一、前言

????????別看Hough變換似乎簡單，但是，不發揮一下數學理論的功力是不可能理解的；本人早十幾年前就用Hough，也一直想寫Hough變換，但一懶就是10幾年，乘春節前有空，就將Hough的詳細細節揭秘出來，供大家參考。

二、 直線函數的形式化表示

2.1 直線被方程表示

在直角坐標系，任意一條直線的方程是

2.2 直線被圖表表示

在現實圖像中，我們可以把等式看成一個表格，如圖：

2.3 直線的表格表示

以上直線方程構成表格是：

因此，以上用三種方法表示一個直線內容，也就是告訴我們，函數可以以多種方式存在，而計算機算法，常常以表格的方式解決問題為妥。而且從一種表格等價地轉換成另一種表格。hough變換就是這樣的實例。

三、hough變換的提出

????????以上方程，固定k和b，能夠找出線上任意一個點，這是一個正向問題；逆向問題是，給出一群點（x，y);問這些點是否構成直線？

????????如果試圖用計算機解決，那么需要找出某種條件模式，使得所有在直線上的點(x,y）滿足這種條件，不在直線的點不滿足這個條件。

????????這里首先要強調一個事實：這個式子有多重含義，如果理解錯了，就無法真正懂得houghj變換，本文將逐一講述該式的三個場景，從而排除干擾，讓大家真正懂得hough變換中的意義。

3.1 極坐標表示點和線

令一個極坐標系與直角坐標系在原點重合；在極坐標上表示為

?因此有：

??

因此，

注意：以上2）式似乎很明確直觀，但是這不是hough的要點。為了追究到底是個啥意思，這里專門列出三個意義，比較三個意義之后，才能肯定，哪個解釋才是hough的本意。

下面將一一描述。

1）構成點：固定x，y，且；表示直角坐標點和極坐標的轉換公式：

以上（3）和（4）兩個條件決定了?直角坐標點和極坐標的轉換公式。顯然，這里我們不是研究單點的，因而這個解釋不是hough變換。

2）構成圓軌跡：把的x和y看成固定點，讓?隨意變動后，r構成圓軌跡

當上面條件（3）和（4）中，去掉（4），單獨保留（3）是個啥？提前告訴大家是一個圓軌跡。證明如下：

令：

此為圓的極坐標方程，如圖：

?事實上，從P（x，y）引出的所有直線，都和此圓相交，如圖：

結論1：所謂的就是給定P(x,y)點后，x和y固定，P與原點O構成線段為直徑的圓的軌跡。

推論：過P點的任意直線，與過原點垂線的交點（垂足點），剛好落在圓上。

3）構成直線方程：給定任意直線，其到原點距離是固定的、從原點引出垂線方向角也固定

假設，有任意一條直線，如何在極坐標系表示這條直線的軌跡？

?????????對于任意直線L，做L的垂線，且過原點，垂足為Q(x0,y0);OQ就是原點到L的距離；在直線L上找任意點P(x,y)；顯然OS=x；PS=y；做OS和PS到OQ的投影，投影線為OR和RQ（=ST），顯然OR+ST=OQ；

結論：公式（7）的意義是，一條直線上所有的點都與一個r和一個對應，這個解釋才是我們這里hough變換所指的意義！

注意：很神奇！?居然有三種不同含義，以上三個解釋全部擺出，經對比，式（7）才是我們要的hough變換的含義。

四、 hough變換的原理

4.1 極坐標的表格

????????將極坐標的r和以直角方式構建坐標，就成了表格平面；直角坐標平面x-y平面的任意點一 一對應于?平面的點。

?在平面上，坐標是個的有限區間，這是大大的有利條件！！！

?4.2 用平面表示：過任意點P(x,y)做所有射線，其過原點的垂足點的軌跡

?如下圖，Q1，Q2，Q3,... ... 就是這些射線的原點的垂足點，在?表格中表示成正弦曲線，

?上圖中的每一個P（x，y)決定一個圓，該圓在?平面上對應一條三角曲線（下圖）。如果有N個點構成直線，那么，就有N條三角曲線，且交于共同的一個點。

4.3 構建hough算法表格（?在圖）

1）構建?在平面，用矩陣M表示,M初始值賦值為0

2）在圖像中選取目標像素的坐標（x，y）

3）在中取一個序列，從序列中選取一個帶入公式：

? ? ? ? ??

? ? 求出一個r。

4）刷新M矩陣，將對應的值加1.

5）循環完成后，M矩陣的每個峰值對應一條直線。

五、圖像處理中，Hough變換如何應用

如果將圖片中所有點參與直線提取，是不可取的，因此，需要邊緣提取后，然后二值化處理，使得線上點數量規模減小后，用hough變換。

• 預處理圖像，首先邊緣提取
• 然后閾值二值化，將邊緣點挑選出來備用。
• 對邊緣點進行hough變換，生成M矩陣
• 選取M中峰值，將線條對應點提取出。

5.1 python程序代碼

# coding=utf-8 import cv2 import numpy as npdef rgb2gray(rgb):return np.dot(rgb[..., :3], [0.299, 0.587, 0.114])Gray = cv2.imread("d:/images/lines1.jpg",0)height,width = Gray.shape cv2.imshow("dsp",Gray) cv2.waitKey(0)point ={} num=0 for i in range(height):for j in range(width):if Gray[i][j] !=0:point[num]=[i,j]num+=1triTable ={}for i in range(180):triTable[i]=[np.sin(i*3.14159/180),np.cos(i*3.14159/180)]len_cross = int( np.sqrt( width**2+ height**2)) MtrScore = np.zeros([len_cross*2,180],np.int32)for i in range(num):ptmp = point[i]for j in range( 180 ):atmp = triTable[j]rou =int( ptmp[0]*atmp[0] + ptmp[1]*atmp[1] ) + len_cross# print(rou)MtrScore[rou][j] = MtrScore[rou][j]+ 1import seaborn as sns import matplotlib.pyplot as plt sns.heatmap( MtrScore ) plt.show()

5.2 實驗和效果1：輸入直線圖片

輸出的???平面圖：

5.3 實驗效果2：輸入一個點

輸入下面圖像，圖的中部有一個白點，將其進行hough變換，看結果。

輸出的???平面圖：

總結

以上是生活随笔為你收集整理的图像处理：Hough变换原理分析的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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