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1 矩陣分解 X 協同過濾 家族

????????很明顯，前面幾節中各種形式的矩陣分解有很多共同點。 所有上述優化公式都使殘差矩陣的 Frobenius 范數最小化，與此同時因子矩陣 U 和 V 需要滿足各種特定的約束。? 對因子矩陣的不同約束實現了不同的可解釋性屬性。

???????? 事實上，更廣泛的矩陣分解模型系列可以使用任何其他目標函數或約束來強制逼近。 這個更廣泛的家庭可以寫成如下形式：

?????????在大多數情況下，正則化項被添加到目標函數中以防止過擬合。

1.1 不同的約束?

????????各種約束通常對因素施加不同類型的可解釋性。 這種可解釋性的兩個例子是正交性（SVD分解，提供幾何可解釋性）和非負性（非負矩陣分解，提供’部分總和‘可解釋性）。

????????此外，即使這些約束增加了觀測值上的誤差，當它們具有有意義的語義解釋時，它們有時也可以改善未觀察條目的準確度。 這是因為約束減少了未觀察條目的方差，同時增加了偏差。 因此，該模型具有更好的泛化性。

????????例如，將 U 和 V 中的各一列中的條目固定為1幾乎總是會導致更好的性能。

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???????? 選擇要使用的正確約束通常取決于數據，并且需要深入了解手頭的應用和目標。

????????

2??PLSA

?????????存在其他形式的因式分解，其中可以為因子分配概率可解釋性。

???????? 例如，考慮一個非負一元評級矩陣 R 被視為相對頻率分布的場景，其條目總和為 1。

????????

? ? ? ? ?我們可以很容易地將R矩陣規約化到條目之和為1（每個條目除以 條目總和）

? ? ? ? 這種矩陣R的分解可以用一種和SVD類似，但是不是SVD的方法來進行

????????

? ? ? ? ?這種分解只是長得像SVD分解，但實際的內容和SVD分解還是相差甚遠：

• ?此時Qk的列、Pk的列不用再是正交的
• Qk的每一列、Pk的每一列值都是非負的，每一列數值之和為1
• 對角矩陣Σk的每個條目（對角線上的值）也均為非負，它們的和也是1

?這里我們說明一下，比如我們令此時Qk為,Pk為,Σk為

滿足如下式子

這個矩陣所有條目的和為：

=1

????????這種因式分解具有概率解釋：矩陣 Qk、Pk 和 Σk 包含創建評分矩陣的生成過程的概率參數。這種方法被稱為概率潛在語義分析（PLSA），它可以被視為非負矩陣分解的概率變體。

????????顯然，這種分解的概率性質為其提供了不同類型的可解釋性。

3 匯總

????????這里匯總了幾種較為主流的MF模型。需要注意的是，模型的選擇取決于問題設置、數據中的噪聲以及所需的可解釋性水平。沒有單一的解決方案可以實現所有這些目標。仔細理解問題域對于選擇正確的模型很重要。 ?

模型	限制	目標函數	優點	缺點
無限制矩陣分解	無	frobenius 范數	對于有觀測值的條目，可以有很好的準確度 適用于大多數情況	對于沒有觀測值的條目，不一定有很好的準確度 缺乏可解釋性
SVD	U和V各自的列向量正交	frobenius 范數	很好的幾何解釋性 外推推薦 稠密矩陣效果很好	稀疏矩陣效果一般
非負矩陣分解	所有條目非負	frobenius 范數	很好的語義可解釋性 適用于隱式反饋矩陣
PLSA	所有條目非負 所有條目之和為1	有觀測值的這些條目的最大概率	很好的語義可解釋性 適用于隱式反饋矩陣

總結

以上是生活随笔為你收集整理的推荐系统笔记：基于矩阵分解（总结篇）的全部內容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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