?1 N元排列

1.1 順序和逆序

一個排列中：小的在前，大的在后——這一對數組成一個順序;

反之則為逆序

1.2 逆序數

一個排列中逆序的個數，稱之為數

1.3 奇排列與偶排列

逆序數為奇數的排列——奇排列

逆序數為奇數的排列——偶排列

1.4 對換和對換的性質

對換：將排列中的兩個數對換位置

性質1：對換改變排列的奇偶性

性質2：任意n元排列和排列12345…n可以經過一系列對換互相轉化，而且所作對換的次數和這個n元排列有著相同的奇偶性

2 N階行列式

2.1 N階行列式的完全展開式

三階行列式：從左上到右下的乘積之和，減去另一個方向的乘積之

n階行列式

?

是n!項的代數和，其中每一項都是位于不同列不同行的n個元素的乘積，把這n個元素按照行指標排成自然序排好位置，當列指標所成排列是偶排列的時候，該項帶正號，否則帶負號，即：

?2.2 N階上三角行列式

行列式的值等于它的主對角線上n個元素的乘積

?

2.3 行列式的性質

性質1：行和列互換，行列式值不變，也就是一個矩陣的行列式和這個矩陣的轉置的行列式值是一樣的（即det()=det(A)）

性質2：行列式一行/一列的公因子可以提取出來

?

性質3：兩行互換，行列式反號

性質4：兩行相同（成比例），行列式值為0

????????證明：相同的兩行互換就可以了，那么就是自己=自己的相反數

性質5：把一行的倍數加到另一行上，行列式的值不變

性質6：單位矩陣的行列式為1

?性質7：某一行的公共倍數可以提出來

?性質8：行列式非零<——>矩陣可逆

?性質9：det(AB)=det(A)det(B)

2.4?行列式按照一行/一列展開

2.4.1 余子式和代數余子式

n階行列式中，劃去第i行和第j列，剩下的元素按照原來的次序組成的n-1列行列式稱為(i,j)元的余子式，記作Mij

令Aij=(-1)^(i+j)Mij——代數余子式

2.4.2 代數余子式的性質

n階行列式的值等于它的第i行（列）元素和其代數余子式的乘積之和

n階行列式的第i行元素和第k行（k≠i）相應元素的代數余子式的乘積之和等于0

2.5?行列式按照k行（列）展開

2.5.1 余子式和代數余子式

n階行列式中任意選定k行k列，位于這些行和列（第i1,i2,…..ik行；第j1,j2,j3,…..jk列)的交叉處的k^2個元素按照原來的排法組成k階行列式，這稱為|A|的一個子式

劃去這些行，這些列，剩下的元素組成的n-k階行列式——余子式

(-1）^(i1+i2+……+ik+j1+j2+……+jk) *余子式——代數余子式

2.5.2 拉普拉斯定理

在n階行列式|A|中，取定k行：(i1,i2,……ik)，這k行元素形成的所有k階子式和他們自己的代數余子式的乘積之和等于|A|（列一樣）

2.6 求解行列式（舉例）

?3 范德蒙行列式（vandermonde）

4?克萊姆法則

我們令N元線性方程組的系數矩陣為A，增廣矩陣為A‘

A和A'經過變換后，變成階梯矩陣A,A'

n個方程的n元線性方程組，如果他的系數行列式|A|≠0，那么它有唯一解；如果它的系數行列式|A|=0.那么它無解或者有無窮多解

其中Bj為

通過克萊姆法則，我們有如下性質：

n個方程的n元齊次線性方程組只有零解的充要條件式它的系數行列式不為0。

n個方程的n元齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的行列式為0

5 行列式的幾何意義：

兩階行列式的絕對值：兩個向量張成的平行四邊形的面積

三階行列式的絕對值：三個向量章程的平行四面體的體積

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李宏毅线性代数笔记3：行列式det的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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