1?線性方程的解

1.1 兩維的情況?

?

?span of the columns of A——由A的列向量張成的空間

?2?線性方程有解的充要條件

線性方程x1a1+x2a2+……+xnan=β有解（consistent）的充要條件

——>系數矩陣（coefficient matrix）和增廣矩陣（augmented matrix）有相同的秩

若秩等于未知元的個數，則有唯一解（向量組線性無關）

若秩小于未知元個數，則有無窮多組解（向量組線性相關）

——>齊次線性方程組有非零解：秩小于未知量個數k

RREF 見李宏毅線性代數筆記6：矩陣的計算_劉文巾的博客-CSDN博客

Ax=b對每一個b都有解

——>[A b]的簡化階梯形矩陣不能有一行只有最后一個元素非0

——>A的簡化階梯形矩陣不能有一行全是0

——>A的秩等于A的行數（如果A的秩少的話，說明有一行可以被別的線性表出，那么經過幾次初等行變換，會有一行全為0）

2.1 一道例題

系數矩陣擴充一列，就是增廣矩陣——>所以rank(A)<=rank(A~)

增廣矩陣擴充一行，就是B——>所以rank(A~)<=rank(B)

而A和B的rank又一樣——>所以三者只能取等，所以三者有解

3?齊次線性方程組解集的結構

齊次線性方程組（homogeneous linear equations）任意兩個解的和還是方程組的解

齊次線性方程組任意一個解的倍數還是方程組的一個解

3.1 線性子空間

的一個非空子集U如果滿足：

（1）任取a,b∈U，a+b∈U

（2）任取a∈U，ka∈U

那么U是的一個線性子空間

齊次線性方程組的解集是的一個子空間（解空間）

{0}——零子空間

{0}和Kn——平凡的子空間；其余子空間：非平凡的子空間

3.2 基礎解系?

齊次線性方程組有非零解的時候，如果他有有限多個解n1,n2，….nt滿足

線性無關

方程組中的每一個解都可以由他們線性表出

那么n1,n2,…..nt是線性方程組的基礎解系，K1n1+k2n2+……+ktnt 是線性方程組的通解

????????數域K上n元齊次線性方程組的系數矩陣A的秩小于未知量個數n的時候，它一定有基礎解系，且它的每一個基礎解系所含解向量的個數為n-rank(A)

3.3 舉一個例子?

求一個齊次線性方程組的基礎解系

x1-3x2+5x3-2x4=0

-2x1+x2-3x3+x4=0

-x1-7x2+9x3-4x4=0

?4?非齊次線性方程組解集的結構

????????對于非齊次線性方程組 x1a1+x2a2+……+xnan=bn,我們令x1a1+x2a2+……+xnan=0 為非齊次線性方程組的導出組

????????非齊次線性方程組的兩個解的差是他的導出組的一個解

????????非齊次線性方程組的一個解與它的導出組的一個解之和也為非齊次線性方程組的一個解

????????如果數域K上n元非齊次線性方程組有解，那么它的解集U為{r0+n|n∈W} 其中r0是非齊次線性方程組（1）的一個解（特解），W是導出組的解集

5?基和維數

設U是Kn的一個子空間，U中的向量組a1….ar如果滿足：

（1）a1……ar 線性無關

（2）U中的每一個向量都能由他們線性表出

那么a1….ar為U的一個基

?e1,e2,…..en——Kn的標準基

Kn的非零子空間U的任何兩個基所含向量的個數相同——這個個數就是維度，記作dimU

數域K上n元齊次線性方程組有非零解時，解空間W的維數 dimW=n-rankA（A是系數矩陣）

<a1,…,as>={k1a1+k2a2+…….+ksas}——a1,…as生成的子空間

rank{a1,…as}=dim<a1,…..as>：都是向量組的極大無關組中向量的個數

——向量組的秩等于它生成的子空間的維數

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李宏毅线性代数笔记5：线性方程组的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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