1 矩陣的幾個概念

1.1 特殊矩陣

1.1.1 數量矩陣

主對角線上元素是同一個數，其余元素全為0的n級矩陣

1.1.2?對角矩陣（diagonal matrix）

主對角線元素之外全為0的方陣

記作diag{d1,d2,……dn}

1.1.3?基本矩陣

只有一個元素是1，其余元素全為0的矩陣

(i,j)元為1的基本矩陣:Eij

用Eij左乘（右乘）一個矩陣A，就相當于把A的第j行搬到第i行（第i列搬到第j列），而其余元素變為0 【左行右列】

1.1.4?初等矩陣

由單位矩陣經過一次初等行/列變換得到的矩陣

用初等矩陣左乘（右乘）一個矩陣，相當于對這個矩陣做相應的初等行（列）變換【左行右列】

1.1.5 單位矩陣

?

1.2 可交換

如果AB=BA，那么A，B可交換

一般來說,≠，但是如果A，B可交換，那么=

?1.3 矩陣集合

2 初等行變化與矩陣相乘

?3 階梯矩陣REF和簡化階梯矩陣RREF

3.1 REF?

Row Echelon Form 行階梯矩陣

?3.2 RREF

Reduced Row Echelon Form 簡化行階梯矩陣

?

?3.3 RREF 和原始矩陣之間的關系

?

?初等行變換不改變列之間的線性關系

span——向量張成的空間

因為初等行變換之后，行相當于是等價的，原來能線性表出哪些向量，現在還能；而列就不一樣了。

?4?矩陣向量乘法

矩陣相當于一個線性系統

對于一個多元線性方程組如下圖，輸入為x=[x1??x2??x3?...xn?]，經過一個線性變換后，輸出為b=[b1??b2??x3?...bm?]，這個線性系統便是對x做了一個線性的處理，其處理的方法為矩陣A

‘對一個系數矩陣Am×n?和一個代表參數的向量xn?相乘，拿下圖舉例，有兩種理解方式：

?

從行層面上理解：
將A的兩行表示在坐標系中如下圖右側所示；對照方程組，將向量中的x1??x2?與矩陣行中的元素對應相乘后組成向量：首先是A1,:與x相乘，發現結果為0，證明二者垂直，而后是A2,:?與x相乘，得出結果。（每一個維度是A的一行與x的內積）?——>結果的每一個維度都是A對應的行和x的內積結果

從列層面上理解：
數據域的x1?與A:,1?相乘，相當于逆向延長兩倍[1??3]?這個向量，同理，x2?與A:,2?相乘，相當于正向縮小為原來長度的一半，二者形成的列向量疊加后與1有相同的結果。——>結果是以x為系數，A每一列為向量的矢量和

?5 矩陣乘法

?矩陣的乘法相當于兩個線性函數的組合

5.1 矩陣相乘的先后順序對于運算速度的影響

雖然使用交換律對矩陣相乘的結果沒有什么影響，但是對于運算的次數，先進行分析，再視情況適當交換運算順序會帶來很大的效益

（三個矩陣相乘的規則是按順序兩兩相乘，因此運算次數是加的關系，不同結合情況對運算次數顯然有不同影響）。

矩陣 A（M*N) 和矩陣B（N*P）相乘，A的每一行要和B的每一列進行內積（也就是進行N次乘法+N次求和），

—>然后A和B分別由M行和P列，相當于一共M*P對行列對

—>所以這兩個矩陣相乘，相當于M*N*P次操作

回到這個問題，如果是先CP，再A和乘積相乘，那么CP需要M*N*P次操作，10^6數量級；然后A在和結果相乘K*M*P，又是10^6數量級

如果是先AC，那么是K*M*N，1000的數量級；然后結果再和P相乘K*N*P ，1000的數量級

5.2 GPU的加速效果

?6 可逆矩陣

6.1?互為可逆矩陣 ?

?6.2 可逆矩陣唯一

如果AB=I，AC=I，那么B=C

證明：B=B(AC)=(BA)C=C

?6.3 矩陣乘積的逆

6.4 矩陣轉置的逆

?6.5 矩陣可逆的條件

說白了就是方陣滿秩

換言之，如果一個矩陣A是可逆的，當且僅當A的簡化階梯矩陣是單位矩陣

6.6?為何可逆矩陣需要滿秩方陣？

6.6.1?單射（one to one）

單射：每個v射向不同的f(v)，但不一定每個f(v)都會被射到

?如果是矮胖型的矩陣，那么列之間肯定線性相關，那么對于某一個特定的 f(v) ,會存在兩個不同的v1和v2，使得f(v1)=f(v),f(v2)=f(v),不滿足單射（每個v射向不同的f(v)的條件

而單射的逆呢？因為不一定每個f都被映射到，所以單射的逆不能保證也是單射（可能會由在域空間上的值不在定義域空間內）

為了保證one to one ，也就是每個v，f(v)的值不同，我們需要矩陣A各個列線性無關

6.6.2 滿射（onto）

滿射是值每個值域空間的點都會被映射到（雖然可能多個v射到一個值域上去）

也就是說，對于任意一個b，Av=b都有解，

按照前面的說法（“線性方程有解的充要條件”），矩陣A的簡化階梯矩陣不能有0行（也就是說，它不能是高瘦型矩陣）；同時它的秩等于它的行數

滿射的逆甚至可能不是映射（一個值域上的值可能對應了幾個定義域上的值）

6.6.3 矩陣可逆的條件

所以如果一個矩陣可逆，那么它必須同時是單射和滿射

'

?6.7?矩陣逆的求法

?6.8 用伴隨矩陣求矩陣的逆

?伴隨矩陣C的每個元素是A對應的代數余子式

?

證明

?矩陣的行列式=某一行元素*其代數余子式的和

Σ第i行元素*第j行元素的代數余子式=0

?

?

總結

以上是生活随笔為你收集整理的李宏毅线性代数笔记6：矩阵的计算的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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