《基于張量網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)入門》學(xué)習(xí)筆記1

• 量子力學(xué)的三大奧義
• • 什么是量子
  • 量子力學(xué)的三大奧義——疊加、測(cè)量和糾纏
  • • 第一大奧義：量子的疊加態(tài)
    • 第二大奧義：量子的測(cè)量
    • 第三大奧義：量子的糾纏態(tài)

量子力學(xué)的三大奧義

什么是量子

定義 量子是“離散變化的最小單元”
“離散變化”即指量子的 變化是不能連續(xù)的，就像人一樣，只有一個(gè)人，兩個(gè)人等，不能出現(xiàn)1.5個(gè)人。因此，我們可以稱某個(gè)只能離散變化的東西叫“量子化”的。

量子力學(xué)的三大奧義——疊加、測(cè)量和糾纏

第一大奧義：量子的疊加態(tài)

為了理解疊加態(tài)這個(gè)概念，首要要定義“態(tài)矢量”

定義： 態(tài)矢量——表示量子力學(xué)狀態(tài)的矢量
在量子力學(xué)里中的態(tài)，是矢量，我們用符號(hào)$|a?$表示態(tài)矢量，它由Hilbert空間中的列向量表示(相應(yīng)的$?a|用Hilbert空間中的$行向量$表示$)，其中“$|?$”是英國(guó)物理學(xué)家狄拉克發(fā)明的，稱為“狄拉克符號(hào)”。
注： $|a?$稱為右矢，相應(yīng)的$?a|$稱為左矢，兩者互為對(duì)偶向量，統(tǒng)稱為態(tài)向量(或態(tài)矢)

定義： 經(jīng)典位比特(比特)——一個(gè)經(jīng)典位(比特)是可以處于兩個(gè)完全不同狀態(tài)的系統(tǒng)，這兩個(gè)狀態(tài)可以用二進(jìn)制數(shù)$0$和$1$來表示
經(jīng)典比特對(duì)應(yīng)計(jì)算機(jī)的操作可以有“恒等”、“與”、“非”操作等，那么在量子計(jì)算機(jī)中或者量子計(jì)算領(lǐng)域,我們使用態(tài)矢量來作為“比特”。
在二維復(fù)數(shù)Hilbert空間中，經(jīng)典比特的兩個(gè)態(tài)可以用矢量的兩個(gè)分量來表示，即用一堆正交歸一的量子態(tài)來表示:
$|\uparrow ?\equiv \left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$,經(jīng)典比特$0$ \quad\quad $|\downarrow ?\equiv \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$,經(jīng)典比特$1$

通過線性代數(shù)的學(xué)習(xí)，我們知道，在一個(gè)線性空間中，如果給定一組線性無關(guān)的基底$a_1,a_2,?，a_n,$則向量空間中的任意向量$\beta$都可以表示為基底的線性組合：$\beta ={\lambda }_1{a}_1+{\lambda }_2{a}_2+?+{\lambda }_n{a}_n$
量子世界中的態(tài)可以同時(shí)是兩種態(tài)的疊加——既向上又向下。現(xiàn)在我們可以用線性組合來表示這個(gè)疊加的狀態(tài)。將$|\uparrow ?$和$|\downarrow ?$看成某個(gè)抽象的二維空間中的基底，那么，疊加狀態(tài)就是：$|\phi ?=\alpha \left[\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right]$
其中，$\alpha$和$\beta$是復(fù)數(shù),也叫做概率幅或者幾率幅，并且滿足$|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$這樣的一個(gè)態(tài)就被稱為量子比特。

定義： 量子比特——一個(gè)量子比特是一個(gè)可以在二維復(fù)數(shù)Hilbert空間中描述的兩級(jí)量子體系
根據(jù)疊加原理，量子比特的任何態(tài)都可以寫成如下形式：
$|\phi ?=\alpha |\uparrow ?+\beta |\downarrow ?(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1)$
式中的$\alpha ,\beta ,|\alpha {|}^2,|\beta {|}^2$分別為疊加態(tài)坍縮的$0$和$1$的概率，并且服從歸一化條件

除此之外，我們還在一個(gè)Bloch球中來便是量子比特，即
$|\phi ?=e^{i\gamma }(\cos \frac{\theta }{2}|0?+e^{i?}(\sin \frac{\theta }{2}|1?)$(可借助歐拉公式進(jìn)行理解:$e^{ix}=\cos x+i\sin x$)

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下面會(huì)運(yùn)用到一系列量子態(tài)相關(guān)的運(yùn)算和性質(zhì)，這里將常用的符號(hào)表附上

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第二大奧義：量子的測(cè)量

回到疊加態(tài)的限制條件$(|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1)$，我們可以把這個(gè)條件改寫為向量?jī)?nèi)積的形式
$(\alpha \beta )\left(\begin{array}{l}\alpha \\ \beta \end{array}\right)=1$,這總內(nèi)積為1的條件，也就是前面的歸一化條件。
在量子力學(xué)中，把態(tài)矢量$|\phi ?$和它自身的內(nèi)積記為：$?\phi |\phi ?$即左右矢相乘，那么歸一化條件就可以記為$?\phi |\phi ?=1$。但是，因?yàn)榱孔恿W(xué)中疊加態(tài)的系數(shù)是復(fù)數(shù)，所以我們?cè)趶?fù)數(shù)域重新定義內(nèi)積。
為了讓內(nèi)積的結(jié)果是實(shí)數(shù)，我們將它的定義改寫為疊加系數(shù)的模平方求和：
$?\phi |\phi ?=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2={\alpha }^{?}\alpha +{\beta }^{?}\beta$,這里$?$表示共軛轉(zhuǎn)置。

定義： 態(tài)矢量的內(nèi)積——在態(tài)矢量空間中按照一定順序選取任意兩個(gè)態(tài)矢，總可以定義一種計(jì)算規(guī)則，得到一個(gè)數(shù)(實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù))與之對(duì)應(yīng)
這一定義規(guī)則被稱為內(nèi)積，記做
$c=?\alpha |\beta ?=(|\alpha ?,|\beta ?)=(\sum _i{a}_i^{?}?{\alpha }_i|)(\sum _i{b}_i|{\beta }_i?)=\sum _i{a}_i^{?}{b}_i?{\alpha }_i|{\beta }_i?$
態(tài)矢量有如下性質(zhì)：
$?$反對(duì)稱性：$?\alpha |\beta ?={?\beta |\alpha ?}^{?}$
$?$線性性：$?\alpha |\beta +\gamma ?=?\alpha |\beta ?+?\alpha |\gamma ?$
$?$數(shù)乘性：$?\alpha |b\beta ?=b?\alpha |\beta ?=?\alpha |\beta ?b$
$?$半正定性：$?\alpha |\alpha ?\ge 0$
滿足加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算性質(zhì)的集合，被稱為矢量空間或線性空間.滿足加法、數(shù)乘和內(nèi)積三種運(yùn)算的空間被稱為內(nèi)積空間.完備的內(nèi)積空間則稱為希爾伯特空間.

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接下來，我們了解一下本征態(tài)的概念

定義: 本征態(tài)——經(jīng)歷了矩陣乘法之后，方向保持不變(可以反向)的矢量
這就意味著$M|i?=m_i|i?$，其中$|i?$是本征態(tài)，$m_i$則是相應(yīng)的本征值。以此我們可以聯(lián)想到線性代數(shù)的特征方程，本征態(tài)對(duì)應(yīng)特征向量，本征值對(duì)應(yīng)特征值。

現(xiàn)在，我們終于可以開始講量子比特的測(cè)量了
我們可以把一個(gè)量子比特的狀態(tài)以概率幅的方式變換成比特信息，也就是說，量子比特$|\phi ?$以概率$|?\uparrow |\phi ?{|}^2$變換成比特$0$，以概率$|?\downarrow |\phi ?{|}^2$變換成比特$1$，由于內(nèi)積是線性演算，且$|\uparrow ?$和$|\downarrow ?$是正交基底，那么前面兩式內(nèi)積的結(jié)果為：
$?\uparrow |\phi ?=?\uparrow |(\alpha |\uparrow ?+\beta |\downarrow ?=\alpha$
$?\downarrow |\phi ?=?\downarrow |(\alpha |\uparrow ?+\beta |\downarrow ?=\beta$
即$|\phi ?$以概率$|\alpha {|}^2$變換成比特$0$，以概率$|\beta {|}^2$變換成比特$1$
在量子力學(xué)中，測(cè)量值就是本征值也就是特征值。那么，聯(lián)系線性代數(shù)，我們可以知道，特征值就是可觀測(cè)量$M$在某個(gè)地方出現(xiàn)的概率。
測(cè)量可以給出任何一個(gè)本征值$m_i$，且每一個(gè)都有一定的概率。現(xiàn)在用$M$的本征矢量為基來擴(kuò)展任意態(tài)$|\phi ?$:$|\phi ?=\sum _i{\alpha }_i|i?$,其中，${\alpha }_i$是復(fù)常數(shù)。

根據(jù)量子力學(xué)的知識(shí)，在進(jìn)行測(cè)量后，態(tài)矢量會(huì)發(fā)生坍縮，也就是如果本征態(tài)$m_i$被測(cè)量，那么測(cè)量后的系統(tǒng)的態(tài)矢對(duì)應(yīng)的本征矢量$|i?$，當(dāng)前的量子系統(tǒng)就會(huì)確定到這個(gè)本征態(tài)上。
$|\phi ?\stackrel{m_i}{?}|i?$
注：測(cè)量是量子態(tài)上唯一不可逆的操作，其他操作都是可逆的
(此部分可以去看看薛定諤的貓加深理解)

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第三大奧義：量子的糾纏態(tài)

根據(jù)糾纏的定義，肯定不是單一的系統(tǒng)能觀測(cè)到的。所以，現(xiàn)在我們需要將視線放到不同的系統(tǒng)之間的結(jié)合。
我們首先來學(xué)習(xí)下張量積
定義：張量積——對(duì)每一對(duì)矢量$|{\phi }_1?\in H_1，|{\phi }_2?\in H_2$，Hilbert空間$H$都有一個(gè)矢量$|\phi ?$與他們聯(lián)系，$|\phi ?$被稱為$|{\phi }_1?,|{\phi }_2?$的張量積，記為$|{\phi }_{?}=|{\phi }_1??|{\phi }_2?$,常記為$|{\phi }_1?|{\phi }_2?$或$|{\phi }_1{\phi }_2?$,$H$中的矢量是$|{\phi }_1??|{\phi }_2?$的線性疊加。
例如，$A,B$分別是$m\times m$和$n\times n$的方陣，則：

好，下面可以開始講量子糾纏態(tài)了
定義：量子糾纏態(tài)——當(dāng)量子比特的疊加狀態(tài)無法用各量子比特的張量積乘積表示時(shí)，這種疊加態(tài)就稱為量子糾纏態(tài)
現(xiàn)在，給定兩個(gè)電子，$A$處于向上的態(tài)${|\uparrow ?}_A$,$B$處于向下的態(tài)${|\downarrow ?}_B$，根據(jù)排列組合，總共有四種結(jié)合態(tài)$|\uparrow \uparrow ?、|\uparrow \downarrow ?、|\downarrow \uparrow ?、|\downarrow \downarrow ?$.態(tài)矢量$|\psi ?$可以是這四種態(tài)的疊加。如果，一個(gè)系統(tǒng)的態(tài)為：$|\psi ?=\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow \downarrow ?+\frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow \uparrow ?$，由于它不能被分厘為單個(gè)電子的態(tài)的乘積，所以這個(gè)系統(tǒng)的態(tài)被稱為糾纏態(tài)。
現(xiàn)在例舉一個(gè)不是糾纏態(tài)的例子，我們看看和糾纏態(tài)的區(qū)別

我們可以發(fā)現(xiàn)，不是糾纏態(tài)的，有個(gè)類似于提取公因式的操作，而上面的糾纏態(tài)式子明顯無法完成這個(gè)操作。這種能提取“公因式” 式子又被叫做直積態(tài)，即能夠直接寫成張量積的態(tài)。

直觀的說，糾纏態(tài)的量子是會(huì)相互影響的，而非糾纏態(tài)的量子不會(huì)。

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好了，這部分內(nèi)容到一段落，希望感興趣的朋友能關(guān)注收藏。

總結(jié)

以上是生活随笔為你收集整理的《基于张量网络的机器学习入门》学习笔记1的全部?jī)?nèi)容，希望文章能夠幫你解決所遇到的問題。

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