遞歸解斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列最直觀的遞歸解法：

int fib(int n){if (n<2) { return n;} else {return fib(n-1) + fib(n-2);} }

然而這種解法效率很低，會(huì)進(jìn)行很多重復(fù)運(yùn)算

例如：當(dāng)計(jì)算 fib(5) 時(shí)，我們共需要計(jì)算1次 fib(4)，2次 fib(3)，3次 fib(2)，5次 fib(1) 和3次 fib(0)。這些無意義的重復(fù)計(jì)算使得遞歸效率極低。

遞歸解法的優(yōu)化

實(shí)際上像斐波那契這樣的數(shù)列還有很多，他們都滿足相同的規(guī)律，即從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)等于前兩項(xiàng)之和。這樣的數(shù)列被統(tǒng)稱為可加數(shù)列（additive sequence），不同的只是他們的第一項(xiàng) t₀ 和 t₁。

斐波那契數(shù)列：
$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\dots$$

如果我們將它的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)換成3和7，就會(huì)變成：
$$3,7,10,17,27,44,71,115,186,\dots$$

因此，求解斐波那契數(shù)列第n項(xiàng)的問題可以被轉(zhuǎn)化成求解一個(gè)可加數(shù)列的第n項(xiàng)的問題，而且只需要知道 t₀ 和 t₁ 的值，我們就可以求出數(shù)列中的任意一項(xiàng)。所以我們可以寫出一個(gè)函數(shù)：

int additiveSequence(int n, int t0, int t1);

下一步就是實(shí)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)。繼續(xù)觀察可加數(shù)列，我們可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)可加數(shù)列S中的第n項(xiàng)等于將這個(gè)數(shù)列每一項(xiàng)都向前移一位的新數(shù)列的第n-1項(xiàng)。

例如，原數(shù)列中的t₆ = 71:

當(dāng)我們將該數(shù)列每一位都向前移動(dòng)一位，得到一個(gè)新數(shù)列，此時(shí) t₅ = 71：

而這個(gè)新的 t₀ 等于原數(shù)列的 t₁，新的 t₁ 等于原數(shù)列的 t₀ + t₁。

因此函數(shù)可以寫為：

int additiveSequence(int n, int t0, int t1){if (n==0) return t0;if (n==1) return t1;return additiveSequence(n-1, t1, t0+t1); }

遞歸求解斐波那契數(shù)列的完整函數(shù)就可寫為：

int fib(int n){return additiveSequence(n, 0, 1); }int additiveSequence(int n, int t0, int t1){if (n==0) return t0;if (n==1) return t1;return additiveSequence(n-1, t1, t0+t1); }

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的斐波那契数列递归解法的全部內(nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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