是由不同頻率的正弦余弦波疊加而成，只不過這個頻率f并不能像聲音的頻率一樣在原信號中有直觀的物理表現(xiàn)。


5. 2D-傅里葉變換

圖像的傅里葉變換？圖像的c(x)是什么？我們電腦上存的圖像不是一維的。怎樣進(jìn)行變換? 這里就是2D的延伸。





c(u, v)是函數(shù)s(x, y)的二維傅里葉變換。可以看成是無數(shù)二維正弦余弦函數(shù)（例如?)的疊加。

從數(shù)學(xué)上來說和1維沒有本質(zhì)區(qū)別。傅里葉變換之后得到的是2維的函數(shù)，橫軸縱軸的u和v分別看成橫軸和縱軸的頻率f，就是2D頻域。

6. 傅里葉變換應(yīng)用

其實應(yīng)用是非常廣泛的。

大部分人舉例的，基本都是信號處理（將原信號變換一下，變換后的信號在不同頻率段做不同處理，例如某個頻率段完全過濾掉，再變換回原信號）。對應(yīng)聲音來說，可能就是某個低頻段的噪音被去掉了，原聲音會更清楚。對于圖像來說，看各個答主舉得例子更直白。

對于通訊來說，傅里葉變換有另一個應(yīng)用，也就是著名的OFDM。

假設(shè)你有一段信息，需要2kbps的速度傳輸出去。就是說你要每 0.5 毫秒，傳輸一個bit （也就是1或者0）。從調(diào)制的角度來說，可以用大小（1是大功率，0是小功率），可以用相位（1是pi, 0是2pi）等等來傳輸這段信號。

你也可以把信號分成2個不同的頻率段來傳輸， 1個頻率（假設(shè)周期為T，頻率是f的正弦波）傳輸 1kbps，另一個頻率（例如周期為T/2，頻率是2f的正弦波）傳輸1kbps。你真正傳輸?shù)臅r候呢，這2個頻率段是疊加在一起傳輸出去的。怎樣疊加呢？

s1 = (data1)*sin(...*f*t...)
s2 = (data2)*sin(...*2f*t...)
疊加信號 = s1 + s2?

看到了嗎？data1和data2其實是傅里葉變換后頻域上的值，將疊加信號傅里葉變換一下，就得到data1和data2，將data1和data2反傅里葉變換一下，就得到疊加信號。

如果你有data1和data2，進(jìn)行一個反傅里葉變換，然后將結(jié)果信號發(fā)出去，信號接收端直接傅里葉變換，就得到data1和data2。

這就是ofdm的基本原理了。 發(fā)布于 17:05?1 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 517贊同 反對，不會顯示你的姓名 林木然?，逛盡天地失去安穩(wěn)，認(rèn)錯了方向顛倒快感 517 人贊同 P.S.畢業(yè)后再也沒寫過代碼了，都是靠記憶+百度寫的，想表達(dá)的是頻率域處理圖像的思路，如果細(xì)節(jié)表述有誤請大家輕拍指出來就好。
P.S.又P.S. 圖像是網(wǎng)上找的，如有侵權(quán)請指出來，立刪。原圖應(yīng)該是先添加了噪聲后再去處理，所以效果會很明顯，實際操作過程中還要看具體情況，不詳述了。
P.S.又P.S.又P.S.不少同學(xué)站出來拍我的這個答案有問題，前面已經(jīng)解釋了，我是靠回憶+百度搜圖的，我只能說從圖像域轉(zhuǎn)到頻率域來修圖這個思路是完全沒有問題的，但可能給出的示意圖存在誤導(dǎo)。但是我也暫時不修改了，畢竟畢業(yè)之后就開始做了marketing，coding這些東西真的快忘光了，現(xiàn)在還真的沒有精力去嚴(yán)謹(jǐn)?shù)厍笞C這件事。初衷只是想分享一些好玩的數(shù)學(xué)思路，但經(jīng)不起大牛們的仔細(xì)推敲，所以請別再點贊，大家讓這個答案自然冷卻就算了吧。

——————————————以下是原答案——————————————
用來美顏！美顏！美顏！
重要的事情說三遍。

沒錯傅里葉變換很重要的一個應(yīng)用領(lǐng)域就是數(shù)字圖像處理，就是我們常說的磨皮美顏。
簡單來說原理是這樣的：

（1）基于傅里葉變換，把一張圖片從?圖像域?轉(zhuǎn)化為?頻率域。

所謂圖像域，就是我們?nèi)粘？吹降膱D片，長這樣：

而根據(jù)傅里葉變化，這張圖可以用一系列的不同頻率的函數(shù)的疊加來表示，圖片從圖片本身，變成了一個公式：Pic=A+B+C，于是這張圖片就變成了這樣：

雖然看起來很不可思議，總而言之上面兩張圖是同一個信息的兩種表現(xiàn)方式。
如果太難理解，可以想象一下，一首歌可以是你用耳朵聽到的聲音組合，但是在很多播放器里會出現(xiàn)這種樣子：

經(jīng)過傅里葉變換會變成這樣：

也成了多種頻率波形的組合。
（感謝@Y ing?提醒，原來的配圖只是時域的圖）

（2）去掉 頻率域 里面?高頻?的部分。
回到（1）中的原圖，各種噪點，如果在圖片中去噪（也就是磨皮），你就需要一點一點地?fù)傅?#xff0c;非常麻煩。但那張圖片到了頻率域中，所有獨(dú)立的噪點都變成了高頻函數(shù)表現(xiàn)的部分。
（對于一幅圖像，高頻部分代表了圖像的細(xì)節(jié)、紋理信息；低頻部分代表了圖像的輪廓信息。）

于是在頻率域圖片里，我們把高頻函數(shù)直接砍掉。假設(shè)原來是Pic=A+B+C，C是高頻部分，那么去掉C之后，Pic=A+B，頻率域的樣子就變成了這樣：


（3）把Pic=A+B再轉(zhuǎn)回圖像域，所有的噪點就消失了，瞬間美美噠。

于是如你所見，傅里葉變換拯救了無數(shù)的妹紙。 編輯于 11:17?61 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 6贊同 反對，不會顯示你的姓名 朱元 6 人贊同

這個方程的根構(gòu)造一個乘法循環(huán)群。 然后可以構(gòu)造一個正反對稱的蝶形變換。由于正反變換對稱，一個硬件就可以方便的進(jìn)行2種變換（輸入輸出反接即可），而且復(fù)雜度是nlogn。 唔變換出來的結(jié)果有什么用呢？

化時間為XX，化XX為時間。這是最常見的用途。

時間很難進(jìn)行“分配”，或者說很難準(zhǔn)確的“分配”，雖然現(xiàn)在GPS提供的精確定時服務(wù)已經(jīng)在3G 4G上使用，但是往往使用的成本都很巨大。那與其分配時間（時隙）不如分配時間的某種變換。

比方說我行政命令北京時間奇數(shù)豪秒允許聯(lián)通用戶通信，偶數(shù)毫秒允許移動用戶通信，這樣的劃分無疑太不方便了，而且哪怕是高精度的石英晶振，依然會逐漸累積誤差，很難去糾正。一但產(chǎn)生的誤差足夠大，就會影響到別人。而且用戶的手機(jī)不能停電，必須時鐘一直在走，記錄自己是在偶數(shù)還是奇數(shù)毫秒，否則就會失去同步。

那我們可愛的先人發(fā)現(xiàn)了，可以對時間進(jìn)行蝶形變換，變換成XX，然后把時間誤差變化為一個叫做“相位誤差”的東西（這個叫“相位”的東西，單位是時間乘以XX的單位）。這下好了，某個XX上的時間誤差只會影響到他自己的“相位”。如果對XX進(jìn)行分配，那么時間誤差就各歸各，不會影響到別人了。

當(dāng)然問題來了，XX的分配能不能比時間精確呢（不然“時間漂移”的問題又會轉(zhuǎn)移為“XX漂移”）？可愛的電子先驅(qū)們成功的做到了這一點。用各種線圈，電容器，硬是找到了一種可以很精確進(jìn)行分配的“運(yùn)算中間值”。他們給這種玩意兒XX稱呼為“頻率”。這里面的重大成果包括運(yùn)算放大器，天線，濾波器等等（運(yùn)算，分配，獲得分配的結(jié)果）。這些東西他們的參數(shù)設(shè)計合理的話（沒有正反饋），可以和時間無關(guān)，通電之后就可以正常使用（無狀態(tài)的負(fù)反饋會讓元器件收斂到工作參數(shù)條件下，精確頻率付出的成本比精確定時的成本小多了。而且最重要的是，誤差不會隨時間累積！！）

有的人可能會說，頻率是客觀存在的，不是人為發(fā)明和定義的，女人和男人的聲音天生就有某種不同，藍(lán)光和紅光也只有“某種”不同。沒錯，這證明了大自然的巧奪天工，也證明了對人類“頻率”這樣一個虛無的東西的定義是合乎自然法則的。

。這個東西的結(jié)果絕對不僅僅限定ｘ為復(fù)數(shù)，如果ｘ定義在其它域上，你會知道上面的方法在很多地方都有廣泛的用途，所以這種蝶形變換有很多種變形，什么離散傅立葉變換，有限域傅立葉變換，哈達(dá)瑪變換，，，。自己多看看吧。 編輯于 2015-04-30?添加評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 4贊同 反對，不會顯示你的姓名 說說?，計算機(jī)碩士 4 人贊同 數(shù)據(jù)可以看作一個函數(shù)，這個函數(shù)轉(zhuǎn)換為傅里葉級數(shù)后，可以去掉一些影響很小的級數(shù)，從而實現(xiàn)數(shù)據(jù)的壓縮 發(fā)布于 2014-08-26?添加評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 6贊同 反對，不會顯示你的姓名 趙越?，未來的通信是CT和IT的融合的時代 6 人贊同 作者：趙越
鏈接：傅立葉變換，時域，頻域 - 趙越的文章 - 知乎專欄
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目錄

信號分析方法概述
時域
頻域
時域與頻域的互相轉(zhuǎn)換?
傅立葉變換 原理
傅立葉變換 分類
傅立葉級數(shù)的五個公式(周期性函數(shù))
傅立葉積分(非周期性函數(shù))
振幅譜和相位譜的關(guān)系
功率譜
傅立葉變換推導(dǎo)出：時移原理與頻移原理，對偶性質(zhì)
時間-頻率 間的對應(yīng)關(guān)系。
對應(yīng)關(guān)系1：時間變化速率(即時域信號的變化速率) 與 頻譜 呈正比關(guān)系
對應(yīng)關(guān)系2，時間周期T 與 頻譜 ：呈反比關(guān)系
對應(yīng)關(guān)系3：脈沖寬度 與 頻譜：呈反比關(guān)系
用脈沖寬度 定義帶寬
頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜 與 周期性函數(shù)的頻譜
周期函數(shù)、非周期函數(shù)的頻譜總結(jié)，與對稱頻譜的意義
離散傅立葉變換與抽樣：時域的抽樣點數(shù)與頻域點數(shù)的關(guān)系
傅立葉變換與正交性
傅立葉變換的 思想總結(jié)與優(yōu)點

時域 的物理意義
頻域 的物理意義?
1，頻域 的物理意義
2，傅立葉變換與諧波
3，傅立葉反變換與諧波疊加
4，帶寬與時鐘頻率、脈沖寬度
關(guān)鍵技術(shù)點解釋
1，IFFT反變換后各諧波如何疊加在一起？
2，什么是正交?正交的條件是什么?傅立葉變換后的諧波為什么一定是正交的?傅立葉反變換之前的頻譜要滿足什么條件??
3，為什么說時域上波形急劇變化，頻域上就有很高的頻率分量
4, 頻域中幅值 與時域中的幅值 有什么關(guān)系？
5，采樣
傅立葉變換的缺點

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信號分析方法概述

通信的基礎(chǔ)理論是信號分析的兩種方法：1 是將信號描述成時間的函數(shù)，2是將信號描述成頻率的函數(shù)。

也有用時域和頻率聯(lián)合起來表示信號的方法。時域、頻域兩種分析方法提供了不同的角度，它們提供的信息都是一樣，只是在不同的時候分析起來哪個方便就用哪個。

思考：
原則上時域中只有一個信號波（時域的頻率實際上是開關(guān)器件轉(zhuǎn)動速度或時鐘循環(huán)次數(shù)，時域中只有周期的概念），而對應(yīng)頻域（純數(shù)學(xué)概念）則有多個頻率分量。
人們很容易認(rèn)識到自己生活在 時域與空間域 之中（加起來構(gòu)成了三維空間），所以比較好理解 時域的波形（其參數(shù)有：符號周期、時鐘頻率、幅值、相位 ）、空間域的多徑信號也比較好理解。
但數(shù)學(xué)告訴我們，自己生活在N維空間之中，頻域就是其中一維。時域的信號在頻域中會被對應(yīng)到多個頻率中，頻域的每個信號有自己的頻率、幅值、相位、周期（它們?nèi)≈挡煌?#xff0c;可以表示不同的符號，所以頻域中每個信號的頻率范圍就構(gòu)成了一個傳輸信道。

時域中波形變換速度越快（上升時間越短），對應(yīng)頻域的頻率點越豐富。
所以：OFDM中，IFFT把頻域轉(zhuǎn)時域的原因是：IFFT的輸入是多個頻率抽樣點（即 各子信道的符號），而IFFT之后只有一個波形，其中即OFDM符號，只有一個周期。

時域

　時域是真實世界，是惟一實際存在的域。因為我們的經(jīng)歷都是在時域中發(fā)展和驗證的，已經(jīng)習(xí)慣于事件按時間的先后順序地發(fā)生。而評估數(shù)字產(chǎn)品的性能時，通常在時域中進(jìn)行分析，因為產(chǎn)品的性能最終就是在時域中測量的。

　　時鐘波形的兩個重要參數(shù)是時鐘周期和上升時間。

時鐘周期就是時鐘循環(huán)重復(fù)一次的時間間隔，通產(chǎn)用ns度量。時鐘頻率Fclock，即1秒鐘內(nèi)時鐘循環(huán)的次數(shù)，是時鐘周期Tclock的倒數(shù)。　　Fclock=1/Tclock　　上升時間與信號從低電平跳變到高電平所經(jīng)歷的時間有關(guān)，通常有兩種定義。一種是10-90上升時間，指信號從終值的10%跳變到90%所經(jīng)歷的時間。這通常是一種默認(rèn)的表達(dá)方式，可以從波形的時域圖上直接讀出。第二種定義方式是20-80上升時間，這是指從終值的20%跳變到80%所經(jīng)歷的時間。　　時域波形的下降時間也有一個相應(yīng)的值。根據(jù)邏輯系列可知，下降時間通常要比上升時間短一些，這是由典型CMOS輸出驅(qū)動器的設(shè)計造成的。在典型的輸出驅(qū)動器中，p管和n管在電源軌道Vcc和Vss間是串聯(lián)的，輸出連在這個兩個管子的中間。在任一時間，只有一個晶體管導(dǎo)通，至于是哪一個管子導(dǎo)通取決于輸出的高或低狀態(tài)。

假設(shè)周期矩形脈沖信號f(t)的脈沖寬度為τ，脈沖幅度為E,重復(fù)周期為T，

頻域

頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。時域是惟一客觀存在的域，而頻域是一個遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇。

正弦波是頻域中唯一存在的波形，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對頻域的描述，因為時域中的任何波形都可用正弦波合成。這是正弦波的一個非常重要的性質(zhì)。然而，它并不是正弦波的獨(dú)有特性，還有許多其他的波形也有這樣的性質(zhì)。正弦波有四個性質(zhì)使它可以有效地描述其他任一波形：　　（1）時域中的任何波形都可以由正弦波的組合完全且惟一地描述。　　（2）任何兩個頻率不同的正弦波都是正交的。如果將兩個正弦波相乘并在整個時間軸上求積分，則積分值為零。這說明可以將不同的頻率分量相互分離開。　　（3）正弦波有精確的數(shù)學(xué)定義。　　（4）正弦波及其微分值處處存在，沒有上下邊界。　　使用正弦波作為頻域中的函數(shù)形式有它特別的地方。若使用正弦波，則與互連線的電氣效應(yīng)相關(guān)的一些問題將變得更容易理解和解決。如果變換到頻域并使用正弦波描述，有時會比僅僅在時域中能更快地得到答案。　　而在實際中，首先建立包含電阻，電感和電容的電路，并輸入任意波形。一般情況下，就會得到一個類似正弦波的波形。而且，用幾個正弦波的組合就能很容易地描述這些波形，如下圖2.2　　所示：

時域頻域圖冊_百度百科

圖2.2 理想RLC電路相互作用的時域行為

頻域的圖如下?\

時域與頻域的互相轉(zhuǎn)換

　時域分析與頻域分析是對模擬信號的兩個觀察面。時域分析是以時間軸為坐標(biāo)表示動態(tài)信號的關(guān)系；頻域分析是把信號變?yōu)橐灶l率軸為坐標(biāo)表示出來。一般來說，時域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡練，剖析問題更為深刻和方便。

時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系是：時域里一條正弦波曲線的簡諧信號，在頻域中對應(yīng)一條譜線，即正弦信號的頻率是單一的，其頻譜僅僅是頻域中相應(yīng)f0頻點上的一個尖峰信號。

按照傅里葉變換理論：任何時域信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的疊加。

1、正弦波時域信號是單一頻率信號；
2、正弦波以外的任何波型的時域信號都不是單一頻率信號；
3、任何波型都可以通過不同頻率正弦波疊加得到；

解釋1：

初學(xué)者一個經(jīng)常的困惑是：無法理解信號為何會有多個頻率，加上許多書中的描述不夠嚴(yán)謹(jǐn)，比如：語音信號的頻率是在4k以下，是3~4千赫正弦波。

正確的解釋是：一個信號有兩種表示方法，時域和頻域。在時域，信號只有周期，正是因為有了 傅立葉變換 ，人們才能理解到信號頻域的概念。（先有傅立葉變換的結(jié)果才讓你認(rèn)識到聲音信號里包含了某種頻域的正弦波,它僅僅是聲音信號里的一個分量.用你的眼睛你可能永遠(yuǎn)看不出這些幅度變動里包含了你所熟悉的3~4KHZ的正弦波!）

注：大家應(yīng)牢記：頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實的，而是一個數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域?qū)嶋H上是時域信號進(jìn)行傅立葉變換的數(shù)學(xué)結(jié)果。通過數(shù)學(xué)方法，可以更方便的觀察到信號內(nèi)含的信息、可以分解合成信號。

無線通信中傳輸資源包括了時間、頻域、空間等。

時間比較好理解，就是：時間周期1發(fā)送符號1，時間周期2發(fā)送符號2.。，時域的波形可以用三角函數(shù)多項式表示，函數(shù)參數(shù)有：時間、幅度、相位。在載波傳輸中，載波信號由振蕩器產(chǎn)生，它的時鐘頻率是固定的，倒數(shù)就是 時間周期。

頻域比較難理解，按傅立葉分析理論，任何時域信號都對應(yīng)了頻域的若干頻率分量（稱為諧波）的疊加，頻域的頻率與時域的時鐘頻率不同。可以認(rèn)為：時域不存在頻率，只存在時間周期。信號處理與通信中所指的頻率一般都是指 頻域的頻率分量。而每個頻率分量都可從數(shù)學(xué)意義上對應(yīng)時域的一個波形（稱為諧波，基波是一種特殊的諧波，它的頻率與時域波形的時鐘頻率相同） 。

因為載波一般都是正弦波，所以定義 信號在1秒內(nèi)完成一個完整正弦波的次數(shù)就是信號的頻率（以Hz為單位)，即1Hz。 時間周期T=1/f。
載波的功能參見 調(diào)制解調(diào) 部分內(nèi)容。這里可以先不理解何為載波，關(guān)鍵是時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系。
以這個時域波形為例

設(shè)時域波形（圖中的 合成波）的時間周期=T（如2秒），其時鐘頻率則為f0=1/2 Hz。那么基波的頻率、周期與合成波一樣。每個諧波之間頻率間隔=基波頻率。

而諧波1的頻率f1=1/2+1/2=1Hz，周期T1=1。

諧波2的頻率f2=1+1/2=3/2 Hz，周期T2=2/3。。。。

諧波8的頻率f8=1/2+(1/2)*8=4.5Hz，周期T8=0.2222

在頻域中，每個頻率分量都有自己的幅度與相位。按諧波的頻率、幅度、相位信息可以得到諧波所對應(yīng)時域的波形。

將各諧波的時域波形疊加起來，即得到 時域中 合成波。

解釋2： 時域信號的數(shù)據(jù)傳輸速率，常用 bps，如100Kbps，指1s內(nèi)傳輸了100K bits的二進(jìn)制數(shù)據(jù)。即：時域的傳輸效率。
引入頻域后，帶來一個新的數(shù)據(jù)：頻譜效率，作為 頻域的傳輸效率。如 80bps/Hz 指1Hz頻率上能傳輸80bps數(shù)據(jù)。

按信息論，帶寬越大，數(shù)據(jù)速率越高。

解釋3：

為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢？如我們也還可以用方波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單，因為正余弦擁有原信號所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。

注：此處仍要牢記：頻域是數(shù)學(xué)構(gòu)造，只要有助于我們分析信號，對應(yīng)的數(shù)學(xué)方法 就是有用的。

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傅立葉變換 原理

傅立葉變換 分類

根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別：

周期性連續(xù)信號 傅立葉級數(shù)(Fourier Series)?
非周期性連續(xù)信號 傅立葉變換（Fourier Transform）?
非周期性離散信號 離散時域傅立葉變換（Discrete Time Fourier Transform）?
周期性離散信號 離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform) -DFT

下圖是四種原信號圖例：

這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負(fù)無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機(jī)處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。

面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅立葉變換的方法。

還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號就變成了周期性離解信號，這時我們就可以用離散傅立葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運(yùn)用計算機(jī)來處理信號的。
但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線來表示，這對于計算機(jī)來說是不可能實現(xiàn)的。所以對于離散信號的變換只有離散傅立葉變換（DFT）才能被適用，對于計算機(jī)來說只有離散的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到，在計算機(jī)面前我們只能用DFT方法，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得到或怎樣得到是無意義的。
每種傅立葉變換都分成實數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對于實數(shù)方法是最好理解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識，不過，如果理解了實數(shù)離散傅立葉變換(real DFT)，再去理解復(fù)數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。
還有，這里我們所要說的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對于離散數(shù)字信號處理（DSP），有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。

傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。?
和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。該反變換從本質(zhì)上說也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。

傅立葉級數(shù)的五個公式(周期性函數(shù))

傅立葉（19世紀(jì)的法國人)認(rèn)為：任何周期函數(shù)f(t)總是可以變成下面的傅立葉級數(shù) （傅立葉公式1）

它等價于下面的公式

（傅立葉公式2）

兩個公式的關(guān)系是：

公式中a0,an、bn都是常數(shù)。AkCosWkt+BkSinWkt即時域信號的第k個頻率分量對應(yīng)的正弦波（即諧波）表示。an,bn也稱為傅立葉系數(shù)。

時域的信號用f(t)表示，下面介紹這個信號如何轉(zhuǎn)換到頻域的表示方法。

因為三角函數(shù)間有正交關(guān)系，如下

1，兩個不同三角函數(shù)的乘積在[-pi,+pi]上的定積分為0。即正交。

2，兩個相同函數(shù)的乘積在[-pi,+pi]上的定積分為2Pi或pi.

解釋：上圖中的x對應(yīng)傅立葉公式中的時間參數(shù)t。pi可對應(yīng)時間周期T。

首先：我們考慮如何對于 時域信號f(t) 分解出其中的各個子信號(子諧波)：AkCosWkt+BkSinWkt。

然后可以得到各個諧波在頻域的表示方法:頻率W，幅度Cn、相位。這三項就是傅立葉變換的結(jié)果：頻域信號表示

按上述的三角函數(shù)關(guān)系，要得到ak，就把f(t)乘以coswkt，并在整個周期內(nèi)取積分。得

圖中的an

就是 ak.

得到（下圖中的an

就是 ak.）

根據(jù)AkCosWkt+BkSinWkt這個波形的表示方法可以推導(dǎo)出：

1, 就是這個正弦波的最大幅值（最大振幅）(也即幅值頻譜圖的y軸)。

2, 就是這個正弦波的相位。

經(jīng)過簡單的三角函數(shù)運(yùn)算，可以得到傅立葉級數(shù)f(t)的另一個表達(dá)方式：

（傅立葉公式3）

它可以更方便的計算出振幅 和相位 （分別對應(yīng) 幅度譜與相位譜）

傅立葉級數(shù)f(t)的另一種表示方式是?復(fù)指數(shù)形式,它也是最簡捷的表達(dá)方式。

（傅立葉公式4）?
Cn是復(fù)數(shù)，定義為

從上面的f(t)推導(dǎo)出 復(fù)指數(shù)形式 的過程略，基本思想是利用了歐拉公式e^jx = cos(x) + jsin(x)

及

解釋：頻域分量轉(zhuǎn)成的時域信號都是復(fù)信號（含實部與虛部），雖然實際信號都是實的。

實際上信號的傳輸都用實信號，而接收信號的處理中則使用復(fù)信號。

三角函數(shù) 運(yùn)算法則是： ，

從上面的 復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)公式 中，可以直接得到各子頻率分量對應(yīng)正弦波（諧波）的振幅 和相位。

復(fù)指數(shù)傅立葉級數(shù)公式（傅立葉公式4 ） 可以推導(dǎo)出三角函數(shù)形式

傅立葉公式5

另外，在 傅立葉公式4 中看起來出現(xiàn)了“負(fù)頻率”，但實際上它們是不存在，只是數(shù)學(xué)的一種表示方法。

所以在 傅立葉公式5 中就消除了“負(fù)頻率”

這里給出了五種 傅立葉級數(shù)f(t)的表示方式，它們都是等價的，并可互相推導(dǎo)出來。

傅立葉積分(非周期性函數(shù))

非周期性函數(shù)使用傅立葉積分來得出頻譜。

因為這個函數(shù)總可以在時間間隔之外按其本身形狀來重復(fù)，這里可使用傅立葉級數(shù)來計算頻譜。而當(dāng)時間間隔不斷增大，在極限情況下就變?yōu)楦盗⑷~積分。
考慮一個周期函數(shù)f(t)，用傅立葉級數(shù)表示。

其頻譜圖如下，

其相鄰各諧波頻率之間間隔為?
所以這個f(t)可以寫為，將△W代入原f(t)公式而得。

當(dāng)T->無窮大時，，而Wn也->0，所以 頻譜會由 離散頻率點 變?yōu)檫B續(xù)頻譜。則Cn作為諧波Wk的幅值也會變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)F(w)

則我們得到?非周期函數(shù)f(t) 的傅立葉積分表示方法f(t)。

非周期函數(shù)f(t)的時域、頻域圖 舉例如下：

把F(w)的計算公式稱為 傅立葉積分 公式。F(w)稱為 f(t)的傅立葉變換。f(t)公式即傅立葉反變換公式。
F(w)與f(t)的計算公式 看起來很像，甚至可以互相調(diào)換f(t)與F(w).
由F(w)公式得出時域信號f(t)的頻率分量。頻率、頻譜 從本質(zhì)上說是某種數(shù)學(xué)抽象。

振幅譜和相位譜的關(guān)系

上面的頻譜圖實際上是振幅譜，看不出相位與頻率間的關(guān)系。

F(w)是頻率的復(fù)函數(shù)。F(w)也可分解為振幅譜和相位譜。

,它隨頻率變化。

它們有奇怪的對稱性。振幅譜是頻率的偶對稱函數(shù)。相位譜是頻率的奇對稱函數(shù)。

可以推導(dǎo)出：

即相位就是

解釋：時域中的相位，與頻域中的相位完全不同。

頻域中相位是指各諧波的相位，它隨頻率而時間變化。

所以：

1，頻域中完全看不出時間，只有諧波的各 頻率、幅值、相位 。這些諧波在 非穩(wěn)定信號中 可能并不會在所有時間中存在，這是另一個信號處理領(lǐng)域的問題。

2，時域信號中看不出頻率，只有各諧波疊加后的信號。

時域信號的周期=各諧波信號中的最大周期，即基波的周期。頻率也相當(dāng)于基波的頻率。相位則是各諧波疊加后形成（相位在時域與頻域 沒有固定的、可按公式計算出的關(guān)系）。

時域信號的一個周期中的 符號 包括了以下信號的疊加（且可通過正交分解出來）：

一個基波在一個周期內(nèi)的符號，一次諧波在2個周期內(nèi)的符號，二次諧波在3個周期內(nèi)的符號，三次諧波在4個周期內(nèi)的符號。。。

在快速傅立葉變換中，因為時域抽樣點必須是2的K次方，所以偶次諧波的幅值總為0，即不攜帶信息或空符號

功率譜
從電路分析可知，如

代表1歐電阻上的電壓，則在此電阻內(nèi)損耗的平均功率為（An

2 +Bn 2 )/2 瓦。
所以振幅頻譜的平方就是不同頻率上（n=0,1,2...)1歐電阻內(nèi)所損耗功率的測量。
各個頻率上的功率相加，就得到周期性電壓加到電阻上的平均損耗功率。

任意電壓f(t)加到1歐電阻上的瞬時功率就是｜f(t)｜

2

傅立葉變換推導(dǎo)出：時移原理與頻移原理，對偶性質(zhì)

傅立葉變換有兩個重要的原理：

1，時間移位原理

將時域時間原點從t=0處移到t=t0處，則相當(dāng)于頻域F(w)的相移 ，即

2，頻譜搬移原理
如果F(w)的角頻率移動了W0弧度/秒，則f(t)要乘上 ，即：

推導(dǎo)公式是：

在調(diào)制技術(shù)中，信號f(t)要調(diào)制到載波上產(chǎn)生的頻率移動，即通過上述關(guān)系確立。
基帶信號(帶有信息)f(t)對載波信號CosW0t的調(diào)幅結(jié)果（即已調(diào)制信號），可表示為?
f0=W0/2pi，為時域載波信號的頻率
已調(diào)制信號的傅立葉變換結(jié)果為：
即：調(diào)制之后，f(t)的頻譜被移動了，

比如：先將一段音樂的離散時間信號做傅里葉變換(FFT)，再將得到的頻譜向高處搬移，最后做傅里葉反變換(IFFT)，恢復(fù)到時域，聽到的聲音會比原來的聲調(diào)高。

時間-頻率 間的對應(yīng)關(guān)系

對應(yīng)關(guān)系1：時間變化速率(即時域信號的變化速率) 與 頻譜 呈正比關(guān)系

時域信號波形中，振幅的變化構(gòu)成整個信號的包絡(luò)。
下面是一個調(diào)幅信號在一個周期內(nèi)波形的例子，振幅的變化代表了傳送的信息。

，2A是最大振幅

上式經(jīng)簡單的三角運(yùn)算后，得到

其頻譜如下：

當(dāng)原信息信號變化更快時（Wm增大），使得振幅調(diào)制后的信號也變化更快，邊帶頻率(W0-Wm,W0+Wm)也更遠(yuǎn)的離開載波。
所以：較快速的變化相當(dāng)于較高頻率的變動。

即：時間變化速率增加，頻率也增高了(這點在 上升時間與帶寬 關(guān)系中也可見)

對應(yīng)關(guān)系2，時間周期T 與 頻譜 呈反比關(guān)系

下面用 矩形脈沖序列 來深入討論 時間-頻率之間的關(guān)系。

它的頻譜可以表示成

再寫成

給出一個歸一化的無量綱變數(shù) ，則

函數(shù) sinx/x 在x=0處有最大值，此處sinx->x, (sinx/x)->1，而當(dāng)x->無窮大時，它->0
函數(shù) sinx/x 的形狀如下

因為n是離散的，所以Wn也取離散值（W1=2pi/T的各諧波），所以 歸一化參數(shù)x也是離散點，但Cn的包絡(luò)無疑與上圖一致。

雖然周期函數(shù)包括有基本頻率的所有整數(shù)倍的頻率分量，但在較高頻率上，振幅的包絡(luò)減小。并且基本周期T越小（即每秒的脈沖數(shù)增多），頻率譜線越移越開。
時間函數(shù)比較快速的變化則相當(dāng)于比較高的頻率分量：周期T減少，則頻譜變大（因為 △f=2pi/T 變大）
由于集中在低頻區(qū)的譜線有較高的幅度，所以這個周期波所具有能量的大部分都分布在較低的頻率分量上。

當(dāng)函數(shù)變化增快（T減小）時，在較高頻率范圍內(nèi)所包含的能量所占的比重將增大。

對應(yīng)關(guān)系3：脈沖寬度 與 頻譜：呈反比關(guān)系

從上圖可見，隨著脈沖寬度 的減少，信號的頻率分量分布的更寬

思考：因為 那么因為sinxx的圖形不變，當(dāng)sinxx=0時的x不會變，則此時 減少，表示W(wǎng)n會變大。

同時在 處的第一個零交點在頻率軸上移遠(yuǎn)。
因此，在 脈沖寬度或持續(xù)時間 與脈沖的頻率展布 之間，有反比關(guān)系存在。

用脈沖寬度 定義帶寬
如 （即很窄的脈沖），則大部分信號能量將落在下式的范圍內(nèi):
這個點也當(dāng)作信號的帶寬。

解釋：上面三點其實與 上升時間越小，對應(yīng)帶寬越大 的關(guān)系是一致的。

頻譜、幅度譜、相位譜、功率譜 與 周期性函數(shù)的頻譜

頻譜就是時域信號經(jīng)過傅立葉變換后的復(fù)信號；因為Cn是復(fù)數(shù)。
幅度譜就是復(fù)頻譜取幅度后得到的幅度與頻率之間的關(guān)系曲線；
相位譜就是復(fù)頻譜取出相位后得到的相位與頻率之間的關(guān)系曲線；
功率譜就是功率與頻率之間的關(guān)系曲線。

周期性函數(shù)按上面傅立葉級數(shù)的推導(dǎo)方法來得到頻譜（以頻率Wn為x軸、幅值Cn為y軸）

按 傅立葉公式1中定義，可知每個頻率點間的間隔是2Pi/T,那么第0個頻率點即基波，它的頻率=2Pi/T。T是時域信號的周期，

所以基波頻率=時域信號的時鐘頻率，基波表示時域信號的直流分量。

從頻譜圖也能看出，相鄰各諧波頻率之間間隔為 ,它就是基波角頻率。

（角頻率與頻率之間就是多了個2pi的關(guān)系，那么 基波頻率就是時域信號的頻率 ）

W0在傅立葉級級數(shù)中用常數(shù)a0表示。周期=2pi/W0.
一次諧波分量W1：周期是基波分量周期的1/2，頻率是基波頻率的2倍。
二次諧波分量W2：周期是基波分量周期的1/3，頻率是基波頻率的3倍。

。。。

所以：頻域各諧波頻率一定是時域信號時鐘頻率的倍數(shù)。

基波的定義是：將非正弦周期信號按傅里葉級數(shù)展開，頻率與原信號頻率相同的量。
在復(fù)雜的周期性振蕩中,包含基波和諧波。和該振蕩最長周期相等的正弦波分量稱為基波。

相應(yīng)于這個最長周期的頻率稱為基本頻率。頻率等于基本頻率的整倍數(shù)的正弦波分量稱為諧波。
周期為T 的信號中有大量正弦波，其頻率分別為1/T Hz、2/T Hz、…、 n/THz，稱頻率為 1/THz的正弦波為“基波”，頻率為等 n/THz（n≠1）的正弦波為n次“諧波”。

解釋： 基波諧波 來自于 原時域信號的頻譜中各頻率點的頻率、相位 在時域中體現(xiàn)為各正弦波，它們疊加在一起形成了原時域信號。

在簡諧振動中，在單位時間內(nèi)物體完成全振動的次數(shù)叫頻率，用f表示。頻率也表示單位時間波動傳播的波長數(shù)。頻率的2π倍叫角頻率，即ω =2πf。

在國際單位制中，角頻率的單位也是弧度/秒。頻率是描述物體振動快慢的物理量，所以角頻率也是描述物體振動快慢的物理量。頻率、角頻率和周期的關(guān)系為ω = 2πf = 2π/t。

在簡諧振動中，角頻率與振動物體間的速度 v 的關(guān)系為v =ωasin( ωt + φ )。
圓周運(yùn)動中的角速度ω與簡諧振動中的角頻率ω，雖然單位相同且都有ω = 2π/T的相同形式，但它們并不是同一個物理量。

角頻率對時間的積分等于相位的改變量。

周期函數(shù)、非周期函數(shù)的頻譜總結(jié)，與對稱頻譜的意義

動態(tài)信號從時間域變換到頻率域主要通過傅立葉級數(shù)和傅立葉變換實現(xiàn)。

周期信號靠傅立葉級數(shù)，非周期信號靠傅立葉變換。兩個域都有自己的測量工具：時間是示波器，頻域是頻譜分析儀。而在一個域進(jìn)行測量，通過換算可求得另一個域的結(jié)果。

傅立葉級數(shù)公式中，Cn表示了各次諧波的振幅隨頻率變化的情況，一般所指的頻譜是幅度譜，指頻率和振幅的關(guān)系，表示每個頻率分量及其所占的比重大小，如振幅大小或功率大小。

周期函數(shù)的頻譜是離散的。它的頻率是一個不連續(xù)的離散值。因為頻譜函數(shù)Cn的公式由傅立葉級數(shù)公式（實際上是一個三角函數(shù)級數(shù)）推導(dǎo)出，其中的n=0,1,2...，n是整數(shù)，那么Wn=W1,W2,W3..Wn也是離散值。
非周期函數(shù)的頻譜是連續(xù)的。由于頻譜函數(shù)F(W)的公式由傅立葉積分推導(dǎo)出，根據(jù)積分的定義，所以：其中的W是連續(xù)變化的。
這說明 非周期函數(shù) 的頻率成分比 周期函數(shù) 的頻率成分豐富。傅立葉級數(shù)、傅立葉積分 可以取出兩種函數(shù)的不同頻率成分及其幅值。

上圖是 共軛復(fù)數(shù) 的出發(fā)點，它說明了頻譜圖中出現(xiàn)的 負(fù)頻率 只是數(shù)學(xué)上的方便寫法。(注：必須記住頻域只有數(shù)學(xué)意義，在現(xiàn)實中是不存在的)

頻譜圖中會得到一個關(guān)于y軸對應(yīng)的頻譜圖。現(xiàn)實中負(fù)頻域是不存在的。這是因為在由傅立葉級數(shù)到指數(shù)形式的轉(zhuǎn)化過程中，歐拉公式對傅立葉級數(shù)系數(shù)重新分析，即Cn對an和bn進(jìn)行了共軛對稱調(diào)整，使得各頻率分量的幅度折半按y軸分配，使之出現(xiàn)了對稱的頻譜和負(fù)頻域形式。

離散傅立葉變換與抽樣：時域的抽樣點數(shù)與頻域點數(shù)的關(guān)系

所謂信息，是指信號隨時間的變化。
奈奎斯特定理已經(jīng)證明。 為了從抽樣信號中無失真的再現(xiàn)原信號，當(dāng)原信號(為頻帶有限的模擬信號)帶寬為BHz時，最小抽樣速率，應(yīng)該為每秒2B個樣值。即抽樣時間間隔=1/2B秒。這些樣值包含了原信號的全部信息。
具體證明過程如下：

以下的信號以頻帶有限的信號。設(shè)其帶寬為BHz。即理想情況下，頻域中，超過f=B就絕對沒有任何頻率分量（實際波形中，超過BHz后，頻率分量幅度迅速下降，也可視為信號帶寬=B）。
1，原信號轉(zhuǎn)換成抽樣點時，即抽樣速率為多少

對周期信號f(t)抽樣時，只要抽樣速率f0>=2B，則抽樣不會損害其信息含量。1/2B為抽樣間隔。
設(shè)周期脈沖信號為S(t)，脈沖幅度為1，寬度為τ，周期T=1/f0
則抽樣后信號為fs(t)=f(t)S(t)。
f(t),S(t)都可以展開成傅立葉級數(shù)(公式1），根據(jù)傅立葉頻譜搬移原理， 可以得到fs(t)的傅立葉變換為

每一項的中心位于抽樣頻率的倍數(shù)點上。所以：對f(t)抽樣的效果是使其頻譜搬移到抽樣頻率的所有諧波上。頻譜沿原先的頻率線對稱的分布。
而對于非周期函數(shù)f(t)抽樣，也有類似效果。

頻譜如下：

當(dāng)抽樣速率下降時，f0及所有諧波都會互相靠攏，則上圖中各頻譜分量會重疊在一起，比如中心位于f0的分量F(W+W0) 會同中心位于原點的 未偏移項F(W)相混，這樣就不能從Fs(W)中分出F(W)，也就不可能從fs(t)中恢復(fù)f(t)。
這種因抽樣間隔太寬而引起頻譜重疊并導(dǎo)致失真的現(xiàn)象稱為混淆。
而開始相混的極限頻率，可從上圖中看出f0-B=B，即f0=2B。
這就是 奈奎斯特抽樣速率。

解釋：上面說明了，抽樣的過程即 周期脈沖信號（抽樣信號）與原信號（信息信號） 相乘，產(chǎn)生的結(jié)果信號:

在頻域上，會保留原信號的所有信息（即其頻域分量會全部保留），但頻譜搬移到抽樣頻率的所有諧波上。

即：以 抽樣信號的頻譜各頻率點為中心，每個頻率點的上下邊帶都會保留全部的 原信號頻譜 信息。

因為上下邊帶的存在，所以從數(shù)學(xué)上看，要避免頻譜分量重疊的辦法只有讓 抽樣信號的頻譜間隔為2B，即△f=2B，它也是抽樣信號的基波頻率（見 基波的定義 部分），即時域信號的速率.

如果抽樣速率較小，則抽樣信號的帶寬變小，諧波的頻率分量會更緊密的靠在一起。則很容易發(fā)生， 原信號抽樣后，頻譜分量容易重疊在一起。

如抽樣速率較大，則抽樣信號諧波的頻率分量間隔會增大，如上圖中的間隔。原信號抽樣后，不易發(fā)生重疊。

抽樣速率不需要越大越好。因為那樣帶寬太大。并且只需要 一個頻率分量的上下邊帶 就可完全恢復(fù)原信號，

比如上圖中fc、2fc左右邊帶就是無用的，在反傅立葉變換時只需要 0點左右的頻譜分量作為輸入數(shù)據(jù)即可。

2，從抽樣點可以得到周期信號 的證明過程如下：
注：抽樣點可以是 非周期性 的取得，比如每隔幾秒開始抽樣也可以。
已證明：每秒任何2B個獨(dú)立樣值就可完全表示一個頻帶有限的信號。或：完全規(guī)定一個T秒長間隔上的信號，只需要任何2BT個單獨(dú)的（獨(dú)立的）信息樣值。

證明過程如下：
設(shè)T秒時間上頻帶有限信號為f(t)，（即非周期信號），它可以展開成以T為周期的傅立葉級數(shù)，由于頻帶有限，則傅立葉級數(shù)中的項數(shù)是有限的，即諧波是有限的，也即頻譜中頻率點是有限的。
由于 ，因為B是f(t)的最高頻率分量，則Wn=2piB（當(dāng)n最大時），此時2piB=2pi*n/T，得出n=BT
所以：n的最大值是BT。
基波C0是直流項，僅改變f(t)的平均電平，不提供任何信息（因為信息表示信號隨時間的變化）。
由于頻譜的對稱性，所以傅立葉系數(shù)共有2BT個，即頻譜上的頻率分量共有2BT個。

解釋：

1，抽樣點的個數(shù)*2 =頻域中 頻率點 的個數(shù)(含正頻率與負(fù)頻率)

2，當(dāng)T=1s時，只需要2B個頻譜分量即可恢復(fù)原信號，即：抽樣后信號，從頻域變換到時域后的信息 與 抽樣前信號一樣。

3，抽樣信號的解調(diào)
即：如何從2BT個樣值中恢復(fù)原信號f(t)。

通過傅立葉變換可以證明，在各個抽樣點(時間點分別為：1/2B，2/2B...n/2B）給定信號f(t)時，對它們分別FFT之后可以得到相應(yīng)的傅立葉系數(shù)Cn或F(w)。如下：

而對Cn或F(w)進(jìn)行傅立葉反變換，可以得到所有可能時間上的f(t)

解釋：反變換之前是頻域，沒有時間參數(shù)。反變換之后則是時域的連續(xù)信號。

這里的方法是：從 頻域的離散頻譜 反變換后生成 時域的連續(xù)信號。而頻域信號來自于時域的抽樣值。
所以，連續(xù)信號f(t)先抽樣，再FFT，然后再IFFT可以得到原時域信號f(t)。

上述過程已經(jīng)證明：用 時間相隔1/2B 的各個抽樣點上的f(t)信號 就足以確定所有時間的f(t)。

上述過程已經(jīng)證明，讓信號樣值通過一個帶寬為B hz的理想低通濾波器，可以再現(xiàn)原信號f(t)。這就是解調(diào)。

即：N個采樣點，經(jīng)過FFT之后，頻譜上得到N個頻率點的幅值，反變換到時域得到連續(xù)函數(shù)f(t)。

采樣速率越高或采樣點數(shù)越多，相當(dāng)于從頻域反變換到時域時得到的諧波越多，疊加后得到的f(t)更像原信號。

比如：原信號帶寬500Hz，時域的采樣頻率則應(yīng)為1024Hz（則1秒內(nèi)得到的采樣點為1024個），那么根據(jù)采樣點變換到頻域后最大帶寬應(yīng)該為1024（解釋：因為發(fā)生了頻譜搬移。）
1秒時間的采樣，得到1024個采樣點，FFT變換到頻域后得到1024個頻率點，橫坐標(biāo)的頻率的最大值是采樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz，1Hz，2Hz....1024Hz。
而2秒時間的采樣，得到2048個采樣點，FFT變換到頻域后得到2048個采樣點，橫坐標(biāo)的頻率的最大值仍是采樣頻率1024Hz，從小到大分別是：0Hz，0.5Hz，1Hz，1.5Hz，2Hz...1024Hz。頻率點之間的間隔是0.5hz。因為，最大帶寬W與采樣時間無關(guān)，總是恒定值，當(dāng)頻譜上頻率點n的次數(shù)增加時，頻率點之間間隔只能縮短。
所以：在采樣率確定的情況下：采樣時間越長，頻域的頻率點越多，即頻率分辨率（即：兩個頻率點之間的間隔）越高。恢復(fù)到時域后諧波更多。?
結(jié)論：頻域頻率分辨率要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x秒的信號，再做FFT變換到頻域。
實際應(yīng)用中，對實時處理的要求較高，可采用：采樣比較短時間的信號，然后在后面補(bǔ)充一定量的0作為采樣點，使其長度達(dá)到需要的點數(shù)。這也可以提高頻率分辨率。
如果想用時分復(fù)用的方式來同時傳送多路信號，在每路信號的抽樣間隔中，可以用來傳送其它信號的抽樣點。

傅立葉變換與正交性

在第一個傅立葉級數(shù)公式中，通過時域f(t)信號求頻譜Cn（先求an,bn）的過程中利用了三角函數(shù)的正交性。

｛cos(nx),sin(nx)｝就像一個智能過濾裝置，只允許和自己完全同頻率的函數(shù)通過（ 可以得到這個頻率的頻域信號 ），將其余的頻率完全正交化為0。這是傅立葉變換的原理與正交化的重要意義所在。

傅立葉變換的 思想總結(jié)與優(yōu)點

傅立葉認(rèn)為：任何周期信號都可用成諧波關(guān)系的正弦函數(shù)級數(shù)來表示。而非周期信號是不全成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)積分。

傅里葉變換能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換。
傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。

疊加 是指原始信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位 在時域的累加。
解釋：時域上原信號波形，看起來頻率是固定的，但實際上信號波形只表達(dá)了二維空間，而在 三維空間 中，還有一個軸是頻率軸，所以 在頻率軸上每個點都有一個對應(yīng)的時域諧波信號)。
解釋：一般可以這樣看：時域沒有頻率，只有周期與時鐘頻率。頻域沒有周期，只有頻率。

傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信號分別進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn)換成時域信號。?
傅立葉的優(yōu)點是：
* 傅里葉變換屬于諧波分析。?
* 傅里葉變換的逆變換容易求出,而且形式與正變換非常類似;?
* 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時不變的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng)來獲取;?
* 卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡單的乘積運(yùn)算,從而提供了計算卷積的一種簡單手段;?
* 線性性質(zhì)：兩函數(shù)之和的傅里葉變換等于各自變換之和
* 頻移性質(zhì)(見下）
* 微分關(guān)系：原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的傅立葉變換間的關(guān)系。
* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT)).?

解釋：

傅立葉給出的定理大致是,任意一個周期函數(shù)都可以表示為sin與cos的無窮級數(shù)。 前者（周期函數(shù)）是時域的表示方法。后者（sin與cos的無窮級數(shù)）是頻域的表示方法。

時域，有周期T(時間),就有頻率f = 1/T的概念.?
數(shù)學(xué)上任何相乘=1的東西都是互相垂直,也叫正交
所以時域坐標(biāo)想象成立方體的一個面,那么頻域坐標(biāo)系一定是其相鄰垂直的另一個面.
換個說法,任何一個時域里的周期函數(shù)f(t),可以拆分得到一系列sin跟cos的疊加

時域與頻域的對應(yīng)關(guān)系，可以舉例： 南郭先生吹竽的故事。齊宣王喜歡聽合奏，南郭先生也可混在里面；齊宣王死了之后，就是齊泯王了，齊泯王要聽獨(dú)奏，南郭先生就跑了（濾波了）。傅里葉變換的目的就是將時間域里面的合奏分解為頻率域里面一個個獨(dú)奏的疊加\\，然后你就可以去挑了。

類似的例子還很多。如選美，選美小姐全部站在臺上，甚至抱成一團(tuán)，是挑不出美人的。要對她們作傅里葉變換，將她們一個個拉出來溜，才能將真正的美人選（濾波）出來。

解釋：

傅里葉變換是一種解決問題的方法，一種工具，一種看待問題的角度。理解的關(guān)鍵是：一個連續(xù)的信號可以看作是一個個小信號的疊加，從時域疊加與從頻域疊加都可以組成原來的信號，將信號這么分解后有助于處理。我們原來對一個信號其實是從時間的角度去理解的，不知不覺中，其實是按照時間把信號進(jìn)行分割，每一部分只是一個時間點對應(yīng)一個信號值，一個信號是一組這樣的分量的疊加。

傅里葉變換后，其實還是個疊加問題，只不過是從頻率的角度去疊加，只不過每個小信號是一個時間域上覆蓋整個區(qū)間的信號，但他確有固定的周期，或者說，給了一個周期，我們就能畫出一個整個區(qū)間上的分信號，

• 那么給定一組周期值（或頻率值），我們就可以畫出一組信號其對應(yīng)的曲線，就像給出時域上每一點的信號值一樣，

• 不過如果信號是周期的話，頻域的更簡單，只需要幾個甚至一個就可以了，時域則需要整個時間軸上每一點都映射出一個函數(shù)值。

傅里葉變換就是將一個信號的時域表示形式映射到一個頻域表示形式；逆傅里葉變換恰好相反。這都是一個信號的不同表示形式。它的公式會用就可以，當(dāng)然把證明看懂了更好。對一個信號做傅里葉變換，可以得到其頻域特性，包括幅度和相位兩個方面。幅度是表示這個頻率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意義？頻域的相位與時域的相位有關(guān)系嗎？信號前一段的相位（頻域）與后一段的相位的變化是否與信號的頻率成正比關(guān)系。傅里葉變換就是把一個信號，分解成無數(shù)的正弦波（或者余弦波）信號。也就是說，用無數(shù)的正弦波，可以合成任何你所需要的信號。

想一想這個問題：給你很多正弦信號，你怎樣才能合成你需要的信號呢？答案是要兩個條件，一個是每個正弦波的幅度，另一個就是每個正弦波之間的相位差。所以現(xiàn)在應(yīng)該明白了吧，頻域上的相位，就是每個正弦波之間的相位。

傅里葉變換用于信號的頻率域分析，一般我們把電信號描述成時間域的數(shù)學(xué)模型，而數(shù)字信號處理對信號的頻率特性更感興趣，而通過傅立葉變換很容易得到信號的頻率域特性。傅里葉變換簡單通俗理解就是把看似雜亂無章的信號考慮成由一定振幅、相位、頻率的基本正弦（余弦）信號組合而成，傅里葉變換的目的就是找出這些基本正弦（余弦）信號中振幅較大（能量較高）信號對應(yīng)的頻率，從而找出雜亂無章的信號中的主要振動頻率特點。如減速機(jī)故障時，通過傅里葉變換做頻譜分析，根據(jù)各級齒輪轉(zhuǎn)速、齒數(shù)與雜音頻譜中振幅大的對比，可以快速判斷哪級齒輪損傷。

傅里葉變換的物理意義非常清晰：將通常在時域表示的信號，分解為多個正弦信號的疊加。每個正弦信號用幅度、頻率、相位就可以完全表征。傅里葉變換之后的信號通常稱為頻譜，頻譜包括幅度譜和相位譜，分別表示幅度隨頻率的分布及相位隨頻率的分布。

在自然界，頻率是有明確的物理意義的，比如說聲音信號，男同胞聲音低沉雄渾，這主要是因為男聲中低頻分量更多；女同胞多高亢清脆，這主要是因為女聲中高頻分量更多。對一個信號來說，就包含的信息量來講，時域信號及其相應(yīng)的傅里葉變換之后的信號是完全一樣的。那傅里葉變換有什么作用呢？因為有的信號主要在時域表現(xiàn)其特性，如電容充放電的過程；而有的信號則主要在頻域表現(xiàn)其特性，如機(jī)械的振動，人類的語音等。

若信號的特征主要在頻域表示的話，則相應(yīng)的時域信號看起來可能雜亂無章，但在頻域則解讀非常方便。在實際中，當(dāng)我們采集到一段信號之后，在沒有任何先驗信息的情況下，直覺是試圖在時域能發(fā)現(xiàn)一些特征，如果在時域無所發(fā)現(xiàn)的話，很自然地將信號轉(zhuǎn)換到頻域再看看能有什么特征。信號的時域描述與頻域描述，就像一枚硬幣的兩面，看起來雖然有所不同，但實際上都是同一個東西。正因為如此，在通常的信號與系統(tǒng)的分析過程中，我們非常關(guān)心傅里葉變換。

發(fā)布于 2016-06-03?2 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???禁止轉(zhuǎn)載 10贊同 反對，不會顯示你的姓名 匿名用戶 趙世奇?等 10 人贊同 首先你要能夠認(rèn)為傅立葉級數(shù)是 well motivated 的. 然后...我找來了多年前寫的一點東西: 發(fā)布于 2012-09-05?5 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 2贊同 反對，不會顯示你的姓名 陳名?，愛好音樂，攝影和數(shù)學(xué)的大齡碼農(nóng) 2 人贊同 碼農(nóng)路過，傅里葉變換可以根據(jù)音頻文件生成波形圖，好看又高大上的波形圖 發(fā)布于 2015-05-17?1 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 1贊同 反對，不會顯示你的姓名 方子春?，先生將移我情 1 人贊同 用來算多項式乘法
硬算的復(fù)雜度是n^2，但是你把兩個多項式的系數(shù)看成兩個矢量做快速傅立葉變換，然后點乘，然后再做一遍逆變換就出來了，復(fù)雜度nlogn，我也不造為什么………………………… 發(fā)布于 昨天 15:41?3 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 1贊同 反對，不會顯示你的姓名 匿名用戶 1 人贊同 這么專業(yè)的東西，你真想了解，去看教材是最有效的方法。 發(fā)布于 昨天 20:43?1 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 72贊同 反對，不會顯示你的姓名 王重陽?，學(xué)生 72 人贊同 我通信的 可以給你通俗的說一下 傅里葉變換。舉個例子先，你看一場NBA比賽咋看？直接看直播不是；但是另外一種情況，我們還看這些東西，比如那些統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得分，籃板，助攻，蓋帽啥的。其實這些統(tǒng)計數(shù)據(jù)相當(dāng)于從另外一種方法詮釋了這場比賽。同理，對一個信號，我們一般看到的僅僅是它的時域波形，但在很多情況下，僅僅了解時域波形不足以了解這個函數(shù)的全部信息，因而我們需要從另外一個維度去看這個信號。傅里葉變換就是從頻域看這個信號。而時域和頻域轉(zhuǎn)化的落腳點就是那兩個經(jīng)典的公式。舉個經(jīng)典的例子，函數(shù)f=cos(2πt)，時域圖像，就是一個余弦，你能從函數(shù)圖像直接看到啥？最大值最小值 周期。。。再看他的傅里葉變換后的函數(shù)圖像，僅僅是兩個尖脈沖，這兩個脈沖只在特定的頻率處有值。我們從中可以明確看到這個函數(shù)的頻率信息。對于復(fù)雜的信號，更是如此。
簡單應(yīng)用，濾波。。。舉個簡單例子，假如有兩個信號f=cos(2πt)和f=cos(2000πt)，但是現(xiàn)在兩個信號混疊在一起，我們要把他們分離。對他們各自進(jìn)行傅里葉變換后。很明顯兩個信號在頻域特征特別容易分離，我們依據(jù)這個，適當(dāng)采用濾波器。就能進(jìn)行分離。復(fù)雜信號也是如此。
說的有點啰嗦了。。。。 發(fā)布于 2013-04-22?9 條評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 3贊同 反對，不會顯示你的姓名 張?zhí)K?，算法工程師 3 人贊同 Fourier變化就是換個視角看問題，最基礎(chǔ)的一個應(yīng)用：
有如下正弦信號

其中是你采樣得到的信號 ， 你需要估計頻率, 傅立葉變化就是最直接的方法。
一句話： 單音信號頻率的估計 發(fā)布于 2013-07-19?添加評論?感謝? 分享 ?收藏???沒有幫助???舉報???作者保留權(quán)利 早餐大魔王?，專業(yè)ee，同時愛好cs，以及音樂愛好者，，… 36 人贊同 雖然我對傅立葉變換了解不多。。。（那公式我到現(xiàn)在都沒記住）但是我還是想在這里說一下我的解釋：（不排除有錯誤） 是這樣的，傅立葉變換其實可以看成一種算法，或者說它只是一種手段。這種手段目的是把信號中不同頻率的成分給取出來，這是最重要的。至于什么叫信號呢，能攜帶信息的都叫信號（比如光線，聲音），那為什么要分離出不同的頻率成分呢？這么做的必要性在哪里呢？頻率只是信號的一個特征，它可以用來識別信號，最終目的其實只是為了獲取這些不同的信號。我還是舉個例子吧，樓主你肯定知道光經(jīng)過三棱鏡的色散實驗吧，不知道或者忘記了就稍稍百度一下。自然光經(jīng)過三棱鏡變成不同的七種顏色的光，這里的三棱鏡其實就是起了個＂分離信號＂的作用，只不過它三棱鏡利用的是波長（好像是，我有點不太確定）這個標(biāo)志區(qū)分不同的信號，傅立葉變換利用的就是頻率。。。。


不知道樓主明白我意思沒？我就是想說，分離信號這種行為才是最關(guān)鍵，最必要，甚至最常見的行為，以至于我們無時無刻都在進(jìn)行這種行為，比如我們耳朵能聽到不同頻率的聲音，就是高音和低音，聲音是由物體振動產(chǎn)生的，靠介質(zhì)傳播，讓我們聽到，傳播的時候這些信號是能纏在一起的，但是為什么人耳能聽出不同高音和低音呢？就是因為可能人的聽覺神經(jīng)（這是生物機(jī)理，我不了解，但是大概是那個意思）能把不同頻率的聲音區(qū)分開，我們的大腦或者聽覺神經(jīng)是否做了傅立葉變換這我不知道，但是可以肯定的是，傅立葉變換就能起到這個效果。

我再總結(jié)一下啊：傅立葉變換之所以必要，是因為＂分離不同信號＂對我們?nèi)祟悂碚f已經(jīng)是必須做的事，已經(jīng)是無時無刻不在做的事！（以至于我們?nèi)祟愖约憾紱]意識到）比如：看見不同的顏色，聽到不同頻率的聲音，甚至嘗到酸甜苦辣咸這五種不同的味道也是一種識別不同信號的表現(xiàn)。而傅立葉變換已經(jīng)是一種最簡單的通過頻率來分離不同信號的方法了！如果想造一臺機(jī)器把自然光中的七色成分分離出來怎么辦？用三棱鏡！如果想造臺機(jī)器把一段音頻文件不同頻率的聲音頻譜顯示出來怎么辦？傅立葉變換！

from:?https://www.zhihu.com/question/20460630#answer-37802972 《新程序員》：云原生和全面數(shù)字化實踐50位技術(shù)專家共同創(chuàng)作，文字、視頻、音頻交互閱讀

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的傅里叶变换是用来做什么的，具体举例一下应用？的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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