一、起源? ??

????????在數學中，齊次坐標或射影坐標由 August Ferdinand M?bius 在其 1827 年的著作 Der barycentrische Calcul [1][2][3] 中引入，是射影幾何中使用的坐標系統，就像在歐幾里得幾何中使用笛卡爾坐標一樣。它們的優點是可以使用有限坐標表示點的坐標，包括無窮遠處的點。涉及齊次坐標的公式通常比笛卡爾對應的公式更簡單、更對稱。齊次坐標具有一系列應用，包括計算機圖形學和 3D 計算機視覺，它們允許仿射變換，一般來說，投影變換可以很容易地用矩陣表示。

奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯 (August Ferdinand M?bius)

????????奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯，德國數學家和天文學家，被認為是拓撲學的先驅。 莫比烏斯最著名的成就是發現了三維歐幾里得空間中的一種奇特的二維單面環狀結構——後人稱為莫比烏斯帶。其他重要的成就包括在射影幾何中引進齊次坐標系、莫比烏斯變換，數論中的莫比烏斯變換、莫比烏斯函數、莫比烏斯反演公式等等。

莫比烏斯

????????如果一個點的齊次坐標乘以一個非零標量，那么得到的坐標代表同一個點。由于齊次坐標也被賦予無限遠的點，因此允許這種擴展所需的坐標數比所考慮的投影空間的維數大一。例如，需要兩個齊次坐標來指定投影線上的一個點，而需要三個齊次坐標來指定投影平面上的一個點。

二、定義??

定義： 如果點 P 的直角坐標是( x, y),那 么稱( x1 , x2 , x3 )是 P 的齊次坐標,其中 x1 , x2 , x3 滿足 , , .

????????也就是說，在X-Y坐標平面的點，將其闊維，成為X-Y-Z坐標，而原來的（x，y）點，如今成為（x，y，1）點；而新坐標的點（mx，my，m）依然指的是（x，y，1）點。

????????從另一個角度，將O（0，0，0）點看成射影點，那么從O發出的任意射線上所有的點，統統映射到平面上一個點，而且坐標是等價于平面（X，Y，1）上的點坐標。其中OS=1；

三、齊次坐標的合理性解釋

????????如圖：在三維坐標的原點處（0，0，0）有人眼觀望，距離人眼1米處有一塊玻璃（藍色）；玻璃上任意點坐標為（x，y，1）；有蒼蠅站在玻璃上，坐標為（x0，y0，1）其觀察角度，正好是蒼蠅、小鳥、蒼鷹在相同直線上；不難想象，看到蒼蠅在小鳥上，而小鳥在蒼鷹上；這很符合生活實際，因此，小鳥的實際位置為（mx0，my0，m）蒼鷹坐標為（nx0，ny0，n），由于我們只關注玻璃上的二維世界，因此，無論蒼蠅（x0，y0，1），小鳥（mx0，my0，m）、蒼鷹（nx0，ny0，n）的具體坐標不同，在玻璃立場上，這些坐標都能還原成（x0，y0，1）。因此，順著直線（sx ，sy ，s）的所有點，在玻璃上的坐標是唯一的，即（x，y，1）。

?四、總結齊次坐標

• 射影平面上的任何點都用三元組（X,Y,Z）表示，稱為齊次坐標或該點的射影坐標，其中X、Y、Z不全為0。
• 如果坐標乘以一個公因子，則由一組給定齊次坐標表示的點不變。
• 相反，當且僅當通過將所有坐標乘以相同的非零常數從另一組獲得一組齊次坐標時，才表示同一點。
• 當 Z 不為 0 時，表示的點是歐幾里得平面中的點 (X/Z, Y/Z)。
• 當 Z 為 0 時，表示的點是無窮遠處的點。
• 三元組 (0, 0, 0) 被省略，不代表任何點。歐幾里得平面的原點由 (0, 0, 1) 表示。 [

（未完待續）

總結

以上是生活随笔為你收集整理的射影几何笔记5：齐次坐标（Homogeneous coordinates）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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